高中数学选修21讲义第一章13全称量词与存在量词

第1课时量词观察下列命题：(1)对任意实数x，都有x>5.(2)对任意一个x(x∈Z)，3x＋1是整数．问题：上述两个命题各表示什么意思？提示：(1)表示对每一个实数x，必定有x>5；(2)对所有的整数x,3x＋1必定是整数．全称量词和全称命题全称量词所有、任意、每一个、任给符号表示∀x表示“对任意x”全称命题含有全称量词的命题一般形式∀x∈M，p(x)观察下列语句：(1)存在一个实数x，使3x＋1＝7.(2)至少有一个x∈Z，使x能被3和4整除．问题：上述两个命题各表述什么意思？提示：(1)表示有一个实数x，满足3x＋1＝7；(2)存在一个整数Z，满足能被3和4整除．存在量词和存在性命题存在量词有一个、有些、存在一个符号表示“∃x”表示“存在x”存在性命题含有存在量词的命题一般形式∃x∈M，p(x)1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．[例1]判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)若a>0且a≠1，则对任意x，ax>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2；(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sinx|；(4)存在实数x，使得x2＋1<0.[思路点拨]分析每一个命题中的量词，再判断．[精解详析](1)、(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)、(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．[一点通]判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤：(1)判断此语句是否为命题；(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词；(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．1．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是存在性命题．答案：①②③④2．判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(5)负数的平方是正数；(6)有的实数是无限不循环小数；(7)每个二次函数的图像都与x轴相交．解：(1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题．(3)中含有全称量词符号“∀”，所以是全称命题．(4)中含有存在量词符号“∃”，所以是存在性命题．(5)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题．(6)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．(7)中含有全称量词“每个”，所以是全称命题.[例2]判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用量词符号“∀”，“∃”表述：(1)凸n边形的外角和等于2π；(2)有一个有理数x，满足x2＝3；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[精解详析](1)全称命题：∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)存在性命题：∃x∈Q，x2＝3.(3)全称命题：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.[一点通]准确理解全称命题和存在性命题的概念，熟练应用常用的全称量词和存在量词．任何一个全称命题和存在性命题都有多种表述方式，但用符号“∀”“∃”表述却很规范，就是一般式．全称命题：∀x∈M，p(x)；存在性命题：∃x∈M，p(x)．3．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示：(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1＞0；(4)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.解：(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)∃x∈R，有2x＋1＞0.(4)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.[例3]判断以下命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假：(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一解；(4)存在实数x，使eq\f(1,x2－x＋1)＝2.[思路点拨]应先分清所给命题是全称命题还是存在性命题，再判断真假．[精解详析](1)是一个存在性命题，是假命题；(2)是一个全称命题，是假命题；(3)是一个全称命题，是假命题；(4)是一个存在性命题，是假命题．[一点通]1．全称命题的真假判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个元素x＝x0，使得p(x0)不成立即可．2．存在性命题的真假判断：要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．4．给出下列命题：①∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanx>sinx；②∀x∈R,3x>0；③∃x∈R，sinx＋cosx＝2；④∃x∈R，lgx＝0.其中为真命题的是________．(填入所有真命题的序号)解析：①中，由于x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinx>0,0<cosx<1，所以tanx－sinx＝eq\f(sinx,cosx)－sinx＝eq\f(sinx1－cosx,cosx)>0，所以①是真命题；②中，函数y＝3x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以②是真命题；③中，函数y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈R的值域是[－eq\r(2)，eq\r(2)]，又2∉[－eq\r(2)，eq\r(2)]，所以③是假命题；④中，由于lg1＝0，所以④是真命题．答案：①②④5．判断下列全称命题的真假．(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解：(1)2是素数，但不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x∈R⇒x2≥0⇒x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)eq\r(2)是无理数，但(eq\r(2))2＝2是有理数．所以，“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．6．分别判断下列存在性命题的真假：(1)有些向量的坐标等于其起点的坐标；(2)存在x∈R，使sinx－cosx＝2.解：(1)真命题．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x1＝x1，,y2－y1＝y1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2x1，,y2＝2y1.))如A(1,3)，B(2,6)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(1,3)，满足题意．(2)假命题．由于sinx－cosx＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的最大值为eq\r(2)，所以不存在实数x，使sinx－cosx＝2.1．判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．2．要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．3．要判定存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题．课时达标训练（四）1．下列命题：①有的质数是偶数；②与同一平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形的三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号)解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题．答案：②④①③2．下列命题中的假命题是________．①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*，(x－1)2>0；③∃x∈R，lgx<1；④∃x∈R，tanx＝2.解析：对②，x＝1时，(1－1)2＝0，∴②假．答案：②3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题：(1)实数的平方大于或等于0：____________________________________________；(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_________________________________.答案：(1)∀x∈R，x2≥0(2)∃x∈R，y∈R,3x－2y＋1≥04．命题“∀x∈R＋，2x＋eq\f(1,x)＞a成立”是真命题，则a的取值范围是________．解析：∵x∈R＋，∴2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2)，∵命题为真，∴a＜2eq\r(2).答案：(－∞，2eq\r(2))5．已知“∀x∈R，ax2＋2ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，不等式为1>0，对∀x∈R,1>0成立．当a≠0时，若∀x∈R，ax2＋2ax＋1>0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－4a<0，))解得0<a<1.综上，a的取值范围为[0,1)．答案：[0,1)6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对任意x∈R，zx＞0(z>0)；(2)对任意非零实数x1，x2，若x1＜x2，则eq\f(1,x1)>eq\f(1,x2)；(3)∃α∈R，使得sin(α＋eq\f(π,3))＝sinα；(4)∃x∈R，使得x2＋1＝0.解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．(1)∵zx＞0(z>0)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝－1，x2＝1，x1＜x2，但eq\f(1,x1)<eq\f(1,x2)，∴命题(2)是假命题．(3)当α＝eq\f(π,3)时，sin(α＋eq\f(π,3))＝sinα成立，∴命题(3)为真命题．(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．7．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2)；(2)∃α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)∀x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)∃x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3.解：(1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>eq\f(1,2)，所以该命题是真命题．法二：x2－x＋1>eq\f(1,2)⇔x2－x＋eq\f(1,2)>0，由于Δ＝1－4×eq\f(1,2)＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>eq\f(1,2)的解集是R，所以该命题是真命题．(2)当α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)时，cos(α－β)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，cosα－cosβ＝coseq\f(π,4)－coseq\f(π,2)＝eq\f(\r(2),2)－0＝eq\f(\r(2),2)，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以该命题是真命题．(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N，所以该命题是假命题．(4)当x＝0，y＝3时，eq\r(2)x＋y＝3，即∃x，y∈Z，使eq\r(2)x＋y＝3，所以该命题是真命题．8．(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．解：(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R.∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≥－eq\r(2).又∵∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立．∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－eq\r(2))．(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R.∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，又∵∃x∈R，sinx＋cosx>m有解．∴只要m<eq\r(2)即可．∴所求m的取值范围是(－∞，eq\r(2))．第2课时含有一个量词的命题的否定观察下列几个命题：(1)p：有些三角形是直角三角形；(2)q：所有的质数都是奇数；(3)r：所有的人都睡觉；(4)s：有些实数的相反数比本身大．问题1：哪些是全称命题，哪些是存在性命题？提示：(1)、(4)是存在性命题，(2)、(3)是全称命题．问题2：试对它们进行否定．提示：(1)任意的三角形都不是直角三角形．(2)有些质数不是奇数．(3)有的人不睡觉．(4)任意实数的相反数都不大于本身．问题3：它们的否定有什么规律？提示：全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．1．全称命题的否定全称命题的否定是存在性命题，“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”．2．存在性命题的否定存在性命题的否定是全称命题，“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．对全称命题与存在性命题进行否定的方法：(1)确定所给命题类型，分清是全称命题还是存在性命题；(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词；(3)否定性质：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等更改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．[例1]判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)对任意x∈R，x3－x2＋1≤0；(2)所有能被5整除的整数都是奇数；(3)对任意的x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数．[思路点拨]几个命题均为全称命题，可先判断真假，再变换量词、否定结论、写出其否定．[精解详析](1)当x＝2时，23－22＋1＝5>0，故(1)是假命题．命题的否定：存在x∈R，x3－x2＋1>0.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．命题的否定：存在x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1不是有理数．[一点通]1．全称命题的否定：全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是解题的关键．2．常见词语的否定：原词否定词原词否定词原词否定词等于不等于是不是至少一个一个也没有大于不大于都是不都是任意某个小于不小于至多一个至少两个所有的某些1．指出下列命题的形式，写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解：(1)∀x∈M，p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形，∃x∈M，綈p(x)．(2)∀x∈M，p(x)，否定：存在一个素数不是奇数，∃x∈M，綈p(x)．(3)∀x∈M，p(x)，否定：∃x∈R，x2－2x＋1＜0，∃x∈M，綈p(x)．2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数.[例2]写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3.[思路点拨]它们的否定是全称命题，解题时既要改变量词，也要否定结论，最后判断其真假．[精解详析](1)命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是：“∀x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3”．因为当x＝0，y＝3时，eq\r(2)x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[一点通]1．存在性命题的否定是全称命题，要否定存在性命题“∃x∈M，p(x)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“∀x∈M，綈p(x)成立”．2．要证明存在性命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件即可．3．只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．3．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1<0；(2)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解：(1)綈p：∀x∈R，x2＋1≥0，真命题．(2)綈p：∀x∈R，x3＋1≠0∵x＝－1时，x3＋1＝0，∴綈p为假命题．4．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)存在一条直线在y轴上有截距；(2)存在二次函数的图像与x轴相交；(3)存在一个三角形，它的内角和小于180°；(4)存在一个四边形没有外接圆．解：(1)与y轴平行的直线在y轴上没有截距，其他直线在y轴上都有截距，所以，此命题是真命题．命题的否定是：所有的直线在y轴上没有截距；(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ≥0时，函数图像与x轴有交点，所以，此命题是真命题，命题的否定是：所有二次函数的图像与x轴不相交；(3)任何三角形内角和都等于180°.所以，此命题是假命题．命题的否定是：任何三角形的内角和不小于180°；(4)对角不互补的四边形就没有外接圆，所以，此命题是真命题．命题的否定是：任何四边形都有外接圆.[例3]若全称命题“对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．[思路点拨]由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题．[精解详析]法一：由题意，对任意x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立．所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立，即对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2，a≥－1，,1＋a2＋2－a2，a<－1.))由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．所以实数a的取值范围是[－3,1]．法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全称命题转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立．所以Δ≤0，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－42－a>0，,a<－1，,f－1≥0，))即－2≤a≤1，或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．[一点通]对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a，只需f(x)min≥a.也可等价转化为对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2－a≥0恒成立，结合一元二次不等式的解集与二次函数图像间的关系求解．5．若命题：“∃x∈k，m<4sinx＋cosx”是真命题，求m的取值范围．解：∵4sinx＋cos2x＝－2sin2x＋4sinx＋1＝－2(sinx－1)2＋3，又x∈R时，－1≤sinx≤1，∴4sinx＋cos2x∈[－5,3]．则当m<3时，该命题为真命题．∴m的取值范围为(－∞，3)．6．若方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正实数根，求实数a的取值范围．解：当a＝0时，方程变为：2x－1＝0，x＝eq\f(1,2)>0满足条件．当a≠0时，若方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正实数根．则Δ＝4＋4a≥0，则a≥－1.又因x＝0时，ax2＋2x－1＝－1<0恒成立．故a≥－1时，一定有正实根．综上：a的取值范围为[－1，＋∞)．对含有一个量词的命题的否定要遵循以下步骤：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．课时达标训练（五）1．(重庆高考改编)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是_________________．解析：因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2<0”．答案：存在x∈R，使得x2<02．命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是________________．解析：存在性命题的否定是全称命题．答案：∀x∈∁RQ，x3∉Q3．命题“∀x∈R，x2－x＋3>0”的否定是_______________________________．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：∃x∈R，x2－x＋3≤04．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是______________________．解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题．故该命题的否定是：“存在能被2整除的整数不是偶数”．答案：存在能被2整除的整数不是偶数5．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：该命题p的否定是¬p：“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集为R，由于命题p是假命题，所以¬p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以实数a的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)6．设语句q(x)：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝sinx：(1)写出qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，并判定它是不是真命题；(2)写出“∀a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题．解：(1)qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,2)))＝sineq\f(π,2)，因为cos0＝1，sineq\f(π,2)＝1，所以qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))是真命题．(2)∀a∈R，q(a)：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(π,2)))＝sina，因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－a))＝sina，所以“∀a∈R，q(a)”是真命题．7．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是¬p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m<0，即m<－eq\f(1,4)时，一元二次方程没有实数根，所以¬p是真命题．(2)这一命题的否定形式是¬q：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0.利用配方法可以验证¬q是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是¬r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知¬r是一个假命题．8．∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围．解：已知不等式化为22x－2·2x＋2－a<0.①令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，则不等式①化为：t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2，原命题等价于：∀t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，a>t2－2t＋2恒成立，令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，当t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))时，ymax＝10.所以只须a>10即可．即所求实数a的取值范围是(10，＋∞)．一、命题及其关系1．命题能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等语句都不是命题．2．四种命题原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件、必要条件与充要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若“p⇒q”，且“pq”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；若“p⇔q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；若“pq”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．三、逻辑联结词1．“且”“或”“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p∨q”“p∧q”“綈p”三种形式．2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p∨q”中有真为真，“p∧q”有假为假，綈p与p真假相反．3．注意命题的否定与否命题的区别．否命题既否定条件又否定结论；而命题的否定只否定结论．四、全称命题和存在性命题1．全称命题“∀x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．2．存在性命题“∃x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可．(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．五、含有一个量词的命题的否定1．全称命题的否定一定是存在性命题．p：∀x∈M，p(x)成立；¬p：∃x∈M，¬p(x)成立．2．存在性命题的否定一定是全称命题．p：∃x∈M，p(x)成立；¬p：∀x∈M，¬p(x)成立．3．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．阶段质量检测（一）(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．命题：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是____________________________．答案：若a≠0且b≠0，则ab≠02．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是___________________________________．解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题．答案：∃x∈R，x2－2x＋1<03．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．解析：l1与l2平行的充要条件是a(a＋1)＝2×1，且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要条件．答案：充分不必要4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(¬p)∨q；②p∧q；③p∨q；④(¬p)∨(¬q)．解析：命题p真，命题q假，因此¬p假，¬q真，①是假命题，②假命题，③真命题，④真命题．答案：③④5．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________个．解析：显然①假，②真，对于③，当k<0时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，故③为真．答案：26．(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的________条件．解析：便宜⇒没好货，等价于其逆否命题，好货⇒不便宜，∴“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．(湖南高考改编)“1<x<2”是“x<2”成立的________条件．解析：设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<2}，故AB，即当x0∈A时，有x0∈B，反之不一定成立．因此“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件答案：充分不必要8．命题“若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又∵它的逆命题若“x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”是真命题，∴它的否命题也是真命题．答案：49．(辽宁高考改编)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为________．解析：设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但eq\f(an,n)＝1＋eq\f(1,n)是递减数列，所以p3为假命题；由于an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．答案：p1，p410．命题p：任意两个等边三角形都是相似的．①它的否定是________________________________________________________；②否命题是__________________________________________________________．答案：①存在两个等边三角形不相似②如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似11．已知命题p：不等式|x－1|>m的解集是R，命题q：f(x)＝eq\f(2－m,x)在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是________．解析：命题p：m<0，命题q：m<2.∵p与q一真一假，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,m≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m<2，))解得0≤m<2.答案：[0,2)12．下列结论中正确命题的个数是________．①命题p：“∃x∈R，x2－2≥0”的否定形式为¬p：“∀x∈R，x2－2<0”；②若¬p是q的必要条件，则p是¬q的充分条件；③“M>N”是“(eq\f(2,3))M>(eq\f(2,3))N”的充分不必要条件．解析：对于①，易知是正确的；对于②，由¬p是q的必要条件知：q⇒¬p则p⇒¬q，即p是¬q的充分条件，正确；对于③，由M>N不能得知(eq\f(2,3))M>(eq\f(2,3))N，因此③是错误的．综上所述，其中正确的命题个数是2.答案：213．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的_____________；(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数”的________________．解析：(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)充要条件(2)充分不必要条件14．已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，得Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，从而a的取值范围为[e,4]．答案：[e,4]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；(4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.解：(1)¬p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．¬p为真命题．(2)¬p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故¬p为假命题．(3)¬p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.綈p为真命题．(4)¬p：∃x0，y0∈R，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋2x0－4y0＋5≠0.¬p为真命题．16．(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.解：(1)逆命题：若sinα＝sinβ，则α＝β；否命题：若α≠β，则sinα≠sinβ；逆否命题：若sinα≠sinβ，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．(3)逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d；否定题：已知a，b，c，d都是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d；逆否命题：已知a，b，c，d都是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.17．(本小题满分14分)已知p：2x2－9x＋a＜0，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co