函数与导数-高考试题

函数与导数

理(3)设/(x)是定义在R上的奇函数，当xWO时，f(x)=2x-X,则/⑴=

(A)-3(B)-1(C)1(D)3

(3)A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.

【解析】/(I)=-/(-D=42(-1)2-(-1)1=-3.故选A.

函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当加=1,〃=2,/*)=641一为2=〃(1-2；12+%),则

/'(止a^2x-4x-,由/'(x)=“(次2一4x+l)=0可知，%=；,/=1，结合图像可知

函数应在递增，在递减，即在x=(取得最大值，由/(!)=ax;qi—()2=；,

知a存在.故选B.

(16)(本小题满分12分)

设=其中。为正实数

1+ax

4

(I)当时，求/。)的极值点;

(D)若/(x)为R上的单调函数，求a的取值,围。

(16)(本小题满分12分)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化

之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

12

I+QX-ax

解:对/(x)求导得:(x)=e*-2x2①

(zl+ar)-

431

(I)当"q，若广(X)二=0,则4必—品+3=0,解得再=二二■，用)——

2-2

综合①，可知

/1、|(|,|)2([,8)

(-00-)

?222222

+0-0+

f'M

71极大值、极小值71

f(x)

31

所以,X|=G是极小值点,％2是极大值点.

2-2

(II)若/(x)为R上的单调函数，则尸(x)在R上不变号，结合①与条件a>0,知

ax2—lax+1>0

在R上恒成立，因此A=4a2-4“=4a(a-l)40,由此并结合。>0,知0<aWl.

文(5)若点(a,b)在y=lgx图像上，awl,则下列点也在此图像上的是

(A)(-,b)(BJ(lOa,l-b)(C)(―,b+l)„(D)(a2,2b)

aa

(5)D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.

【解析】由题意b=lg。，2/?=21g«=lg«2,即(/,2b)也在函数y=lgx图像上.

(10)函数/(%片诡g«-2)在区间

〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是

(A)1(B)2

(C)3(D)4

(10)A【命题意图】本题考查导数在研究函

数单调性中的应用，考查函数图像，考查

思维的综合能力.难度大.

【解析】代入验证，当〃=1时，

/(x)=agrQ-2*=《x-2x则

ff(x)NZ(3T2-4X+1),

由/'(尤)=心2一4%+])=。可知，内结合图像可知函数应在(0,；)递增，在

递减，即在X=!取得最大值，由/(!)=ax；qi—!)2=；,知a存在.故选A.

(13)函数^=-r=1=亍的定义域是_________.

\j6-x-x~

(13)(-3,2)【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.

【解析】由6-x—厂>0可得f+x—6<0,即(x+3)(x—2)v0,所以一3<x<2.

c

,x<A

理6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为/。)=五

C

,x>A

G4,。为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第/件产品时用时15分钟,

那么C和力的值分别是

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

【解析】由条件可知，1之A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分

段函数，即/(4)=A=30nc=60,/(A)=瑞=15nA=16,选D。

一,x22

13.已知函数〃x)=x,若关于x的方程/(尤)=%有两个不同的实根，则实数

(x-l)3,x<2

K的取值围是.

2

【解析】/(x)=—(xN2)单调递减且值域为(0,1],/(幻=。-1)心<2)单调递增且值域为

x

(—8,1),/*)=左有两个不同的实根，则实数々的取值围是(0,1)。

18.已知函数/(x)=(x-&)2..

⑴求/(X)的单调区间；

(2)若对VxG(0,+8),都有/(尤)<，,求攵的取值围。

e

I二

解：⑴—(x)=7,一&2)〃，令/"(x)=0得x=±左

当左>0时,/(X)在(-8,-外和伏,+8)上递增，在(-&阳上递减;

当左＜0时，/（X）在（-8，口和（—女,□）上递减，在（左,-%）上递增

A+1]所以不可能对Vxe（0,+8）都有/（外4」；

(2)当2>0时，f(Z+l)=e氏>一;

e

2

当左＜0时有（1）知/（X）在（0,+8）上的最大值为了（一口=1-,所以对Vxe（0,+8）都

＜/w＜-

e

4221111

即一（一=一一＜％＜0,故对Dxw（0,+8）都有/（x）W-时，攵的取值围为［――,0）。

ee2e2

文（8）已知点A（0,2）,B（2,0）,若点C在函数y=f的图象上，则使得AA6C的面积为2

的点C的个数为A

A.4B.3C.2D.1

（18）（本小题共13分）

已知函数〃力=。一1）/,（I）求/（x）的单调区间；

（II）求/（力在区间［0』上的最小值。

解：⑴f\x）=（x-k+V）ex,令r（x）=0=x="l；所以/（x）在（-8心-1）上递减,

在（％-1,+8）上递增；

（II）当"1W0,即左＜1时，函数”力在区间［0,1］上递增，所以/⑴而…/⑼二-左；

当0＜左—1＜1即1＜心2时，由（I）知，函数/（同在区间［0,左—1］上递减，（％—1,1］

上递增，所以/（X）min=/（左一1）=一/\

当人一1＞1,即后＞2时，函数〃力在区间［0,1］上递减，所以/（x）mm=/⑴=（1一6e。

理5.Jo（/+2x）办等于C

A.1B.e-1C.eD.e+\

9,对于函数/（x）=asinx+/?x+c（其中，a,beR,cwZ）,选取a,0,c的一组值计算了⑴

和所得出的正确结果一定不可能是D

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

10.已知函数/(x)=/+x,对于曲线y=/(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,

给出以下,判断：B

①AABC一定是钝角三角形

②4ABC可能是直角三角形

③4ABC可能是等腰三角形

©△ABC不可能是等腰三角形

其中，正确的判断是

A.①③B.①④C.②③D.②④

18.体小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)

与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式丁==+10(*-6)2,其中3<x<6,a为

x-3

常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

(I)求。的值；

(H)若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获

得的利润最大.

解：⑴因为x=5时y=ll,所以尹0=llna=2；

2

(口)由(I)知该商品每日的销售量丁=--+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的

x-3

利润：

2'

/(x)=(x-3)[----i-10(x-6)2]=2+10(X-3)(X-6)2,3<X<6；

x-3

f\x)=\0[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]-30(x-4)(x-6),令/(1)=0得x=4

函数/(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x=4时函数/(九)取得最大值/(4)=42

答：当销售价格工=4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

文6.若关于x的方程系+〃贺+1=0有两个不相等的实数根，则实数和的取值围是

A.(—1,1)B.(—2,2)C.(—8,—2)U(2,+8)D.(—8,—1)U(1,4-

OO)

C

2*x>0

8.已知函数WC，若人a)+01)=。，则实数a的值等于

X~T~1,U

A.-3B.-1C.1D.3

A

10.若a>0,b>0,且函数4A2bx+2在x=l处有极值，则ab的最大值

等于

A.2B.3C.6D.9D

22.(本小题满分14分)

已知a、b为常数，且a*0,函数4兄=-公+6+adnx,4a=2,(e=2.71828…是自

然对数的底数)。

(I)数人的值；

(H)求函数扉闻的单调区间；

(DI)当a=l时，是否同时存在实数m和M(m<皿，使得对每1个M,直

1

线片1与曲线片(x€[-e])都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的

e

实数〃；若不存在，说明理由。

22、(I)b=2;(R)a>0时单调递增区间是(1,+8),单调递减区间是(0,1),a<0

时单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+8)；(H)存在m,M;m的最小值为

1,M的最大值为2。

理4.设函数/(X)和g氏)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是

A./(x)+|g(x)|是偶函数B.7(x)-|g(x)|是奇函数

C.|/(%)|+g(x)是偶函数D.|/(x)I-g(x)是奇函数

解析:因为g(xj是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而/(x)+|g(x)|是偶函数，

故选A.

12.函数/(x)=V-+1在％=处取得极小值.

解析：(x)=3x2-6x=3x(x—2),:./(x)的单调递增区间为(-8,0),(2,+oo),递减区间为(0,2),

/(幻在x=2处取得极小值

21.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系vQy上，给定抛物线L:y=92.实数pH满足p2—4户0,玉,々是方程

X2一p兀+4=0的两根,记95，4)=11^；{|叩|,|42I}.

(1)过点4p°,:A)2)5。*0)作L的切线交y轴于点B.证明：对线段AB上的作一点QS，4),

有夕(p,q)=号1;

(2)设MG加是定点，其中a1满足/一4)>0,。h0.过/31)作乙的两条切线4,4,

切点分别为后5,(p：),牙)，//与y分别交于F,F'.线段EF上异于两端点

的点集记为X证明：

(3)设。=<(x,y)yMx-l,”2(x+l)2_2>,当点(p,q)取遍D时，求

44

(P(P，G的最小值(记为外)和最大值(记为夕).m

M(a,b)eXo园>|周o0(a,b)=?h

21.解：(1)kAB-y'|v=ft)=(―x)1^^=—p0,

1,111,

直线的方程为y-1%-=-p0(x-p0),即乎=耳。0%-1。0-,

：.q=；PoP_；Po2，方程无？-px+q=°的判别式△=/-4q=(p—Po)2,

加*口〃±I〃o一〃IPo十Po

两根石,2=-----j-----=寸或〃一寸，

P-Po>o,.-.IP-^HIPI-I^II,又041Pl4|Pol,

.•.一|§区|。|一|§区|§|,得，|「一§|=||。|一|§|国§1,

乙乙乙乙乙乙

••.(P(P，M-yl.

(2)由后-48>0知点M(a,6)在抛物线乙的下方，

①当。>0,820时，作图可知，若M(a,b)wX,则Pi〉/??'。，得IPiASI；

若IPi1>1p2I,显然有点M(a,。)€X；:.M(a,b)eXo|四|〉|p2\.

②当a>0,8<0时，点M(a/)在第二象限,

作图可知，若M(a,b)€X,则P|>0>P2,且Ip作>1p21；

若lp/>IP2l,显然有点M(a,份eX；

M(a,b)GX。|Pi|>1P2I•

根据曲线的对称性可知，当。<0时，M(a,b)eX<^>\pt|>|p2\,

综上所述，M(a,b)GX<=>|/?,|>|p2|(*)；

由(1)知点”在直线后尸上，方程d-6+人=0的两根玉2=与或。―4，

同理点〃在直线E'/7'上，方程一一依+。=0的两根玉2=今或。一?，

若济,与=作|,则苧不比|”?、牛、小半小,

.'.IPi1>1p21>又IPi1>1PiI=>M(a,b)eX,

(p{a,b)=|-y|=>M(a,b)eX；又由(1)知，M(a,b)&X=>(p{a,Z?)=|-^|；

：.<p(a,ft)=|yl^M(a,b)eX,综合(*)式，得证.

「(3)联立y=x-l,y=：(x+1)?得交点(0,-1),(2,1),可知0Wp<2,

44

12

17xo-qi

过点(p,<7)作抛物线L的切线，设切点为(入0，二/2)，则^-------=-x0,

4x0-p2

得与2+4q=0,解得％=p+Np2-4q,

1.5,

又<72一(〃+1)-,即p-_4q44_2p,

44

-

W〃+j4-2〃,设J4-2P=t,x0<+t+2=——(/—I)+,

5

Omax=1~Imax，又％，0max

4

2

q<p-\,：.xa>p+7P-4p+4=〃+|〃-21=2,

9|.=

%n=121min

文4.函数/(x)=」一+lg(x+l)的定义域是()C

1-x

A.(—8,—1)B.(l,+oo)C.(-1,1)(l,+oo)D.(-00,+00)

10.设/(x),g(x),〃(x)是R上的任意实值函数.如下定义两个函数(/ogXx)和(/・gXx)；

对任意％6凡(/。83)=/(8(©)；(/・8)(工)=/(1)8(幻・则下列等式恒成立的是()

A.((/。g)・秋%)=((7•M。(g・碗幻

B.((/•g)°h^x)=((/°//)•(g°/?))(x)

C.((/。g)。〃■)=((/。〃)。(g。〃))(%)

D.((/•g"〃)(x)=((/・〃”(g・〃))(x)

B

12.设函数/(xh/cosx+l.若/(。)=11,贝1]/(一。)=.-9

19.(本小题满分14分)

设a>0,讨论函数/(x)=Inx+a(l-a)x12-*42(1-a)x的单调性.

解：函数f(x)的定义域为(0,+8)

2a(l-a)x2-2(]-a)x+1

JW=--------------------,

x

当a*1时，方程2a(l-a)x2-2(1-a)x+1=0的判别式A=12(a-1)(。-g)

①当时，A>0,尸(x)有2个零点

]J(a-l)(3a-1)1y](a-1)(3a-1)

x.----------------->u,X-,=---1-------------,

2a2a(1-a)~2a2a(i-a)

且却<x<x或x>々时，/a)>°，/a)在(°，药)与区，+00)内为增函数；

当％<X<W时，/(x)vOJ(x)在(再,X2)内为减函数

②当g4。<1时，△40,1(x)20J(x)在(0,+oo)内为增函数；

③当。=1时，/'(x)=工>0(x>0)J(x)在(0,+8)内为增函数；

X

④当。>1时，A>O,x,=--J(aT)(3"l)>0,%=_L+J(”[)(3"1)<°,所以Q)在定义域内有唯一零点片;

2a2。(1一〃)-2a2a(i-a)

且当0cx<4时，f\x)>0J(x)在(0,%)内为增函数;当x>阳时，f\x)<0J(x)在(芭,+8)内为减函数；

综上所述，f(x)的单调区间如下表:

0<a<-—<^<1a>l

33

(0,占)(々,+00)(0,+8)(0,x,)(Xp+oo)

1J(q_l)(3a_l)1

--------------------,Xj-----1----------------

2a2a(\-d)〜2a2a(l-a)

理6.已知定义在R上的奇函数/(%)和偶函数g(x)满足/(x)+g(x)=ax-a-x+2

(a>0,且awl),若g⑵=a,则/⑵=

A.2B.—C.—D.a2

44

【答案】B

22

解析：由条件/⑵+g⑵=/一。-2+2,f(_2)+g(-2)=a--a+2,即

-/（2）+g（2）=o-2-a2+2,由此解得g⑵=2,/⑵=。2_。-2,

所以。=2,/（2）=22-2一2=’,所以选B.

10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成

为衰变，假设在放射性同位素钝137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间f（单

t

位：年）满足函数关系：M（r）=Mo2-3。，其中为，=0时钝137的含量，已知，=30时,

钠137的含量的变化率是-101n2（太贝克/年），则M（60）=

A.5太贝克B.751n2太贝克C.1501n2太贝克D.150太贝克

【答案】D

1_1_1_30

30

解析；因为M/（r）=-1ln2xA/o23。，则〃/（30）=---ln2xM02=-10In2,解

_J_60］

得A/。=600,所以M（f）=600x2-记，那么M（60）=600x2一证=600x=150（太

贝克），所以选D.

17.（本小题满分12分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速

度丫（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到

20。辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过2。辆/千米时，车流速度

为60千米/小时.研究表明：当20WXW200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（I）当0WXW200时，求函数v（x）的表达式；

（D）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小

时）/（x）=x-Mx）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.

解析：（I）由题意：当0Wx420时，v（x）=60；当20Wx4200时，设v（x）=ox+。，

（、仅00。+6=0

显然心:）=依+匕在［20,200］是减函数，由已知得，”，解得＜

20。+。=60200

60,0<x<20,

故函数y(x)的表达式为v(x)=1]/“八\

-(200-x),20<x<200.

60x,0<x<20,

(U)依题意并由(I)可得/3=1(…、”

-^200-420<X<200.

当0WxW20时，/(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60x20=1200；

当20WXW200时，/(x)=；x(200—x)wg》+(2；。-6=1P299>

当且仅当x=200-x,即x=100时，等号成立.

所以，当x=100时，/⑺在区间［20,200］上取得最大值岑29.

综上，当x=100时，/(九)在区间［0,200］上取得最大值弓詈”3333,

即当车流密度为10。辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

21.(本小题满分14分)

(I)已知函数/(x)=lnx-x+l,xe(0,+8),求函数/(x)的最大值；

(II)设4，4(女=1,2…，〃)均为正数，证明：

(1)若q仇+生仇+…。也<4+4+”也，则<1；

(2)若仇+4+…4=1,则冲碎b^<h2+b2-+b2。

n12M

解：(I)/(X)的定义域为(0,+8),令r(x)='-l=0nx=l,

X

/(幻在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，故函数/(X)在X=1处取得最大值/⑴=0

(U)⑴由(I)知当xe(0,+oj)时有/*)〈/⑴=0即InxWx—1,

,：ak,bk>Q,hk-Inak4%(4-1),(%=1,2,“)n£ln磅4£%(4-1)

k=\hl

'/Z"也<.•Z也磴W0即/(。?磅d；)<0=>a?碎<1

£=1A=1£=1

(2)①先证冲好b^1>—,令％=(%=1,2,,〃)，则。也=，=>£〃也=

nnbkn77

由(1)知(‘一)“(」一卢(―/"<1^^—_厂4萨他++h"=n

nh}nb2nbn冲碎b；；

b：眩婿>-；

n

②再证4修外+么2…+々2,记5=邙；,%=&.,(女=1,2,,〃)

k=\3

则于是由(1)得

A=13k=\A=1

(34(旨与(也卢41nb潜b：;<se+与++4=s

所以,婷蜡4々2+42…+/2。综合①②，(2)得证

文15.里氏震级M的计算公式为：“第4拒4,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大

振幅睚

是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地

震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震

最大振幅的倍。6,10000;

20.(本小题满分13分)

设函数3V42,其中xeH,a、b为常数，已知曲

线y=/(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线/。

(I)求a、b的值，并写出切线/的方程；

(H)若方程_芥刈七嚷但处有三个互不相同的实根0、।、！：，其中阳<与,且对任意的

xe[jq,^],恒成立，数m的取值围。

解：(1)/"。)=3—+4"+"g'(x)=2x-3,由于曲线曲线y=/(x)与y=g(x)在点(2,0)

处有相同的切线，故有/(2)=g(2)=0，r(2)=g'(2)=l,由此解得：a=-2力=5；

切线/的方程：x-y-2=0'

(H)由⑴得/(x)+g(x)=x3-3f+2x,依题意得：方程双1一3尤+2-加)=0有三个互不相

等的根

0,尤1，%2,故为,工2是方程》2-3x+2-m的两个相异实根，所以

=9—4(2—m)>0=>m>—；；

又对任意的％不，毛]，一人汨埋加力成立，特别地，取％=玉时，

/(%)+8(%)—加毛<-a成立，即0<-m=>m<0,由韦达定理知：

菁+6,玉々=2-，故0<玉<々，对任意的xe[jq,j^],有

x-x2<0,x-X]>0,x>0,则:

/(x)+g(x)-znr=x(x-xl)(x-x2)<0；Xf(x^+g^y-mx^=0

所以函数在%]上的最大值为。，于是当机＜0时对任意的%],

人恒成立；综上：”的取值围是（一如）。

sinx17C

文7.曲线-----------G在点加（二，0）处的切线的斜率为（）

sinx+cos尤24

“11V2D立

A.一一B.-C.------

222,2

答案：B

cosx(sinx+cosx)-sinx(cosx-sinx)1

解析：y,所以

(sinx+cos(sinx+cos

]\_

训.

X--/•乃乃\22

(sin—+cos-)

44

8.已知函数fix)=e'-l,g(x)=-x2+4尤一3,若有f(a)=g(b),则b的取值围为

A.[2-V2,2+V2]B.(2-V2,2+V2)C.[1,3]D.(1,3)

答案：B

解析：由题可知/(x)=e*-l>-l,^(X)=-X2+4^-3=-U-2)2+1<1,若有

/(a)=g(匕则即―/+40_3〉_],解得2-也<b<2+0

12.已知/(x)为奇函数，g(x)=/(x)+9,g(—2)=3,则〃2)=.

答案：6

解析：g(—2)=/(—2)+9=3,5UJ/(—2)=—6,又/(幻为奇函数，所以/(2)=—/(—2)=6。

22.(本小题13分)

设函数/(x)=x-」-alnx(ae/?).

X

⑴讨论/(X)的单调性；

（II）若/（X）有两个极值点％和工2,记过点45,/（%））,5（%,/（々））的直线的斜率为左，

问：是否存在。，使得左=2—a?若存在，求出。的值，若不存在，请说明理由.

解析：⑴/（x）的定义域为（0,+8）.

小)=1+:a—QX+1

x

令g(x)=x?-or+1,其判别式=a2-4.

(1)当|。区20寸，<0,/'(幻20,故/。)在(0,+8)上单调递增.

⑵当”—2时，>0,晨x)=0的两根都小于0,在。+8上，尸(幻>0,故/(分由>w

上单调递增.

(3)当a>2H寸，>0,g(x)=0的两根为S="一,一4；-4,

当0<无<%时，f'(x)>0；当X|<x<々时，f\x)<0；当x>/时，f\x)>0,

故/(%)分别在(0,玉),(々,+8)上单调递增，在(%,乙)上单调递减.

(II)由⑴知，a>2.

因为/(M)一/(々)=(玉一无，)+当一^--aOnx,-lnx2),所以

A_/(XI)_/(X2)_1,13nxiTn%2

K——1HCl

X}-X2x]x2Xj-x2

又由(I)知，玉々=1.于是左=2一一见上

玉一々

若存在。，使得攵=2—a则见百~—%=].即In玉-Inx,=玉一々.亦即

x2---21nx2=0(x2>1)(*)

&-

再由(D知，函数力(f)=r-1-2hw在(0,+oo)上单调递增，而々>1,所以

X,-----21n龙2>1----21nl=0.这与(*)式矛盾.故不存在a,使得左=2—a

x,1

7171

理6.由直线1=-9/=石,》=0与曲线^=以九》所围成的封闭图形的面积为()

I

A.—B.1C.--D.>/3

22

答案：D

3£八八

解析：由定积分知识可得5=[cosx，a=sinx|*=一一(——)=6,故选D。

。-三22

3

8.设直线x=，与函数/(x)=Y,g(x)=Inx的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小

时/的值为()

“1亚x/2

A.1B・-C.----D,----

222

答案：D

解析：由题IMN|=f-Inx,(x>0)不妨令〃(x)=f-Inx,则/f*2=x一,，令"打住

x

解得彳=等，因xeQ当时，〃(x)<0,当xe(**o)时，〃(%)>0,所以当％=等

V2

时，|"N|达到最小。即/=2-。

20.如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v>0),

雨速沿E移动方向的分速度为c(ce/?)。E移动时单位时间的淋雨量包括两部分：(1)P或

P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与W-d'S成正比，比例系数为木；(2)

其它面的淋雨量之和，其值为g,记》为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100,面

积S=一时。

2

(I)写出y的表达式

(D)设OVV<1O,OVC<5,试根据c的不同取值围，确定移动速度V,使总淋雨量y最少。

31

解析：(D由题意知，E移动时单位时间的淋雨量为三|y-c|+5，

,100,3,,1、5c，八

故丁=---(―v-c+-)=-(3v-c+10).

v202v

(II)由⑴知，当0<vWc时，y=-(3c-3v+10)=+-15；

vv

当c<y410时，y=-(3v-3c+10)=5(1°-36)+15.

VV

5(3c+10)

-15,0<v<c

v

故y='

5(10-3c)

+15,c<v<10

(1)当0<cW?■时，y是关于u的减函数.故当u=l()时，x»i,>=20-y0

(2)当g<cW5时，在(0,c］上，y是关于v的减函数；在(c,10］上，y是关于v的增函数;

…150

故当v=c时,y=­o

mjnC

22.(本小题满分13分)

已知函数/(x)=%3,g(x)=x+4xo

(I)求函数h(x)=/(x)-g(x)的零点个数，并说明理由；

(H)设数列｛仆｝(〃€；7*)满足4=。3>0),/(a“+i)=g(a“)，证明：存在常数M,使得

对于任意的〃eN*,都有

解析：(I)由h(x)=X3-X-y［x知，xe［0-t,而〃(0=),且

h(1=:<仍住，-«2>),则x=0为〃*)的一个零点，且〃(x)在(1,2)有零点，因此

〃(x)至少有两个零点

1_1।_11-3

解法1：归)=31一y2,记心)=341丁2,则夕，⑴增+广。

当xe(0,+8)时，0(幻>0,因此以幻在(0,+8)上单调递增，则e(x)在(0,+8)至多只有

一个零点。又因为e⑴>o,M弓)<0,则例幻在df』)有零点，所以在(0,+8)有

且只有一个零点。记此零点为X一则当xe(0,X1)时，夕0)<夕'(工］)=0；当xe(x，+8)时,

8(x)>(p\x｝)=0；

所以，

当xe(0,%)时，当x)单调递减,而〃(0)=0,则力(%)在(0,xJ无零点;

当XG(F，+OO)时,当X)单调递增,则〃(X)在(%,+=。)至多只有一个零点;

从而//(X)在(0,+°。)至多只有一个零点。综上所述，%(x)有且只有两个零点。

」_1I3

解法2：h(x)=x(x2-,记夕(x)=d-1—x2,则研工)=2%+万兀3。

当xe(0,+8)时，<p\x)>0,因此e(x)在(0,+8)上单调递增，则e(x)在(0,+8)至多只有

一个零点。因此飘幻在(0,+oo)也至多只有一个零点，

综上所述，力(x)有且只有两个零点。

3

(II)记A(x)的正零点为4,即x0=x0+A。

(1)当。<玉)时，由％=a,即q</.而43=4+，*<与+J与=/3,因此生<与，

由此猜测：an<x{)o下面用数学归纳法证明

①当〃=1时，q</显然成立；

②假设当”=以左21)时，有氏</成立，则当〃=%+1时，由

a*+]=%.+Ja*<x()+J々)=知，4+i<X。，因此，当〃=左+1时，4+i<x()成乂°

故对任意的〃GN*,an<X。成立。

(2)当aNx°时，由(1)知，/z(x)在(％),+8)上单调递增。则//3)2/7(玉))=0,即

3

a>a+4ao从而。2^=4+“"=。+JZw。',即生<4，由此猜测：an<ao下面用数

学归纳法证明：

①当〃=1时，44a显然成立；

②假设当〃=口々21)时，有心成立，则当〃=k+1时，由

%+丁=4+G知，《+]<”，因此，当"=&+1时，％+]<。成立。

故对任意的〃eN*,an<a成立。

综上所述，存在常数阳=0^^{%,。},使得对于任意的〃eN*,都有44M.

2.函数/(x)=log5(2x+l)的单调增区间是

答案：(一；‘+8)

解析：丫=1085”在(0,+°0)."=2x+l在X€(—3,+8),大于零，且增.

本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题

2

8.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数/(幻=一的图象交于P、Q两点,

x

则线段PQ长的最小值是.

答案：4.

解析：设经过原点的直线与函数的交点为(x,2),(-%,--),则PQ=、(2x)2+(3)224.

xxVx

本题主要考查骞函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，两点间距离公式以

及基本不等式，中档题.

2x+a,x<\

1L已知实数函数/(x)=汽，，若/(I—。)=/(1+幻，则a的值为

—X-2a,x>1

3

答案：。=—:

4

解析：aH0.

33

a>0,2—2a+a=-1-a—2a,ci——,不符合'；。<0,-1+a—2a=2+2a+a,a=—.