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19五月20241第七节无穷小的比较

第一章为什么要研究“无穷小的比较”？本节内容提要：一、无穷小的比较的定义二、无穷小的比较的性质及应用三、本节小结及思考练习19五月20242若则称

是比

高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

是

的同阶无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小;则称

是

的等价无穷小,记作定义一、无穷小的比较19五月20243～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～且例如,

当19五月20244时,～证:～例1证明:当19五月20245二、等价无穷小的性质及应用～定理1～证:即即例如,～～故19五月20246且存在,则证:定理2（等价无穷小替换定理）设应用举例：习题1－73（1）定理319五月20247～～常用等价无穷小:～～～～～～～例2求解:19五月20248例3

求解:原式

等价无穷小代换只适用于因式乘积的整体代换，而对于代数和中各无穷小不能分别替换.特别注意：19五月20249例4求解当时，，，所以19五月202410解:例5求当时，所以，事实上，我们有以下补充规则（书上没有的）：设对同一变化过程,

,

为无穷小,由等价无穷小的性质,可得简化某些极限运算的下述规则.（1）和差取大规则:若

=o(

),例如,19五月202411例如,（2）和差代替规则:（3）因式代替规则:界,则例如,

19五月202412内容小结1.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是

的高阶无穷小

是

的低阶无穷小

是

的同阶无穷小

是

的等价无穷小

是

的k阶无穷小19五月202413～～～～～常用等价无穷小:Th22.等价无穷小替换定理19五月202414课前预习1、函数在某点连续要满足哪些条件？2、间断点有哪些类型？19五月202415思考与练习解:不能．例当时,都是无穷小量.但不存在且不为无穷大.1、任何两个无穷小都可以比较吗？故当时,19五月202416解2、课本习题1－73（7）和差取大规则19五月2024173、当时,若与是等价无穷小，解依题意有，因为，，试求故则课本习题1－74

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