高中数学高考复习各章要点扫描（7个方面）

高中数学高考复习各章要点扫描(7个方面)

函数

1函.数的定义

(1)映射的定义:

(2)一一映射的定义:

上面中是映射的是，是一一映射的是

(3)函数的定义：(课本第一册上.P51)

2.函数的性质

(1)定义域：(南师大P32复习目标)

(2)值域：

(3)奇偶性(在整个定义域内考虑)

①定义：

②判断方法：I.定义法步骤：a.求出定义域；

b.判断定义域是否关于原点对称；

c.求/(—x)；

&比较/(—X)句(X)或/(—X)与一/(X)

的关系。

n图象法

③已知：H(x)=/(x)g(x)

若非零函数/(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内“(X)为偶函数

若非零函数/(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内〃(X)为奇函数

④常用的结论：若/(X)是奇函数，且Ow定义域，则

/(0)=0^(-1)=-/(1)；

若/(x)是偶函数，则=/⑴；反之不然。

(4)单调性(在定义域的某一个子集内考虑)

①定义：

②证明函数单调性的方法：

I.定义法步骤：

a.设占,彳264且X］<x2;

b.作差/(西)一/。2)；

(一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清

楚地判断出)

C.判断正负号。

II用导数证明：若“X)在某个区间A内有导数，

则/'(x)N0,(xeN)o/(x)在A内为增函数；

/(%)<0,(xe/)o/(x)在A内为减函数。

③求单调区间的方法：

a.定义法：

b.导数法：

c.图象法：

d.复合函数歹=/［或刈在公共定义域上的单调性：

若f与g的单调性相同，则/国⑴］为增函数；

若f与g的单调性相反，则./［g(x)］为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

④一些有用的结论：

a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；

b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；

c.在公共定义域内

增函数/(X)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(X)+减函数g(x)是减函数；

增函数/(X)-减函数g(x)是增函数；

减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。

d.函数y=ax+—(a>0,6>0)在(一叫一愧［，石,+℃>)上单调递增；在

［-加石,0货(0,&加］上是单调递减。

(5)函数的周期性

定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使/(x+T)=/(x)恒

成立

则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

例：(1)若函数/(x)在R上是奇函数，且在(-1,0)上是增函数，且

/(x+2)=-/W

则①/(%)关于对称；②/(x)的周期为；

③/(x)在(1,2)是函数(增、减)；

④若xw(0,D时，/(x)=2\则/(log1,8)=o

2

(2)设/(x)是定义在(-8,+8)上，以2为周期的周期函数，且/(x)为

偶函数，在区间［2,3］±,〃x)=-2(x-3)2+4,则

x€［0,2］时，/(%)=o

3、函数的图象

1、基本函数的图象：(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、

(4)指数函数、(5)对数函数、(6)三角函数。

2、图象的变换

(1)平移变换

①函数卜=/0+。),(。>0)的图象是把函数卜=/(x)的图象沿x轴向左

平移a个单位得到的；

②函数7=./'(》+。),(4<0)的图象是把函数少=/(X)的图象沿X轴向右

平移同个单位得到的；

③函数y=/(x)+a,(a>0)的图象是把函数N=/(X)的图象沿N轴向上

平移a个单位得到的;

④函数y=/(x)+a,(a<0)的图象是把函数歹=/(x)的图象沿歹轴向下

平移同个单位得到的。

(2)对称变换

①函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0对称；

函数y=/(x)与函数夕=-./(X)的图象关于直线y=0对称；

函数N=/(x)与函数夕=-/'(-X)的图象关于坐标原点对称；

②如果函数N=/(X)对于——切Xe火,都有/(x+a)=/(x-a),那么

y=/(x)的图象关于直线X=a对称。

③函数夕=/(a+x)与函数y=/(。-x)的图象关于直线x=a对称。

④歹=/(x)-N=|/(x)|

⑤y=/(x)->y=/(|x|)

⑥歹=./T(X)与y=/(X)关于直线歹=X对称。

(3)伸缩变换

①歹=af(x\(a>0)的图象，可将y=/(x)的图象上的每一点的纵坐标伸

长(a>1)或缩短(0<«<1)到原来的。倍。

②y=/(分),(“>0)的图象，可将y=/(x)的图象上的每一点的横坐标

伸长(0<«<1)或缩短(a>1)到原来的-倍。

a

例：(1)已知函数y=/(x)的图象过点(1,1),则/(4-X)的反函数

的图象过点_______。

(2)由函数夕=(；『的图象，通过怎样的变换得到y=log；的图象？

4、函数的反函数

1、求反函数的步骤：

①求原函数y=/(x),(xeZ)的值域B

②把夕=/(x)看作方程，解出x=(p3)；

③x,y互换的.=/(x)的反函数为歹=广«),

2、函数与反函数之间的一个有用的结论：广(a)=Z>o./«)=。

3、原函数y=/(x)在区间［-h0上单调递增，则一定存在反函数，

且反函数y=/i(x)也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数

不一定单调。

例1：y=3k)g；r),(x20)的反函数为o

2：已知/(x)=x2+2x+3,(x20),求y=/(2x—l)的反函数。

3：设/(x)=9'-2-3',贝旷九0)=。

4：四十五分钟能力训练题十(13题)。

5、函数、方程与不等式

1、“实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有实数解”转化为

“△=/一4"20"，你是否注意到必须aW0；当a=0时，“方程有解”

不能转化为AM/-dacNO。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或

不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。

设Xi，》2为方程/(x)=0,(。＞0)的两个实根。

则<=>0；

①若X]<tn,x2>m,f(m)<

②当在区间(见〃)内有且只有一个实根，时,

o1(2)考虑端点，验证端点。

③当在区间(〃?,〃)内有且只有两个实根时,

A>0

b

m<-----<n

<=><2a

/(⑼>0

/(«)>0

④若m<xx<n<p<x2时

7(⑼•/(〃)<o

/(P)•/⑷<o

注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。

②注意端点，验证端点。

例：1、对于定义在R上的函数/(》)=与2,若其所以的函数值都不

X+1

超过1,则m的取值范围»

2、已知函数^=1。82画“川+：】的定义域是一切实数，则

3、若关于x的方程22*+2'“+。+1=0有实根，则

a€

4、设集合A=MX2_4X+3<0},B是关于x的不等式组

，2

x-2x+a<0的解集，试确定。的取值范围，使N=8。

x2-2（a+7）x+5<0

5、已知方程/+mx+m+\=O的两个根为一个三角形两内角的

正切值，试求机的取值范围。

直线、平面、简单几何体

一、知识结构

平面平面的概念和性质（三条公理及三个推论）

一平行直线一平行直线的传递性（公理4）

|异面直线所成的角

空间两—屏面直线卜

一条直线

・屏面直线间的距离

直4目交直线IT?互理

线

、

平直线在平面内

面

口直线与平面平行

、

简L直线与平面相交三垂线定理

单

几直线与平面所成的角

何

一平面与平面平行-ramT平面的距离

鳏孟面

---------------荏置「垂直相交

」平面与平面相交।叵座”

二面角及其平面角

~~i棱柱।,—

应-根

多面体与

正多面

-it

L宣-----|球的表面积和体萩

另注：三余弦公式？其中a为线面角，A为斜线与平面内直线所成的角，。为？

二、主要类型及证明方法（主要复习向量法）

1、定性：

（1）直线与平面平行：向量法有几种证法；非向量法有种证法。

（2）直线与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。

（3）平面与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。

2、定量：

、..—•P4,M

（1）点P到面的距禺d=|尸/•cos<PA,n>|=|一=；—|

\n\

（2）异面直线之间的距离：（同上）

（3）异面直线所成的角6：cos^=cos<PA,n>

（4）直线与平面所成的角。：sin^=cos<PA,n>

(5)锐二面角6：cos。=cos<根,〃>

二、例题

1.设集合4=｛正四面体｝,8=｛正多面体｝,C=｛简单多面体｝,贝I」/、B、C

之间的关系为（A）

A.AuBuCB.AuCuBCCBolD.CCLACIB

2.集合/=｛正方体｝,8=｛长方体｝,。=｛正四棱柱｝,则4、B、。之间的关

系为（B）

A.A<ZLB<ZICB.AUCCLBC.CCLAUBD.BuAuC

3.长方体/6。。一49C。中，E、F、G分别是48、BC、88上的点，则△£/文；

的形状是（C）

4等边三角形反直角三角形C.锐角三角形D钝角三角形

4.长方体的一条对角线与同一顶点处的三条棱所成角分别为a、尸、y,则有

（“2）2，222

4cos2a+cos%+cos1y=1B.sirra+sin2^+sirTy=1

C.co^a+cos2^+cos2y=2D.sirTa-\-sirT[i-\-=3

5.长方体的一条对角线与同一顶点处的三个而所成角分别为a、6、人则有

（匕），，，

A.cos1a+cos1^+cos1y=1B.sirTaJrsirr[i-\-sirry=1

C.cos2a+cos2/3+cos2y=3D.sin2a+sin2/]-\-sin2y=2

6.长方体NBC。一⑷9。。中，ZD'BA=45°,ZD'BB'=60°,则NO8C=（C）

43008.45°C.60°DJ5°

7.长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,则这个长方体的一条体对角线

长为（C）

42小5.^14C.5D.6

8.棱锥的底面积为S,高位h,平行于底面的截面面积为S,则截面与底面的

距离为（）

（小一次）〃「（小+次）〃「（S—S”。.3

A.小B.小C~l—

A

9.三棱锥尸一/BC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的

（）

4内心8.外心C.垂心。.重心

B

10.三棱锥P—Z8C的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是

底面三角形的（）

4内心氏外心C垂心。.重心

B

11.三棱锥产一/8。的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射

影是底面三角形的（）

4内心氏外心C.垂心。.重心

A

12.三棱锥产一Z8C的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形

的（）

4内心区外心C.垂心。.重心

C

13.三棱锥K一Z8C中，VA=BC,VB=Ac,VC=Ah,侧面与底面NBC所成的二面

角分别为a、B、＞（都是锐角），则cosa+cosA+cosy=（）

AAB.2C，2Dq

A

14.四面体的四个面中，下列说法错误的是（）

4可以都是直角三角形8.可以都是等腰三角形

C不能都是顿角三角形D可以都是锐角三角形

C

15.正n棱锥侧棱与底面所成角为a,侧面与底面所成角为夕，则tanatan^=

（）

7t7TIn27r

A.sin~nB.cosn-C.sin-nD.cos-n

B

16.一个简单多面体的各个面都是三角形，且有6个顶点，则这个多面体的面数

为（）

AAB.6C.8D.10

C

17.正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为（）

11n11

A.arccos^arccos^C.^-arccos^D.—arccosr^

B

18.正方体的全面积为a2,它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积为（）

「四22n兀a

A.~B.—C2TT4~D37ra

B

19.一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5,且它的顶点都在一个球面上，这

个球的表面积为（）

2072718.25啦无C.50无0.200兀

C

20.在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA

=PB=PC=a,那么这个球面的面积是（）

A.2na2B^ita2C.47ta2D.Gita2

B

21.北纬30。的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为（）

AA：15.2：1C小：1D.y/2：1

A

22.地球半径为R,在北纬30。的圆上有两点A、B,A点的经度为东经120。，B

点的经度为西经60。，则A、B两点的球面距离为（）

4；欣8.坐兀RC&R

D

23.球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的看经过这

三个点的小圆周长为4兀，那么这个球的半径为（）

44s5.273C.2D币

B

24.球面上有三个点A、B、C,其中AB=18,BC=24,AC=30,且球心到平面

ABC的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为（）

41丽5.10C.20D30

A

25.在北纬60。圈上有甲、乙两地，它们在纬度线上的弧长等于史＜,R为地球半

径，则这两地的球面距离为（）

4班兀R8&RC.坐7tRD坐7TR

B

填空题：

设m、n是不重合的两条直线，a,四/是不重合的平面，给出下列命题：请判断

其是否正确，如错误，请举出反例。

若〃〃则〃_1_夕

若加_1_La,_L夕，贝ija_L夕

若〃_La,a_L4,加u,，贝lj加〃〃

若〃_L民aJ_/，则〃〃a或〃ua

若。则a〃尸

若a内有不共线的三点到/?的距离相等，则a〃夕

若aua,buB，aHB，bH0,贝Ua〃/?

若a、b是异面直线，aua,bu。,贝Ua//£

三、解答题

26.如图：已知正三棱柱NBC—/0。的侧棱长为2,底面边长为1,〃是8C的

中点。

(1)求异面直线AB,8C1的夹角；

(2)在直线CC上求一点N,使得MNLAB1

(3)若AB的中点为P,BC，的中点Q,求证：PQ〃面ABC

(1)解法一：因为四'=加+历'，犹'=琥'+眈'又因为NEC是正三棱

柱，加，胡；助」灰7，<屈,眈由题意，|曲|=|吐1=1,|加1

=2从而得：比，=(丘+加)(5号+灰?)=

屈・欧一(欧¥+屈,.眈,+加，.眈，=|用(+油.吐，=

4+

7

g=四区匚=2

闭即87tlicos<加,夕1.cos<

2,*|范11配1510

77

<A^f,觉>="ccos而即异面直线/夕与8。的夹角为arccos~^

解法二：以4点为坐标原点，44,为z轴，力C为y轴，建立空间直角坐标系,

题

由

省。O57

B:V,2),C(0,1,2)

V23

当1,0)=(一坐,1,2)

-(z--(

\T2)V23

51

_2）•（一坐g，2）

.4、碇'•犹,2'2'7

cos<A^,既>二

（当了+$+22讣芈y+（畀+22W

77

•二〈刀-">=arccos~^即异面直线48与8c的夹角为arccos~^

(2)解法一：设C7V=x55,由题意可得：砒《防

2兀

曲=血+磔，MN=Mt+CN(屈,眈1>=3

屈」疝,：.戏'砌=0也就是(加+历,)—(敬+附=0

相加+鳍加+苏CV+防◎=()

|制做|cos＜m戒＞+x|附2=0...-1+4x=0/.x=^即当im=T时，

AB'LMN.

解法二：同解法一建立空间直角坐标系，

S13

有4(0,0,0),5(^-,5，0),M4J4f0),N(0,1,z)

9=吟~,2),A^=(一乎,z)V腑上而/,/.砧・而1=0

/.(坐]2),(一平，pz)=0/.—l+|+2z=0

乙乙IIOO

解得Z=1,:.N=Q,1,1)即CN=t时，AB,A_MN.

(3)非向量法略，另向量法：方法一、基向量(待定系数法)P(—,-,1)

44

0哼则而=吟0),又因为方=g,g,0),就=(0,1,0)

0=^-x+0y

11——»1—►—►

设尸。=x/8+儿4。得＜—=—x+y得x=0,y=l/2,所以尸。=：4C+0AB所

22

0=Ox+Oy

以PQ与面ABC共面，又因为尸02面/3C,所以PQ//面ABC

例2已知/(%)=上(xwT).(来源课本第二册P17、EX9；P23、EX4；P31、EX3)

x+1

(1)求/1X)的单调区间；(2)求证：x>y>0,^f(x+y)</(x)+f(y).

I4

(3)若a?>b>O,c=------，求证：f(a2)+/(c)>—.

(a—b)b5

讲解：G)对已知函数进行降次分项变形，得/(x)=l-一1一,

x+1

・•・/(X)在区间(-00,-1)和(-1,+8)上分别单调递增.

(2)首先证明任意x>y>0,数(％+用</(太)+/3).事实

孙+盯+x+y>孙+x+y

上，/*)+/b)=M+W=/(盯+x+y)

盯+x+y+l盯+x+y+l

V]]xy+x+y>x+y,由(1)知/®+x+力>/(x+y),

114

/./(x)+f(y)>/(x+y)*•,c=------->----；~：—=丁〉0,

(a-b)ba-b+ba2

[2'2

44

.-.a2+c>a2+—>4.：.f(a2)+/(c)>f(a2+c)>/(4)=

a5

函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新，是既考知识又

考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值.针对本例的求解

你能够想MiW任意x>y>0,有/(x+y)</(x)+/3).采用逆向分析法，给

出你的想法！

例4对于函数/(X),若存在「€火,使/'(/)=X。成立，则称为/(X)的不动点。

21

如果函数/(x)=上+3,ceN)有且只有两个不动点0,2,且/(_2)<-±

bx-c2

(1)求函数/(X)的解析式;

(2)已知各项不为零的数列｛%｝满足4SJ/(L)=1,求数列通项凡；

%

(3)如果数列｛4｝满足q=4,a“M=/(勺),求证:当〃N2时，恒有凡<3成

立.

2

讲解：依题意有土上£=x,化简为(1-3，+5+。=0,由违达定理，得

bx-c

c

2+0=-----,Q=02

'l~b解得C,代入表达式/(x)=---，由

20=-^-,6-1+2(l+；)x-c

I1-62

_91

/(—2)=——<一一，得c<3,又CGN,b€N,若c=。,b=1,贝旷(x)=x不止有两个

1+C2

V2

不动点，.•.c=2,b=2,故〃x)=——,(xwl).

2(x-l)

（2）由题设得4S,•—?一=1得：25,,=%-个，（*）

2（——1）

an

且4“丰1,以〃一1代〃得：2s“T=%（**）

由（*）与（**）两式相减得：

2。”=（a"一）一（a；—）,即（a„+4_1）（。“一a“_]+1）=0,

an=-%_1或/=T,以〃=1代入（*）得：2q=%-a；,

解得6=0（舍去）或为=-1,由/=-1,若得々=L这与a"矛盾,

an-an_x=-1,即｛4｝是以T为首项，T为公差的等差数列，a”=-〃；

2

（3）采用反证法，假设a“N3（〃N2）,则由（1）知。川=/也,）=—^

2%-2

.•.也=^^=；・（1+-^）<；（1+；）=：<1,即“,用<4（〃22,〃€"）,有

an2（a„-1）2an-\224

〃21Ao

a<a,<...<a,而当”=2时,a,=---!——=----=一<3;a<3,这与假

""T222«,-28-23

设矛盾，故假设不成立，a”<3.

关于本例的第（3）题,我们还可给出直接证法,事实上：

由。”+1=/（4,）得4+1=-=_2（__^）2+\<得明+i〈°或4+i22.

2%一2a„+la,,222

若a“+i<0,则%+[<0<3,结论成立；

若用22,此时〃22,从而％M-a"=""乩一2）<0,即数列｛凡｝在〃22时单

2（«„-1）

22

调递减，由牝=2—,可知。〃4生=<3,在〃>2上成乂.

比较上述两种证法，你能找出其中的异同吗？数学解题后需要进行必要的

反思，学会反思才能长进.

解析几何中的基本公式

1、两点间距离：若人氏*）》（*2，丫2），则|工邳=J（》2-Xi）"+（必—M产

特别地：AB〃x轴，则|AB|=

AB//y轴，则|AB|=

2、平行线间距离：若L：Ax+By+G=O,12:Ax+By+C2=0

|c,-c|

则：d=2

VA2+B2

注意点：X,y对应项系数应相等。

3、点到直线的距离:P(xo,yo),1:Ax+By+C=0

则P和的距离为:

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：[丫二e+卜

lF(x,y)=0

消y：ox?+&r+c=0,务必注意△>().

若1与曲线交于A(x,,y1),B(x29y2)

变形后：入=土二土或九=2二左

/一%y2-y

6、若直线h的斜率为k],直线b的斜率为k2，则11到b的角为a,a£(0,7T)

适用范围：ki，k2都存在且k|k2W-1,tana“2—h

1+k\k?

k-kJT

若1与b的夹角为0,则tan。{2，0e(0,-]

1+k、k)

注意：(1)h到b的角，指从h按逆时针方向旋转到b所成的角，范围(0,兀)

h到12的夹角:指h、b相交所成的锐角或直角。

(2)l|_Lb时，夹角、到角=二。

2

(3)当h与12中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7^(1)倾斜角a,ae(0,n)；

(2)W/夹角。，0e[0,7t]；

(3)直线1与平面a的夹角p,Pe[O,^];

(4)h与b的夹角为0，0e[0,1],其中h〃b时夹角0=0;

(5)二面角0,ae(0,兀]；

(6)h至ljb的角仇9e(0,7i)

8、直线的倾斜角a与斜率k的关系

a)每一条直线都有倾斜角a,但不一定有斜率。

b)若直线存在斜率k,而倾斜角为a,则k=tana。

9、直线h与直线12的的平行与垂直

(1)若h，b均存在斜率且不重合:①li〃boki=kz

②如1<2=—1

(2)若:Axx+Byy+Cy-0,l2:A2x+B2y+C2=0

若Ai、A2>BI、B2都不为零

①v/12^A=A^£_；

4B2C2

②li±h<=>A]A2+B]B2=0;

③h与12相交O区工至

4B2

④h与b重合O4.=2=6；

4B]C2

注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与力0的情况。

10、直线方程的五种形式

名称方程注意点

斜截式：y=kx+b应分①斜率不存在②斜率存在

点斜式:y-y.=k(x-x)(1)斜率不存在：x=x。(2)斜率存在时

为=g—九)

两点式：上江=土玉

先一口x2-x(

截距式：2+*=1其中1交X轴于5,0),交y轴于(0,6)当直1

ab

在坐标轴上，截距相等时应分：

(1)截距=0设尸kx(2)截距awO设

—+—=1B[Jx+y=a

aa

一般式：Ax+By+C^0(其中A、B不同时为零)

10、确定圆需三个独立的条件

圆的方程(1)标准方程：(x-a)2+(y-by=r2,

(4,6)—圆心，丫—半径。

22

(2)一般方程：/+瓜+4+产=o,(Z)+£-4F>0)

zDE.囿pyjD2+E2-4F

(-y-y)一―圆也r=------------

11、直线Zx+欣+C=0与圆(%一0)2+3-6)2=尸2的位置关系有三种

若6/=吗?竺S1,4＞厂=相离=公＜0

d-ro相切。△=0

d＜尸=相交o△＞0

12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为Oi，。2,半径分别为h，r2,\O,O2\=d

d＞r1+r2o外离＜=＞4条公切线

d=r1+r2＜=＞外切＜=＞3条公切线

h-r2kd＜八+尸2o相交o2条公切线

d=卜-修=内切=1条公切线

0＜d＜h-々|=内含。无公切线

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质

（一）椭圆

定义定若Fi，F2是两定点,P为动点,且|尸£|+归局=2。＞|月工|为

常数）则P点的轨迹是椭圆。

定义n：若&为定点，i为定直线，动点P到R的距离与到定直线1的距

离之比为常数e（0<e<l）,则P点的轨迹是椭圆。

准线方程：x=+—

c

焦半径：|M|=e（x+?）,|PF21=e（?-x），|尸用=2。-归周，

4-C引尸用4“+C等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定

义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：用=区用=Q-C,=|42耳I=4+C

忸闿=忸向|=忸2「2H与耳|=4，%星|=|482|=行不等等。顶

点与准线距离、焦点与准线距离分别与“,“C有关。

（2）四片工中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段仔耳|、

|PF2|>2C,有关角/耳结合起来，建立|尸耳|+归尸2卜]囹・四|

等关系

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：F=：c°s（；

[y=psin0

（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴

上时，其相应的性质。

二、双曲线

（一）定义：I若F],F2是两定点，归用-|尸尸2||=2"归阅（。为常数），

则动点P的轨迹是双曲线。

II若动点P到定点F与定直线1的距离之比是常数e（e>l）,

则动点P的轨迹是双曲线。

（二）图形：

（三）性质

方程：-7--=1（a>0,/>>0）~~~2=（a>0,6>0）

a~ba~b

定义域：｛布24或不<々｝；值域为R；

实轴长=2%虚轴长=2b

焦距：2c

Q2

准线方程：工=±—

C

22

焦半径：户用=*+?）,\PF2\=e（--x）,归用-匹||二2々；

注意：（1）图中线段的几何特征：|力用=忸闾=C-4,|力用=忸周=4+C

22

顶点到准线的距离：或a+<；焦点到准线的距离：

CC

a~一a

C---或CH----

2«2

两准线间的距离=

c

(2)若双曲线方程为=-口=1=＞渐近线方程：4-4=0=＞y=±-^

b~cTb~a

22

若渐近线方程为夕=±2'=＞%土上=0n双曲线可设为餐—4=入

aaba2b2

若双曲线与W-《=1有公共渐近线，可设为4=九

a-b-ab-

(人＞0,焦点在x轴上，入＜0,焦点在y轴上)

(3)特别地当。=6时。离心率e=&。两渐近线互相垂直，分别为

y=±x,此时双曲线为等轴双曲线，可设为一一/=入；

(4)注意A/岑g中结合定义归用-|PF2b2a与余弦定理cos/与产工，

将有关线段|尸用、\PF2\＞出用和角结合起来。

(5)完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质。

二、抛物线

(-)定义：到定点F与定直线1的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点F的距离与到定直线1的距离之比是常数e(e=l)0

(二)图形：

（三）性质：方程：V=2px,（p>0）,p--焦参数；

焦点：名,0）,通径|曲=2p；

准线：x=-d

2

焦半径：|5=兀+多过焦点弦长

\CD\=%1+y+x2+^=X!+x2+p

注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=5:焦点到准线的距离=p；

通径长=2p

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

2

（2）抛物线F=2px上的动点可设为或

2P

尸(2",20)或P(x“。)其中y!=2px。

三角函数的概念、性质和图象

复习要求（以下内容摘自《考纲》）

1.理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算.

2.掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、

三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正

周期的意义.会求尸为in（3x+（p）的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上

述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的

三角函数值与证明较简单的三角恒等式.

3.了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正

弦、余弦函数和函数尸加in（3x+（p）的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际

问题.

4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。

5.形如y=$出％+（：05＞或/=sinx-cosy的辅助角的形式，求最大、

最小值的总题。

6.同一问题中出现sinx+cosx,sinx-cosy,sinx•cosy,求它们的范

围。如求y=sinx+cosy+sinx•cosy的值域。

7.已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。

如已知tanX=2,求sin2x+2sinx-cosy+cos2y+4-的值。

8正弦定理：，_=_A_=1J=2R（及为三角形外接圆的半径）

sinAswinBsinC

a:b:c=sin力：sin8:sinC

i22_2

余弦定理：a2=b2+c2-2ahcosA,...cosA=---------

lab

可归纳为表9—1.

表97三角函数的图象三、主要内容及典型题例

三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、

图象、性质、三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差

的三角函数，二倍角，降次公式等。

1.三角函数的图象与性质和性质

二角出数j=sinrj=cosry=tanxy=cotx

y

二1f;

图象4

1I-A

1