高考数学复习 专题二 函数与导数 2.2 幂函数、指数函数、对数函数及分段函数练习 理-人教版高三数学试题

2.2幂函数、指数函数、对数函数及分段函数命题角度1幂、指数、对数的运算与大小比较高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a答案B解析因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B.2.(2018全国Ⅲ·12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b答案B解析∵a=log0.20.3>0,b=log20.3<0,∴ab<0.又a+b=lg0而lg2-1<0,2lg2-1<0,lg3-1<0,lg2>0,∴a+b<0.a+bab=1b+1a=log0.32+log0.30.2=log0.30.4<log0.30.3.(2017山东·7)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+1b<b2a<B.b2a<log2(a+b)C.a+1b<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+1答案B解析不妨令a=2,b=12,则a+1b=4,b2a=18,log2(a+b)=log252∈(log22,log24)=(1,2),即b2a<4.(2017全国Ⅰ·11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z答案D解析(方法1:作差法)令t=2x=3y=5z,∵x,y,z为正数,∴t>1.则x=log2t=lgt同理,y=lgtlg3,z=∴2x-3y=2lgtlg2-3lgtlg3=lg∵2x-5z=2lgtlg2∴2x<5z,∴3y<2x<5z.(方法2:作商法)由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln2=yln3=zln5.∵x,y,z为正数,由2x3y=2ln33ln2再由2x5z=2ln55ln2所以3y<2x<5z.故选D.5.(2017北京·8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据:lg3≈0.A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案D解析设MN=x=33611080,两边取对数,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=所以x≈1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D典题演练提能·刷高分1.式子18

13-log32×log427+20180A.0 B.32 C.-1 D.答案A解析由题意18

13-log32×log427+20180=12-log32×32log23+1=12.若a=30.3,b=ln2,c=log2cosπ6,则(A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a答案A解析a=30.3>1,0<b=ln2<1,c=log2cosπ6=log232<log21=0,∴a>b>c.3.(2019河南八市联考二)设a=23

13,b=13

23,c=log231A.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>a>b答案D解析∵a=23

13>23

23,b=13

23<23

23,且2∴c>a>b.故选D.4.(2019安徽安庆二模)已知正数x,y,z,满足log2x=log3y=log5z>0,则下列结论不可能成立的是()A.x2=yC.x2>y答案B解析设log2x=log3y=log5z=k>0,则x2=2k-1,y3=3k-1,z5=5所以当k=1时,x2当k>1时,x2当0<k<1时,x2故选B.5.已知0<a<b<1,则()A.lnalnb<1C.alna<blnb D.aa>bb答案B解析∵0<a<b<1,∴lna<lnb<0,∴lnaln∵0>1ln∴-1lna<-1∴-alna<-b∴alna>blnb,B正确;又-lna>-lnb>0,但-alna与-blnb的大小不确定,故C错误;由指数函数的单调性可知aa>ab,由幂函数的单调性可知ab<bb,所以aa命题角度2幂函数、指数函数与对数函数的图象与性质高考真题体验·对方向1.(2019浙江·6)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a>0,且a≠1)的图象可能是(答案D解析当0<a<1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递减,则函数y=1ax的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递减,D选项符合;当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1ax的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.2.(2014福建·4)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()答案B解析由图象可知loga3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=13x为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.典题演练提能·刷高分1.在同一直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=loga(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A解析由题意知,当a>0,函数f(x)=2-ax为单调递减函数,当0<a<1时,函数f(x)=2-ax的零点x0=2a>2,且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上为单调递减函数;当a>1时,函数f(x)=2-ax的零点x0=2a<2,且函数g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上为单调递增函数.2.(2018安徽宿州联考)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则函数y=loga|x|的图象大致是()答案A解析由函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},得0<a<1.y=loga|x|在(0,+∞)上单调递减,排除B,C,D.又因为y=loga|x|为偶函数,函数图象关于y轴对称,故A正确.3.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f33,b=f(lnπ),c=f22,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.b<a<c答案A解析由题意,点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,即8=(m-1)·mn,则m=2,n=3,即f(x)=x3,则f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.又33<22<1<lnπ,所以f33<f22<f(ln所以a<c<b,故选A.4.设x1,x2,x3均为实数,且12

x1=log2(x1+1),12

x2=log3x2,12

xA.x1<x3<x2 B.x3<x2<x1C.x3<x1<x2 D.x2<x1<x3答案A解析x1,x2,x3分别是函数y=12x与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x图象的交点的横坐标,作出函数y=12x,y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的图象如图所示,由图可得x1<x3<x2,故选A.5.已知函数f(x)=ex-12(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是(A.-∞,1e B.-∞,eC.-1e,e D.-e,答案B解析函数f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点,即f(-x)=g(x)有解,即函数y=f(-x)与函数y=g(x)的图象有交点,在同一直角坐标系内画出函数y=f(-x)=e-x-12与函数y=g(x)=ln(x+a)的图象.将点0,12代入g(x),得a=e,则若两图象有交点,a<6.函数f(x)=log3(8x+1)的值域为.

答案(0,+∞)解析由指数函数的性质可知8x>0,所以8x+1>1,据此可知f(x)=log3(8x+1)>0,所以函数的值域为(0,+∞).命题角度3分段函数问题高考真题体验·对方向1.(2019浙江·9)设a,b∈R,函数f(x)=x,x<0,13x3A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0答案C解析当x<0时,由x=ax+b,得x=b1-a,最多一个零点取决于x=b1-a与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程13x3-12(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=13x3-12(a+1)x2=13x2x-32(a+1)=g(可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系①若32(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b②若32(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意③若32(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=b1-a<0,故-12.(2018全国Ⅰ·9)已知函数f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案C解析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.3.(2015全国Ⅱ·5)设函数f(x)=1+lo则f(-2)+f(log212)=()A.3 B.6 C.9 D.12答案C解析∵f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2log∴f(-2)+f(log212)=9.典题演练提能·刷高分1.(2019河北唐山一模)若函数f(x)=1则f(f(10))=()A.9 B.1C.110 D.答案B解析由题意,f(f(10))=f(lg10)=f(1)=100=1.2.(2019山西晋城二模)已知函数f(x)=4x2-1,x≤0,sin2x-答案2解析fπ12=sin2π12-cos2π12=-cosπ6=-32,f-32=4×34-13.已知函数f(x)=log2(1-x),x<1,答案12或log3解析当x<1时,f(x)=log2(1-x)=-1,解得x=12(满足条件);当x≥1时,f(x)=3x-7=-1,解得x=log36(满足条件)综上,x=12或x=log364.已知函数f(x)=(12)

x,x≤0,lo答案(-∞,-1]∪[4,+∞)解析当a≤0时,12a≥2,故a≤-1;当a>0时,log2a≥2,故a≥4.故a的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).5.已知函数f(x)=2x,x<1,log2x,x答案m=0或m≥2解析作出函数f(x)的图象,如图所示.当x<1时,f(x)∈(0,2);当x≥1时,f(x)≥0.则若直线y=m与函数f(x)的图象只有一个交点,则m≥2或m=0.6.设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x