专题33直线与圆锥曲线综合问题（学生版）

专题33【提升专题02】直线与圆锥曲线综合问题（核心考点精讲精练）类型一、直线与椭圆的位置关系类型二、直线与双曲线的位置关系类型三、直线与抛物线的位置关系类型四、弦长问题类型五、圆锥曲线中的对称问题类型六、圆锥曲线中的范围最值问题类型七、圆锥曲线在新情景中应用直线与圆锥曲线的综合问题常常涉及到一些重要的数学思想和解题方法，比如方程思想、转化思想、数形结合思想等。以下是一些常见的问题：

1、直线与圆锥曲线的位置关系：包括直线与圆锥曲线的相交、相切、相离等位置关系，可以通过联立方程组，利用判别式、韦达定理等方法求解。

2、弦长问题：包括弦长最值、弦长的定值、弦长之间的关系等问题，可以通过联立方程组，利用根与系数的关系等方法求解。

3、圆锥曲线中的对称问题：圆锥曲线中的一些对称问题也常常作为综合问题出现，比如圆锥曲线中的点对称、线对称、旋转对称等问题，可以通过对称的性质进行求解。

4、圆锥曲线中的范围最值问题：圆锥曲线中的范围最值问题也是常见的综合问题之一，可以通过联立方程组，利用函数思想等方法进行求解。

以上只是直线与圆锥曲线的综合问题中的一部分，这些问题的解决需要掌握一定的数学思想和解题方法，同时需要具备灵活的思维和敏锐的观察能力类型一、直线与椭圆的位置关系1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．2．已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．3．若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（

）A． B．C． D．4．（2023年内蒙古模拟理科数学试题）已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．（2024届安徽省联考数学试题）已知椭圆C：（）的左焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2023年全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（A卷））平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点.则的焦距为.7．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．8．（2023年江苏省模拟数学试题）已知椭圆C：的焦距为，且椭圆经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为，求l的斜率.类型二、直线与双曲线的位置关系1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．2．（2023届河南省仿真测试三模理科数学试题）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023届四川省诊断性检测理科数学试题）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（

）A．或0 B．－2 C．或0 D．34．（2023年黑龙江省模拟数学试题）双曲线与直线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或25．（2023年浙江省名校联盟五科联赛数学试题）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．36．（2024届陕西省一模文科数学试题）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（

）A． B．C． D．7．已知双曲线，过点作直线交双曲线于，，若线段的中点在直线上，求直线的斜率．8．（2023届四川省二诊模拟理科数学试题）双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则.9．（2023届河北省联考数学试题）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为3，则双曲线的离心率为.10．（2023届河北省模拟数学试题）已知双曲线：的左焦点为，其一渐近线的倾斜角为，过双曲线右焦点的直线与交于、两点．(1)求双曲线的方程．(2)已知点，点，直线、与轴分别交于点、，若四边形存在外接圆，求直线的方程．类型三、直线与抛物线的位置关系1．（20232024学年四川省模拟文科数学试题）已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（

）A． B． C．1 D．22．（2023届河北省二模数学试题）已知抛物线，直线与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若，则（

）A． B． C． D．3．（2024届广东省次联考数学试题）过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是.4．（2023年山西省模拟数学试题）已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为.5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.6．（20232024学年河南省一模数学试题）已知抛物线的焦点为，点，过的直线垂直于，且交抛物线于两点，则（

）A．3 B．2 C．1 D．0类型四、弦长问题1．（2023年四川省模拟数学（理）试题）已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（

）A． B．3 C． D．22．过点作两条直线与抛物线相切于点A，B，则弦长等于（

）A．8 B．6 C．4 D．23．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．4．（2024届福建省质量监测（一）数学试题）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于不同的两点，.若，则.5．（2024届内蒙古质量监测理科数学试题）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．6．（2023届四川省名校高全真模拟考试（二）理科数学试题）已知直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．7．（2023届重庆市适应性月考（六）数学试题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为．8．（2024届安徽省联考数学试题）过抛物线的焦点的直线与交于、两点，且，为坐标原点，则的面积为.9．（2023届湖北省压轴卷数学试题（二））已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．10．（2023年湖南省模拟数学试题）直线与椭圆相交于不同的两点,若的中点的横坐标为,则弦长的值.11．已知直线与椭圆交于M、N两点，且.求直线的方程．类型五、圆锥曲线中的对称问题1．双曲线C：的左、右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为Q，则.2．（2023年陕西省模拟理科数学试题）已知抛物线：与圆：在第一象限交于，两点，设关于轴的对称点为，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．23．（2023届上海市模拟数学试题）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为.4．（20232024学年四川省“零诊”考试数学试题（文科））抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则．5．（2023届贵州省统一考试数学（理）试题）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为.6．已知是抛物线上的两个点，O为坐标原点，若且的垂心恰是抛物线的焦点，则直线的方程是（

）A． B． C． D．7．（20232024学年四川省模拟考试文科数学试题）已知A、B是椭圆与双曲线的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N．若MN过椭圆的焦点F，且，则双曲线的离心率为．类型六、圆锥曲线中的范围最值问题1．（2023年内蒙古模拟理科数学试题）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（

）A． B．C． D．2．（20232024学年江苏省学情检测数学试题）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于两点，则．3．（2023年高三数学（理科）押题卷四试题）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为．4．（20232024学年湖南省模拟数学试题）已知直线：与抛物线：交于，两个不同的点，为的中点，为的焦点，直线与轴交于点，则的取值范围是.5．（2023届江西省模拟文科数学试题）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于两点，，设直线的斜率分别为，则．6．（20232024学年江苏省诊断测试数学试题）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为.7．（2023届江苏省八校联盟适应性检测（三模）数学试题）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是.类型七、圆锥曲线在新情景中应用1．（2023届贵州省数学（理科）样卷（二）试题）加斯帕尔蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（

）A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为182．（2023年湖南省模拟数学试题）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023年福建省四校联盟联考数学试题）椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2023年四川省模拟考试数学（文科）试题）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（

）A． B． C． D．5．（2023届四川省三模拟理科数学试题）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（

）A． B． C． D．6．（2023届云南省高考备考诊断性联考（三）数学试