压轴题06向量、复数压轴题16题型（学生版）

压轴题06向量、复数压轴题十六大题型汇总命题预测本专题考查类型主要涉及点为向量与复数，包含了向量的最值，新定义等，包含了复数的相关性质与新定义等。预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。高频考法题型01向量新考点问题题型02投影向量问题题型03向量最值取值范围问题题型04向量与不等式结合题型05向量新定义问题题型06复数性质相关问题题型07复数最值问题题型08复数的三角形式题型09复数方程的根相关问题题型10向量与解析几何结合题型11向量与实际模型题型12向量与四心题型13向量与数列结合题型14向量与三角换元题型15复数新定义问题题型16复数与数列问题01向量新考点问题1.（2024·上海嘉定·二模）已知OA=x1,y1，OB=A．12x1C．12x12.（多选）（2023·广东深圳·模拟预测）已知Px1,y1，QA．2x1B．2x1C．x1−3D．x1−33.（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知A1,A2,A3,A4.（2024·浙江·二模）设正n边形的边长为1，顶点依次为A1,A2,⋯,An，若存在点P满足P5.（2022·浙江·三模）已知平面向量x1,x2,x3,x4,02投影向量问题向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题。6.（2022·上海金山·一模）已知向量a与b的夹角为120°，且a⋅b=−2，向量c满足c=λa+1−λb0<λ<1，且a⋅c=b⋅cA．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立7.（2023·广东·二模）已知O是坐标原点，点N2,1，且点M是圆C：x2+y28.（2023·天津·二模）在△ABC中，AB=32，角A为锐角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，则A=；若AC=6，则函数fx=9.（2024·全国·模拟预测）已知非零向量a与b的夹角为锐角，c为b在a方向上的投影向量，且|c|=|a|=2，则a+10.（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a,b的夹角为π3，满足a+b=1．平面向量c在03向量最值取值范围问题处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.11.（多选）（2024·浙江宁波·二模）若平面向量a,b,c满足A．a+B．a+C．a−D．a−b12.（23-24高三下·上海浦东新·期中）正三棱锥S−ABC中，底面边长AB=2，侧棱AS=3，向量a，b满足a⋅a+AC=a⋅13.（2023·河南郑州·模拟预测）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λ∈R，AMA．423,C．173,4114.（2022·浙江台州·二模）已知平面向量e1,e2,e3,|e1|=|A．−3+66 B．−3+5615.（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知△ABC满足BC=8,AC=3AB，P为△ABC所在平面内一点.定义点集D=PAP=3λAB+1−λ3AC,λ∈R.若存在点P04向量与不等式结合16.（2024·安徽芜湖·二模）若实数x，y满足x2+y2=2517.（2022·浙江湖州·模拟预测）已知平面向量a,b,c满足|b|⋅|c18.（2024高三·全国·专题练习）已知a=b=2，c=1，A．6−1,6+1C．7−1,7+119.（2024·天津·二模）在△ABC中，AM=2MB，P是MC的中点，延长AP交BC于点D．设AB=a，AC=b，则AP可用a，b表示为，若AD=620.（2024·上海长宁·二模）已知平面向量a,b,c满足：a=b=05向量新定义问题新定义问题，理解定义内容、会运用新定义运算，是解决问题的关键21.（2023·福建泉州·模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设Ax1,y1，Bx2,y2，则曼哈顿距离dA,B（参考数据：2≈1.41，5A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.94822.（多选）（2022·山东潍坊·三模）定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a=x1,yA．对任意的λ∈R，有λB．存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘC．若a与b垂直，则aΘbΘD．若a与b共线，则aΘbΘ23.（多选）（2022·广东·模拟预测）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a,b∈E，t∈A．x,yy≥exC．x,yx+2y−1≥0 D．24.（2024·全国·模拟预测）设有n维向量a=a1a2⋅⋅⋅an，b=b1b2⋅⋅⋅bn，称a,(1)若a=1234(2)令B=x,yx,(3)若n=4，f4是从S4中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足a,25.（2022·浙江绍兴·模拟预测）定义两个向量组X=(x1,x2,x3),Y=(y1,y06复数性质相关问题26.（多选）（2024·河南信阳·模拟预测）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（

）A．若(1+i)z=−B．对任意复数z1，z2C．对任意复数z1，z2D．在复平面内，若M={z|z−2≤2}27.(多选)（23-24高三上·辽宁·开学考试）设复数z1,z2,A．若z1z2B．若z1z2=C．若z1z3D．若z2+28.（多选）（2024·河北沧州·一模）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]来表示复数的“大小”，例如：[1+2i]=5，[1−2i]=−5，A．[z]=1在复平面内表示一个圆B．若z∈C，则方程[z]2C．若z1,z2D．复平面内，复数z对应的点在直线y=−x+4上，则|[z]|最小值为229.（多选）（2024·辽宁·二模）已知复数z,w均不为0，则（

）A．z2z=C．zw=zw 30.（多选）（2024·广东韶关·二模）已知复数z1A．若z1=z2，则z1C．若z1是非零复数，且z12=z1z07复数最值问题31.（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）若复数z满足z−1=z+iA．12 B．22 C．1 32.（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数z=x+yix∈R,y∈R，z1=−2，z2=−12，z3=i在复平面内对应的点分别为Z，33.（2022·江苏镇江·模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足1≤z+1+i≤2，则34.（2022·福建·模拟预测）对任意三个模长小于1的复数z1，z2，z3，均有z1z35.（2023·河北·模拟预测）若复数a+bii=6+8i，且a08复数的三角形式36.（2023·湖北·二模）复数21−A．cos−π3C．32+137.（2016·安徽淮北·一模）现定义eiθ=cosθ+isinθ，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对eiθA．cos5θ+isin5θC．sin5θ+icos5θ38.（2022·上海奉贤·一模）复数cos2θ+isin3θ⋅cosθ+isinA．9 B．10 C．11 D．无数39.（2022·江苏苏州·模拟预测）任何一个复数z=a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z=r(cosθ+isinθ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：zn=[r(cosθ+isin40.（2019·上海杨浦·一模）已知复数z1=cosx+2f(x)i，z2=(3sinx+cosx)+i（x∈R，i为虚数单位），在复平面上，设复数z1、09复数方程的根相关问题41.（多选）（2024·浙江杭州·二模）已知关于x的方程x2+tx+1=0(−2<t<2)的两根为z1A．z1=zC．z1=z42.（2020·上海闵行·二模）关于x的实系数方程x2−4x+5=0和A．5 B．−1 C．0,1 D．0,143.（多选）（2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步，把方程x3+a2x2+第二步，利用公式x3+y第三步，求得y，z的一组值，得到方程x3+px+q=0的三个根：−y−z，−ωy−ω2z，−第四步，写出方程x3+a2x2+某同学利用上述方法解方程8x3−12x2A．a2=−32 B．yz=2 C．44.（2001·全国·高考真题）对任意一个非零复数z，定义集合Mz(1)设a是方程x+1x=2的一个根，试用列举法表示集合(2)设复数ω∈Mz，求证：45.（2024·全国·模拟预测）设a,b为实数，且ab≠0，虚数z为方程ax2+bx+a=0的一个根，则z10向量与解析几何结合平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.46.（2024·全国·模拟预测）抛物线E:y2=x的焦点为F，P为其准线上任意一点，过点P作E的两条切线，切点为A，B（点AA．1 B．2 C．3 D．147.（2024·山东日照·一模）过双曲线x24−y212=1A．28 B．29 C．30 D．3248.（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知a=3，b=1，a⋅b=0，A．2213+1 B．4 C．449.（2023·四川攀枝花·一模）在平面四边形OACB中，OA⊥OB，OA=3，∠OBA=∠ACB=π3，OC=λA．3 B．2 C．3 D．250.（2023·新疆·二模）已知平面向量a，b，c，满足a=2，a−b=23，若对于任意实数x，都有bA．2 B．4 C．6 D．811向量与实际模型51.（2023·全国·模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知ABCHIJ与CDEFGH为全等的正六边形，且AB=2，点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，则AP⋅A．0,42 B．−1,42 C．0,36 D．−1,3652.（2023·河南安阳·二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆M:x2+y+m2=n2和A．32+22 B．22+1 53.（2023·全国·模拟预测）中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则AC⋅A．33+3172 B．33+2172 C．54.（多选）（2023·吉林·一模）中华人民共和国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为36°的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比5−12；一种是顶角为108°的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比5−12．如图，正五角星ABCDE中，

A．AG=FI C．AG在AF上的投影向量为5+12AF55.（多选）（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中∠COD=2π3,OC=3OA=3，动点P在CD上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧AB图1

图2A．若y=x，则x+y=23 B．若y=2xC．AB⋅PQ≥−212向量与四心三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：设△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，则（1）△ABC的重心G满足GA+（2）△ABC的内心P满足aPA（3）△ABC的外心M满足MA=56.（2023·全国·模拟预测）已知△ABC中，AO=λAB+(1−λ)AC，且O为△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量为μBCA．23,56 B．15,57.（2021·四川成都·三模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左，右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线CA．3 B．4 C．5 D．658.（2022·河南·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1A．13 B．25 C．3359.（多选）（2023·湖北黄冈·模拟预测）点O，H分别是△ABC的外心､垂心，则下列选项正确的是（

）A．若BD=λBA|BAB．若2BO=BA+C．若∠B=π3，OB=mOAD．若2HA+360.（2023·广东惠州·一模）已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足BE=BA+λADAD+ACACλ>0,CA13向量与数列结合61.（2023·四川达州·一模）已知O为平面四边形ABCD内一点，数列an满足a1=4，当n≥2时，恒有OD=an−2nOA−an+an−1−4n+1OB+a62.（2023·广东广州·三模）我们称nn∈N∗元有序实数组x1,x2,⋯,xn为n维向量，x1+x2+⋯+xn为该向量的范数.已知n维向量63．（2023·北京海淀·二模）在数列xn中，x1=1，x2=2．设向量an=xn,xn+1，已知an⋅an+1−a64.（2022·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且AD=12DC，Enn∈N∗为直线AB上一点列，满足：En65.（2022·山西太原·三模）如图，已知点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，点Gn(n∈N∗)在线段BD上，且满足GnD14向量与三角换元66.（2022·天津和平·三模）在平面内，定点A,B,C,O，满足OA=OB=OC=2，且OA+OB+OC=0，则AB=67.（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a、b、c、e，满足a⊥b，a=2b，c=a+68.（2022·天津河西·模拟预测）如图，已知B，D是直角C两边上的动点，AD⊥BD，AD=3，∠BAD=π6，CM=69.（2024·广东·模拟预测）已知O为△ABC的外接圆圆心，且AO⋅BC=1,BC=1．设实数λ,μ满足AO70.（2024·甘肃陇南·一模）已知M是椭圆x210+y2=1上一点，线段AB是圆C:x15复数新定义问题新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．71.（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合H=d+ai+bj+ck∣a,b,c,d∈R中的元素α=d+ai+bj+c两个四元数的乘法定义为：ij=−ji=k,jk=−kj=i,ki=−(1)设a,b,c,d∈R,四元数α=d+ai+bj+ck（i）计算αα（ii）若α≠0，求α−1（iii）若α≠0,β∈W，证明：αβα(2)在空间直角坐标系中，把空间向量α=(a,b,c)与纯四元数α=ai+bj（i）证明：γ∈W;（ii）若α,β是平面X内的两个不共线向量，证明：γ是X的一个法向量．72.（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列a0,a1,a2,⋯,an,⋯(1)证明：e(−x)=(2)记c(x)=k=0∞(−1)(3)以函数xe(x)−1为指数型母函数生成数列Bn，xe(x)−1=n=073.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将y=fx在x=x0处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：fx=fx0+f'x(1)分别求ex，sinx，cosx(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：eiπ+1=0(3)若∀x∈0,32，e74.（2024·全国·模拟预测）对于非空集合G，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”G,×，简记为G×．而判断G1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意a,b∈G，都须满足a×b∈G；2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意a,b,c∈G，都须满足a×b×c3.（恒等元）存在e∈G，使得对任意a∈G，e×a=a；4.（逆的存在性）对任意a∈G，都存在b∈G，使得a×b=b×a=e．记群G×所含的元素个数为n，则群G×也称作“n阶群”．若群G×的“×”运算满足交换律，即对任意a，b∈G(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群R+(2)记C为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得C在该运算下构成一个群C×(3)所有阶数小于等于四的群G×75.（2024高三上·全国·竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且∁M(1)判断{1,2,3}是否是{i,