河南省2020-2021年九年级上册期末数学试卷 含解析

九年级（上）期末数学试卷

选择题（共10小题）

1.若一元二次方程（2研6）¥+渡-9=0的常数项是0,则。等于（）

A.-3B.3C.±3D.9

2.下列所给图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A.正三角形B.角C.正五边形D.正方形

3.一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到

球的条件下，随机从袋中摸出2个球，其中2个球颜色不相同的概率是（）

A.3.B.Ac.2

455

4.用配方法解方程『一10户9=0,配方后可得（)

A.(x-5)2=16B.(x-5)2=1

C.(x-10)2=91D.(x-10)2=109

5.如图，。。是△上的外接圆，NOCB=40°,则N4的大小为（）

C.80°D.100°

6.将抛物线尸-3步平移，得到抛物线尸-3（x-1）2-2,下列平移方式中，正确的

是（）

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

7.如图，PA,如是。0的两条切线，切点分别是4,B,如果g=4,PA=2y/3,那么NAPB

等于（）

8.独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为

2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长

率为X,则下面列出的方程中正确的是（）

A.2620（1-x）2=3850B.2620（1+z）=3850

C.2620（l+2x）=3850D.2620（1+x）2=3850

①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的

概率是0.616；

②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性,

可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是

0.620.

其中合理的是（）

A.①B.②C.①②D.①@

10.如图是二次函数尸（aWO）图象的一部分，对称轴x=L,且经过点（2,0）

2

下列说法：①a6c<0；②-2加c=0；③4a+2〃"cV0;④若（-$，必），（―,万）是抛

22

物线上的两点，则yi<y2；⑤加6）（其中启其中说法正确的是（）

A.①®④⑤B.®@C.①③D.①®@

二.填空题（共5小题）

11.若关于x的方程『-硒卬=0有两个相等实数根，则代数式2君-8研1的值为.

12.抛物线产=-¥+2A+2的顶点坐标是.

13.第一盒乒乓球中有4个白球2个黄球，第二盒乒乓球中有3个白球3个黄球，分别从

每个盒子中随机地取出1个球，则取出的两个球都是黄球的概率是.

14.如图，在△胸中，ZC=90°,AC=BC=y[2,将△胸绕点“顺时针方向旋转60°到

△AB'C的位置，连接^B,则。B=.

15.如图，。为半圆内一点，0为圆心，直径四长为2c%NBOC=60：NBCO=90°,将

△斯绕圆心0逆时针旋转至,点△在以上，则边比扫过区域（图中阴影

部分）的面积为cm.（结果保留"）

ACOB

三.解答题（共8小题）

16.解下列方程.

（1）（A+3）\2（A+3）

(2)3x(x-1)=2-2x

17.如图，在平面直角坐标系网格中，△被7的顶点都在格点上，点C坐标（0,-1）.

（1）作出△府关于原点对称的旦G,并写出点4的坐标;

(2)把△被绕点C逆时针旋转90°,得尼C画出出C,并写出点及的坐标;

(3)直接写出民。的面积.

18.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4,随机摸取一个

小球然后放回，再随机地摸取一个小球.

(1)采用树状图法(或列表法)列出两次摸取小球出现的所有可能结果，并回答摸取两

球出现的所以可能结果共有几种；

(2)求两次摸取的小球标号相同的概率；

(3)求两次摸取的小球标号的和等于4的概率；

(4)求两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的概率.

19.如图，四是的直径，宛是弦，45=30。，延长加到。，使乙眦，=30。.

(1)求证：加是。。的切线；

(2)若715=2,求优的长.

20.如图，已知"是半圆。的直径，点户是半圆上一点，连结外并延长即到点C,使

PC=PB,连结ZC.

(1)求证：AB=AC.

(2)若曲=4,/腑=30°.

①求弦印的长.②求阴影部分的面积.

c

AoB

21.某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36

元，每月可销售60箱.市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将

增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱.

(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

22.如图1,点。是正方形极/两对角线的交点，分别延长切到点G,必到点£，使宛

=2OD,OE=2OC,然后以曲、龙为邻边作正方形应7G连接4G,DE.

(1)求证：DELAG；

(2)正方形被笫固定，将正方形侬石绕点0逆时针旋转a角(0。<a<360°)得

到正方形OEF1G,,如图2.

①在旋转过程中，当Nfl4G'是直角时，求a的度数；

②若正方形的的边长为1,在旋转过程中，求函长的最大值和此时a的度数，直

接写出结果不必说明理由.

23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数尸-J+Av+c的图象与x轴交于48两点，与

y轴交于6(0,3),4点在原点的左侧，6点的坐标为(3,0).点夕是抛物线上一个动

点，且在直线%的上方.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)连接尸0、PC,并把沿勿翻折，得到四边形R户'C,那么是否存在点只使

四边形尸印。为菱形？若存在，请求出此时点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当点尸运动到什么位置时，四边形腑C的面积最大，并求出此时点尸的坐标和四

边形四%的最大面积.

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.若一元二次方程（2研6）/+清-9=0的常数项是0,则加等于（）

A.-3B.3C.±3D.9

【分析】一元二次方程a/+6Kc=0（a,b,c是常数且aWO）的a、b、c分别是二次项

系数、一次项系数、常数项.

【解答】解：由题意，得

m-9=0且2研6#0,

解得m=3,

故选：B.

2.下列所给图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A.正三角形B.角C.正五边形D.正方形

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：/、正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

反角不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C、正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

。、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确.

故选：D.

3.一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到

球的条件下，随机从袋中摸出2个球，其中2个球颜色不相同的概率是（）

A.3B.Ac.2D.3

4555

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中2个球

的颜色不相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：画树形图得：

开始

红红红黄黄

xAxx/K

红红黄黄红红黄黄红红黄黄红红红黄红红红黄

•.•共有20种等可能的结果，其中2个球的颜色不相同的有12种情况,

其中2个球的颜色不相同的概率是丝=3；

205

故选：D.

4.用配方法解方程『-10户9=0,配方后可得()

A.(x-5)2=16B.(x-5)2=1

C.Cx-10)2=91D.(x-10)2=109

【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出答案.

【解答】解：¥-10户9=0,

x-10x=-9,

x-10A+25=-9+25,

(x-5)2=16,

故选：A.

5.如图，。。是△胸的外接圆，NOCB=40°,则NZ的大小为()

A.40°B,50°C.80°D.100°

【分析】根据圆周角定理即可求出答案

【解答】爆「OB=OC

：.ZBOC=18Q°-2N殴=100°,

二由圆周角定理可知：ZA=1ZBOC=50°

2

故选：B.

6.将抛物线尸-39平移，得到抛物线尸-3(矛-1)2-2,下列平移方式中，正确的

是()

A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到.

【解答】解：；y=-39的顶点坐标为（0,0）,y=-3（x-1）2-2的顶点坐标为（1,

-2）,

•••将抛物线尸-3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线尸-3

（X-1）2-2.

故选：D.

7.如图，PA,如是。0的两条切线，切点分别是4B,如果冉4,*=2次，那么NAPB

等于（）

A.90°B.100°C.110°D.60°

【分析】由切线长定理可得NZ6QN加0可求得sin/次产的值，所以可知N/CQ60°,

从而求得N&W的值，进而可求出N板的度数.

【解答】解：

'：PA,金是。。的两条切线，

/.OAA.AP,OBLBP,NOPA=NOPB,

：.NAOH/BOP,

VOP=4,PA=2M.

：.sinNAOP=延~=立~,

OP2

：.ZAOP=60°.

：.ZAOB=120°,

：.Z.APB=60°,

故选：D.

8.独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为

2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长

率为x,则下面列出的方程中正确的是（）

A.2620（1-x）2=3850B.2620（1+x）=3850

C.2620(l+2x)=3850D.2620(1+x)2=3850

【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，如果设该

贫困户每年纯收入的平均增长率为X,那么根据题意可用x表示今年纯收入，然后根据

已知可以得出方程.

【解答】解：如果设该贫困户每年纯收入的平均增长率为％

那么根据题意得：2620(1+x)2,

列出方程为：2620(1+x)2=3850.

故选：D.

①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的

概率是0.616；

②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性,

可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是

0.620.

其中合理的是()

A.①B.©C.①②D.①@

【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题.

【解答】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以此时

“钉尖向上''的频率是：3084-500=0.616,但“钉尖向上”的概率不一定是0.616,故

①错误，

随着实验次数的增加，''钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，

可以估计“钉尖向上”的概率是0.618.故②正确，

若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620,

但不一定是0.620,故③错误，

故选：B.

10.如图是二次函数y=a/+As+c（aWO）图象的一部分，对称轴x=工，且经过点（2,0）

2

下列说法：①a6c<0；②-2加c=0；③4m"2加cVO；④若（-红，H）,（―,y2）是抛

22

物线上的两点，则yi<y2；⑤包叶6）（其中身/）其中说法正确的是（）

A.①©④⑤B.③@C.①③D.①②(D

【分析】利用抛物线开口方向得到a<0,利用抛物线的对称轴方程得到b=-a>0,利

用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0,则可对①进行判断；利用抛物线经过点（2,

0）得到4m^2加c=0,则可对③进行判断；同时得到c=-2a,加上6=-a,则可对②

进行判断；通过比较点（-丝，力）到直线工工的距离与点（互，刀）到直线*=上的

2222

距离的大小可对④进行判断；利用尸工时，函数值最大可对⑤进行判断.

2

【解答】解：•••抛物线开口向下，

:.a<09

•.•抛物线的对称轴为直线x=-旦=工,

2a2

/.b—~a>0,

;抛物线与y轴的交点在x轴上方，

:.c>09

/.abc<Qf所以①正确；

•・•抛物线经过点（2,0）,

A4a+2ZH-c=0,所以③错误；

c-—2a,

-2t^c=2a-2a=0,所以②正确；

•.•点（-5,K）到直线kL的距离比点（5,理）到直线x=上的距离大，

2222

二力〈为；所以④正确；

•.•抛物线的对称轴为直线尸工，

2

二当x=工时，函数值最大，

2

（〃羊工），

422

即（印什6）（公£工），所以⑤正确.

422

故选：A.

二.填空题（共5小题）

11.若关于X的方程/-必恒7=0有两个相等实数根，则代数式遍-8研1的值为1.

【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=渭-4。=0,将其代入2枕-8*1

中即可得出结论.

【解答】解：•；关于x的方程『-小〃=0有两个相等实数根，

/.△=（-227）2-4227=25-4227=0,

二2/-8研1=2（a-4®）+1=1.

故答案为：1.

12.抛物线尸-x+2x^2的顶点坐标是（1,3）.

【分析】将二次函数化为顶点式后直接确定抛物线的顶点坐标即可.

【解答］解：y=~X+2A+2=-Cx-1）2+3,

所以顶点坐标为（1,3）,

故答案为：（1,3）.

13.第一盒乒乓球中有4个白球2个黄球，第二盒乒乓球中有3个白球3个黄球，分别从

每个盒子中随机地取出1个球，则取出的两个球都是黄球的概率是1.

一国一

【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出取出的两个球都是黄球的结果

数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：画树状图：

白白白

白白白黄黄黄白白白黄黄黄白白白黄黄黄

白黄黄

白白白黄黄黄白白白黄黄黄白白白黄黄黄

共有36种等可能的结果数，其中取出的两个球都是黄球的结果数为6,

所以取出的两个球都是黄球的概率=&=工.

366

故答案为工.

6

14.如图，在△■中，N490°,AC=BC=-/2,将△放绕点［顺时针方向旋转60°到

XAB'C的位置，连接CB,则CB=爽-1.

【分析】连接曲'，根据旋转的性质可得好=四'，判断出△3'是等边三角形，根

据等边三角形的三条边都相等可得四=如'，然后利用“边边边”证明△板和

BC全等，根据全等三角形对应角相等可得N萩=NB'BC，延长宏交网于。,

根据等边三角形的性质可得切，四'，利用勾股定理列式求出四，然后根据等边三角形

的性质和等腰直角三角形的性质求出切、CD,然后根据9=BD-C〃计算即可得

解.

【解答】解：如图，连接班'，

•.•△斯绕点力顺时针方向旋转60°得到△四'C,

：.AB=AB',NBAS'=60°,

是等边三角形，

：.AB=BB',

在AABC'和AB'BC中，

-AC'=B'C'，

,BCy=BC,

:AABCBC(SSS),

:./ABC'=NB'BC,

延长加交AB'于D,

则班J"四'，

'：ZC=90°,AC=BC=y[2,

二四=4(4)2+(a)2=2,

:.BD=2X®=M，

2

C2?=±X2=1,

2

：.BC=BD-Cg«-l.

故答案为：V3-1.

15.如图，。为半圆内一点，0为圆心，直径居长为2c%ZBOC=60°,NBCO=90°,将

△欧7绕圆心。逆时针旋转至缙，点^在曲上，则边比扫过区域（图中阴影

部分）的面积为Incm.（结果保留n）

A■C'OB

【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积

公式进行计算即可得出答案.

【解答】解：券=60°,4B，OC是△及心绕圆心0逆时针旋转得到的，

:.NB‘OC'=60°,ABCO=AB'C0,

：.AB'OC=&Q°,NCB'<2=30",

:60=120°,

*：AB=2cm,

：.OB=lcm,OC'=A

120兀X121

・・S扇形"OB—

120Trx

S扇形c*oc=7.n

**•阴影部分面积=S扇形"CO~S&BCO-S扇形6*OC=S扇形""一S扇形c*oc=—五------

故答案为：In

4

三.解答题(共8小题)

16.解下列方程.

(1)(A+3)三2(A+3)

(2)3x(x-1)=2-2x

【分析】(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【解答】解：(1)V(A+3)2-2(户3)=0,

二(妙3)(A+1)=0,

则A+3=0或A+1=0,

解得x=-3或x=-1;

(2)V3x(x-1)=-2(x-1),

：.3x(x-1)+2(x-1)=0,

贝!](x-1)(3A+2)=0,

:.x-1=0或3A+2=0,

解得X=1或X=-2.

17.如图，在平面直角坐标系网格中，△侬7的顶点都在格点上，点C坐标（0,-1）.

（1）作出△放关于原点对称的△45G,并写出点4的坐标；

（2）把△上绕点。逆时针旋转90°,得△力旦G画出△力加C,并写出点4的坐标;

（3）直接写出△力2民C的面积.

【分析】（1）根据关于原点对称点的性质得出4,B,。对应点，进而得出答案；

（2）根据平面直角坐标系写出点友的坐标即可.

（3）利用面积的和差求解：把三角形侬?的面积看作一个正方形的面积减去三个直角三

角形的面积.

【解答】解：（1）如图所示：点4的坐标为：（1,-2）；

（2）如图所示：点A的坐标为：（-3,-2）；

18.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4,随机摸取一个

小球然后放回，再随机地摸取一个小球.

（1）采用树状图法（或列表法）列出两次摸取小球出现的所有可能结果，并回答摸取两

球出现的所以可能结果共有几种；

(2)求两次摸取的小球标号相同的概率；

(3)求两次摸取的小球标号的和等于4的概率；

(4)求两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的概率.

【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得取两球出现的所以可能结果;

(2)由(1)中的树状图，求得两次摸取的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求

解即可求得答案；

(3)由(1)中的树状图，求得两次摸取的小球标号的和等于4的情况，然后利用概率

公式求解即可求得答案；

(4)由(1)中的树状图，求得两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的情况,

然后利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：(1)画树状图得：

/Ax/Ax/Ax

1234123412341234

则共有16种等可能的结果；

(2)I•两次摸取的小球标号相同的有4种情况，

...两次摸取的小球标号相同的概率为：A=l；

164

(3)•.•两次摸取的小球标号的和等于4的有3种情况，

...两次摸取的小球标号的和等于4的概率为：』-；

16

(4)♦；两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的有10种情况，

,两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的概率为：12.=1.

168

19.如图，四是。。的直径，BC是弦,N%30°,延长物到〃，使.

(1)求证：比1是。。的切线；

(2)若四=2,求优的长.

【分析】(1)根据切线的判定方法，只需证或1_纥所以连接比；证/殴=90°.

(2)易求半径宓的长.在双△©中，运用三角函数求⑦

【解答】(1)证明：连接OC.

'：OB=OC,NB=30°,

：.NOCB=NB=30".

:.NCOD=2於NOCB=60°.

■:NBDC^30°,

：./BDO/COD=9Q°,DCLOC.

,宛是弦，

...点C在O0上，

.•.比'是。。的切线，点C是。。的切点.

(2)'：AB=2,

：.OC=O4运=L

2

•..在RtZ\C如中，NOCD=9Q°,NZ>=30°,

•0•00=\^30t^=

20.如图，已知〃是半圆。的直径，点尸是半圆上一点，连结蹈并延长即到点C,使

PC=PB,连结力C.

(1)求证：3AC.

(2)若？I5=4,ZABC=3G°.

①求弦鳍的长.②求阴影部分的面积.

c

AoB

【分析】(1)连接仍由圆周角定理可知N"5=90°,故加」5G再由公历即可得

出结论；

(2)①先根据直角三角形的性质求出〃的长，再由勾股定理可得出阳的长；

②连接如，根据直角三角形的性质求出△痴的度数，由圆周角定理求出NR厉的长，

根据S阴影=S扇形呼-即可得出结论.

【解答】(1)证明：连接仍

•.•四是半圆。的直径，

：.ZAPB=90°,

：.APVBC.

'：PC=PB,

△上是等腰三角形，BPAB^AC；

(2)解：①；N"ff=90。，AB=4,ZABC=3Q0,

：.AP^XAB^2,

2

BP=22=

7AB-AP3-22=2愿;

②连接OP,

■:NABC=30°,

：.ZPAB=6Qa,

.♦.NR»=120°.

:点0时血的中点，

2X2^/3="'/3,

•・S阴影=S扇形或p—S^POB

=120兀X22一n

360

=—n-'、叵

3

21.某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36

元，每月可销售60箱.市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将

增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱.

(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

【分析】(1)根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x,

据此可以列出函数关系式；

(2)由利润=(售价-成本)X销售量列出函数关系式，求出最大值.

【解答】解：(1)根据题意，得：y=60+10x,

由36-*224得仁12,

...lWx<12,且x为整数；

(2)设所获利润为W,

则沪=(36-x-24)(10^+60)

=-lOx+60^+720

=-10(2-3)2+810,

Va<0

.•.函数开口向下，有最大值，

...当x=3时，/取得最大值，最大值为810,

答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.

22.如图1,点0是正方形的?两对角线的交点，分别延长如到点G,筑到点区使伊

=20D,0E=20C,然后以笫、应1为邻边作正方形施R7,连接4G,DE.

(1)求证：血AG；

(2)正方形被加固定，将正方形呼G绕点。逆时针旋转a角(0°<a<360°)得

到正方形加F1G',如图2.

①在旋转过程中，当/曲G，是直角时，求a的度数；

②若正方形3的边长为1,在旋转过程中，求科长的最大值和此时a的度数，直

接写出结果不必说明理由.

【分析】(1)延长切交ZG于点区易证△/偿△眦得到/2折/应。然后运用

等量代换证明/4阳=90°即可；

(2)①在旋转过程中，ZOAG'成为直角有两种情况：a由0°增大到90°过程中，当

ZOAG'=90°时，a=30°,a由90°增大到180°过程中，当NO1G'=90°时，a

=150"；

②当旋转到A,0、F在一条直线上时，AF1的长最大，AF=AO^OF=返+2,此时

2

a=315°.

【解答】解：(1)如图1,延长ED交AG于点、H,

•••点。是正方形纵/两对角线的交点，

：.OA=OD,OALOD,

•：OG=OE,

在和△戊为1中，

'0A=0D

•ZA0G=ZD0E=9Q°•

QG=0E

:.△AOG^XDOE,

"AGO^NDEO,

ZAG(^ZGAO=90°,

：.ZGA(h-ZDE0=90o,

：.ZAHE=^°,