江苏省徐州市铜山区高三考前热身模拟数学试题

2018届高三数学考前热身卷数学试题注意事项注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答；一律无效．4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知集合，，若，则实数a的值为▲．2．已知复数z＝EQ\F(2,1－i)－i3，其中i虚数单位，则z的模为▲．3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为▲．4.一组数据的平均值是，则此组数据的标准差是▲．5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为▲．6．若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为▲．7.若实数满足，则的最大值为▲．8．在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则▲．9．设等差数列的公差为（），其前n项和为．若，，则的值为▲．10．已知，，则的值为▲．11.如图：梯形中，，，，若，则=▲．12.如图所示，椭圆E的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别是F1，F2，延长B2F2交A2B1于点P，若∠B2PA2是钝角，则椭圆E离心率e的取值范围是▲．13．已知实数，满足，则的最大值是▲．14．设函数（）．若存在，使，则的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，已知，，分别为的中点．(1)求证：直线∥平面；(2)求证：．16．(本小题满分14分)在中，内角、、的对边分别为、、，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的周长的取值范围.17.(本小题满分14分)如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道．某公园P位于商业中心北偏东角（，），且与商业中心O的距离为公里处．现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A、B两处．⑴当AB沿正北方向时，试求商业中心到A、B两处的距离和；⑵若要使商业中心O到A、B两处的距离和最短，请确定A、B的最佳位置．18．(本小题满分16分）已知圆O：x2+y2=4.(1)求过点圆O的切线方程.(2)已知两个定点A(a，2)，B(m，1)，其中a∈R，m>0.P为圆O上任意一点，且eq\f(PA,PB)=k(k为常数)=1\*GB3①求常数k的值；=2\*GB3②过点E(a，t)作直线l与圆C：x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．(本小题满分16分）已经函数的定义域为，设（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）求证；（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（解答过程可参考使用以下数据）.20.(本小题满分16分）

设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.（1）若，求;（2）若，求数列的前项和公式;（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围？如果不存在，请说明理由.2018届高三数学考前热身卷数学试题（附加）21．A．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间），求证：∠CBE=∠BDE．B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是二阶矩阵的属性特征值3的一个特征向量，求直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线的方程．C．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数)，求直线被曲线所截得的弦长．D．求函数的最大值．22．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完题后总得分为”．（1）当时，记，求的分布列及数学期望；（2）当时，求的概率．23.如图，已知抛物线，点，，抛物线上的点．过点作直线的垂线，垂足为．（1）求直线斜率的取值范围；（2）求|的最大值．2018届高三数学考前热身卷数学试题答案注意事项注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答；一律无效．4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知集合，，若，则实数a的值为▲．1.【答案】82．已知复数z＝EQ\F(2,1－i)－i3，其中i虚数单位，则z的模为▲．2．【答案】EQ\r(,5)3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为▲．【答案】424.一组数据的平均值是，则此组数据的标准差是▲．4.【答案】5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为▲．5.【答案】6．若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为▲．6．【答案】37.若实数满足，则的最大值为▲．7.【答案】8．在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则▲．8．【答案】9．设等差数列的公差为（），其前n项和为．若，，则的值为▲．9．【答案】10．已知，，则的值为▲．10.【答案】【解析】．11.如图：梯形中，，，，若，则=▲．11.【答案】12.如图所示，椭圆E的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别是F1，F2，延长B2F2交A2B1于点P，若∠B2PA2是钝角，则椭圆E离心率e的取值范围是▲．12.【答案】方法一：直线A2B1：，直线B2F2：，联立可得，，，，因为∠B2PA2是钝角，所以，，即，又，所以，．方法二：因为∠B2PA2是钝角，所以，，，，又，所以，椭圆E的离心率e的取值范围是．13．已知实数，满足，则的最大值是▲．13.【答案】4.14．设函数（）．若存在，使，则的取值范围是▲．14．【答案】【解析】①若，当时，为递增函数，且，当时，的对称轴为，若存在，使得，则或，即或，解得．②若，当时，为递增函数，且，当时，为递减函数，且，当时，的对称轴为，若存在，使得，则，即，解得，又，所以．综上可得，，即的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，已知，，分别为的中点．(1)求证：直线∥平面；(2)求证：．15.证明(1)由题知，EF是△AA1B的中位线，所以EF∥A1B……………2分由于EF⊄平面BC1A1，A1B⊂平面BC1A1，所以EF∥平面BC1A1.……………6分(2)由题知，四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1.……8又∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以A1C1⊥C1B1.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面A1C1B1，A1C1⊂平面A1C1B1，从而A1C1⊥CC1，又CC1∩C1B1＝C1，CC1，C1B1⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥平面BCC1B1又B1C⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C..……………10分因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1⊂平面BC1A1，所以B1C⊥平面BC1A1.……………12分又A1B⊂平面BC1A1，所以B1C⊥A1B.又由于EF∥A1B，所以EF⊥B1C.……………14分16．(本小题满分14分)在中，内角、、的对边分别为、、，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的周长的取值范围.16．（Ⅱ）在中有正弦定理得，又，所以，，故，因为，故，所以，，故得周长的取值范围是.17.(本小题满分14分)如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道．某公园P位于商业中心北偏东角（，），且与商业中心O的距离为公里处．现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A、B两处．⑴当AB沿正北方向时，试求商业中心到A、B两处的距离和；⑵若要使商业中心O到A、B两处的距离和最短，请确定A、B的最佳位置．17⑴以O为原点，OA所在直线为轴建立坐标系．设，∵，∴，，则，，……4分依题意，AB⊥OA，则OA=，OB=2OA=9，商业中心到A、B两处的距离和为13.5km．⑵方法1：当AB与轴不垂直时，设AB：，①令，得；由题意，直线OB的方程为，②解①②联立的方程组，得，∴，∴，由，，得，或．，令，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，∴当时，有极小值为9km；当时，，是减函数，结合⑴知km．综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km，方法2：如图，过P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，设∠BAO=，△OPN中，得PN=1，ON=4=PM，△PNA中∠NPA=120°∴得同理在△PMB中，，得，，当且仅当即即时取等号．方法3：若设点，则AB：，得，∴，当且仅当即时取等号．方法4：设，AB：，得，，当且仅当即时取等号．答：A选地址离商业中心6km，B离商业中心3km为最佳位置．18．(本小题满分16分）已知圆O：x2+y2=4.(1)求过点圆O的切线方程.(2)已知两个定点A(a，2)，B(m，1)，其中a∈R，m>0.P为圆O上任意一点，且eq\f(PA,PB)=k(k为常数)=1\*GB3①求常数k的值；=2\*GB3②过点E(a，t)作直线l与圆C：x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．18．(1)和（2）=1\*GB3①设点P(x，y)，x2+y2=4，PA=eq\r((xa)2+(y2)2)，PB=eq\r((xm)2+(y1)2)，因为eq \f(PA,PB)=k，所以(x–a)2+(y–2)2=k2[(x–m)2+(y–1)2]，又x2+y2=4，化简得2ax+4y–a2–8=k2(2mx+2y–m2–5)，因为P为圆O上任意一点，所以eq\b\lc\{(\a(2a=2mk2,4=2k2,a2+8=k2(m2+5)))，又m>0，k>0，解得eq\b\lc\{(\a(k=\r(2),a=2,m=1))，所以常数k=eq\r(2)．=2\*GB3②法一：设M(x0，y0)，M是线段NE的中点，N(2x0–2，2y0–t)，又MN在圆C上，即关于x，y的方程组eq\b\lc\{(\a(x02+y02=1,(2x02)2+(2y0t)2=1))有解，化简得eq\b\lc\{(\a(x02+y02=1,8x0+4ty0t27=0))有解，即直线n：8x+4ty–t2–7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则don=eq\f(|t2+7|,\r(64+16t2))错误！未定义书签。≤1，化简得：t4–2t2–15≤0，解得t∈[eq\r(5)，eq\r(5)]．法二：设过E的切线与圆C交于切点F，EF2=EM·EN，又M是线段NE的中点，所以EN=2MN，EM=MN，所以EF2=2MN2，又EF2=EO2–OF2=22+t2–1=t2+3，所以MN≤2，t2+3≤8，所以t∈[eq\r(5)，eq\r(5)]．19．(本小题满分16分）已经函数的定义域为，设（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）求证；（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（解答过程可参考使用以下数据）.19.（1）（2）证：因为在上递增，在上递减，所以在处取得权小值又，所以在的最小值为从而当时，，即（3）等价于即记，则等价于，即记，则所以在上单调递减，又所以的最大值为620.(本小题满分16分）

设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.（1）若，求;（2）若，求数列的前项和公式;（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围？如果不存在，请说明理由.20.（1）由题意，得，解，则，所以成立的所有中的最小整数为7，即.（2）由题意，得，对于正整数由，得,根据的定义可知，当时，当时，∴=（3）假设存在和满足条件，由不等式及得∵，根据的定义可知，对于任意正整数的都有即对任意的正整数都成立.当（或）时，得这与上述结论矛盾.当即时，，∴∴所以存在和，使得满足条件的，，且，的取值范围分别是：.2018届高三数学考前热身卷数学试题（附加）21．A．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间），求证：∠CBE=∠BDE．B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是二阶矩阵的属性特征值3的一个特征向量，求直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线的方程．B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由题意，，即，所以解得，所以．设上一点在的作用下得到直线上一点，则，即所以代入直线，得，即直线的方程为.C．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数)，求直线被曲线所截得的弦长．21C解：曲线C的直角坐标方程为，圆心为，半径为，…………3分直线的直角坐标方程为，………5分所以圆心到直线的距离为，………………8分所以弦长．………10分D．求函数的最大值．22．在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为，判断错误的概率为，若判断正确则加1分，判断错误则减1