压轴题02圆锥曲线压轴题17题型 （学生版）

压轴题02圆锥曲线压轴题十七大题型汇总命题预测本专题考查类型主要涉及点解析结合的相关考点，本考点主要压轴题类型，包含了新定的考点，解析几何与其他知识点的综合运用等。预计2024年后命题会在上述几个方面进行考查，尤其是各方面知识点的综合与新考点问题等。高频考法题型01离心率问题题型02三角换元法的运用题型03新定义问题题型04解析几何与立体几何结合题型05解析几何与导数结合问题题型06解析几何的实际应用题型07切线、斜率相关问题题型08模长相关问题题型09解析几何新考点题型10解析几何之类比距离问题题型11解析几何与数列结合题型12解析几何中的定值问题题型13解析几何与向量结合题型14解析几何中的定点问题题型15解析几何中的取值范围问题题型16解析几何中的存在问题题型17轨迹方程问题01离心率问题1.（23-24高三下·浙江·开学考试）双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)A．214 B．213 C．2 2.（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为x225+y216=1，其左、右焦点分别是F1，A．1:3 B．1:2 C．1:3 D．3.（2024·河南信阳·模拟预测）一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆（其中球与截面的切点即为椭圆的焦点），如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt△PAB，其中PA=64.（2024·山东·一模）如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，其内切圆与AC边相切于点D，且AD=1，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则e15.（2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于02三角换元法的运用利用三角函数的定义解题：（1）角α的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与x轴正半轴重合；在角α的终边上任取一点P(x,y)，该点到原点的距离r=x2+y2，则：sin6.（23-24高三下·浙江·开学考试）P是圆C:x2+(y−2)2=1上一动点，A2,0,Q为7.（2024高三·全国·专题练习）已知平面直角坐标系中的定点A(−2,0)，B(2,0)，C(0,2)，动点P(x,y)，其中kPA⋅kA．2−3,22C．7−43,28.（2023·湖北·二模）已知动直线l的方程为1−a2x+2ay−3a2A．0,5 B．1,5 C．5,+∞ D．9.（2024·浙江绍兴·二模）过点Pa,b作圆x2+y2=1的切线PA，A．2 B．3 C．5 D．1010.（2024·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆A沿着x轴正向无滑动地滚动，点M为圆A上一个定点，其初始位置为原点O,t为AM绕点A转过的角度（单位：弧度，t≥0）.

(1)用t表示点M的横坐标x和纵坐标y；(2)设点M的轨迹在点M0(x0,(3)若平面内一条光滑曲线C上每个点的坐标均可表示为(x(t),y(t)),t∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F(β)−F(α)，其中函数F(t)满足F'(t)=[x'(t)]2+[y'03新定义问题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.11.（2024·浙江宁波·二模）在平面直角坐标系xOy中，定义dA,B=x1−x2+y1−y2为Ax1,y1,Bx2,y12.（2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0,y≤0)和部分双曲线x2a(1)设过点1,0的直线l与C相切于点M，求点M的坐标及直线l的方程；(2)过A的直线m与C相交于点P、A、Q三点，求证：∠PBA=∠QBA．13.（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系xOy中，利用公式x'=ax+byy'=cx+dy①（其中a，b，c，d为常数），将点Px,y变换为点P'x',y'的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表a(1)在平面直角坐标系xOy中，将点P3,4绕原点O按逆时针旋转π3得到点P'（到原点距离不变），求点(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，将点Px,y绕原点O按逆时针旋转α角得到点P'(3)向量OP=x,y（称为行向量形式），也可以写成xy，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：x'y'=abcdxy，则称x'y'是二阶矩阵14.（多选）（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，定义dA,B=x1−x2+y1−y2为点Ax1,yA．dO,Q的最小值为2 B．dO,PC．dP,Q的最小值为52 D．d15.（2024·上海静安·二模）我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点P(x,y)都满足方程x2−2xy+y2−04解析几何与立体几何结合16.（2023·江西南昌·三模）艾溪湖大桥由于设计优美，已成为南昌市的一张城市名片.该大桥采用对称式外倾式拱桥结构，与桥面外伸的圆弧形人行步道相对应，寓意“张开双臂，拥抱蓝天”，也有人戏称：像一只展翅的蝴蝶在翩翩起舞（如图）.其中像蝴蝶翅膀的叫桥的拱肋（俗称拱圈），外形是抛物线，最高点即抛物线的顶点在桥水平面的投影恰为劣弧AB的中点（图2），拱圈在竖直平面内投影的高度为45m，劣弧AB所在圆的半径为50m，拱跨度AB为502m，桥面宽BC

A．45 B．1625 C．3517.（2024·河南·模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个球O1,O2，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为F1,F2，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，F1,F(1)求椭圆Γ的标准方程.(2)点T在直线x=4上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接AM,BN，设直线AM与BN交于点P.证明:点P在直线x=4上.18.（20-21高三上·全国·阶段练习）已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，AB=BC=1，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（）A．有且仅有一点P使二面角B−l−C取得最小值B．有且仅有两点P使二面角B−l−C取得最小值C．有且仅有一点P使二面角B−l−C取得最大值D．有且仅有两点P使二面角B−l−C取得最大值19.（2024·全国·模拟预测）人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面Γ:x2a2+y2b(1)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0在其上一点Qx0,y0处的切线方程为xx0(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当b=c时，椭球面Γ围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积．20.（2024·河北石家庄·二模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为22，过点F1的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，△ABF2的周长为42(1)当点A为椭圆E的上顶点时，将平面xOy沿x轴折叠如图②，使平面A'F1F2⊥平面(2)若过F2作F2H⊥CD（i）证明:直线CD过定点；（ii）求PH的最大值.05解析几何与导数结合问题21.（多选）（2024·浙江杭州·二模）过点P2,0的直线与抛物线C：y2=4x交于A,B两点．抛物线C在点A处的切线与直线x=−2交于点N，作NM⊥AP交ABA．直线NB与抛物线C有2个公共点B．直线MN恒过定点C．点M的轨迹方程是x−1D．MN3AB22.（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线E：x2=2y，焦点为F，过F作y轴的垂线l0，点P在x轴下方，过点P作抛物线E的两条切线l1，l2，l1，l2分别交x轴于A，B两点，l1，(1)若l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，求点(2)证明：△PAB的外接圆过定点；(3)求△PCD面积S的最小值．23.（2024·四川德阳·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右顶点分别为A1,AA．52 B．2 C．3 24.（2024·全国·模拟预测）已知O是坐标原点，抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点Em,nm≥0,n≥0在C上，线段PQ是圆(1)求C的方程；(2)过点O作圆E的两条切线，与C分别交于异于点O的点A,B，求直线AB斜率的最大值．25.（多选）（2024·河南信阳·模拟预测）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”下列有关说法中正确的是（

）A．对圆O:xB．函数f(x)=sinx+1是圆C．存在圆O，使得f(x)=ex+1D．直线(m+1)x−(2m+1)y−1=0所对应的函数一定是圆O:(x−2)06解析几何的实际应用26.（2024·浙江·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知F1,F

27.（2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O的一段圆弧E，且弧E所对的圆心角为4π5.设圆C的圆心C在点O与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆C满足：弧E上存在四点满足过这四点作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为.（参考数据：28.（2024·山西晋中·模拟预测）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为23，按上述方法折纸.以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，Q为直线l:x=4上的一动点（点Q不在x轴上），连接AQ交椭圆于C点，连接QB并延长交椭圆于D点.是否存在λ，使得S△ACD=λS29.（2024·全国·模拟预测）已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为r(r>0)的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则r的取值范围是（

）A．(0,2] B．12,2 C．0,130.（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A与点B．现在准备以地平面上的点C与点D为起点建造上、下桥坡道，要求：①BD=AC；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为1:22（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．07切线、斜率相关问题过圆x−a2+y−b2=过圆x−a2+y−b2=过椭圆x2a2+y过椭圆x2a2+y过双曲线x2a2−y过双曲线x2a2−y31.（多选）（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆x22+y2=1,O为原点，过第一象限内椭圆外一点PxA．k3⋅k4为定值C．x0−y0的最大值为232.（2024·全国·模拟预测）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径MN为6，且MN与x轴交于点−2,0．平行于x轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点2,0处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C，试判断C属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．(2)设曲线F为解析式同C的完整圆锥曲线，直线l与F交于A，B两点，交y轴于点H，交x轴于点Q（点Q不与F的顶点重合）．若HQ=k1QA=33.（2024·山东临沂·一模）动圆C与圆C1:(x+2)2+y2(1)求E的方程；(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则曲线上一点x0,y0处的切线方程为：Ax0x+Bx0y+y（i）证明：直线AB过定点；（ii）点A关于x轴的对称点为A'，连接A'B交x轴于点M，设△AC234.（2024·湖北武汉·模拟预测）某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线Γ:y2=8x进行了深人研究．已知点Px0，y0(1)问题1：过曲线Γ的焦点F的直线与曲线Γ交于A,B两点，点A在第一象限．（i）求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值；（ii）曲线Γ在点A，B处的切线分别为l1，l2，两直线(2)问题2：若A，B是曲线Γ上任意两点，过AB的中点N作x轴的平行线交曲线Γ于点C，记线段AB与曲线Γ围成的封闭区域为SC35.（2024·浙江金华·模拟预测）已知双曲线Γ：x2−y23=1，F为双曲线Γ的右焦点，过F作直线l1交双曲线Γ于A，B两点，过F点且与直线l(1)求双曲线Γ的离心率；(2)若直线OP的斜率为32，求AB(3)设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2k308模长相关问题利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为x1（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意Δ的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1（5）代入韦达定理求解.36.（23-24高三下·浙江·开学考试）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为1(1)证明：AC与AF不可能垂直；(2)求|AB|37.（2024·浙江台州·二模）已知椭圆C：9x2+8y2=81，直线(1)求椭圆C的焦点坐标；(2)求圆Q的方程；(3)设点P1,3，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求△PAB38.（2024·浙江金华·模拟预测）在直角坐标系xOy中，圆Γ的圆心P在y轴上（P不与O重合），且与双曲线Ω:x2(1)求Ω的离心率；(2)若Ω的右焦点为F(2,0)，且圆Γ过点F，求|FA|+|FB|的取值范围．39.（2023·安徽芜湖·模拟预测）设双曲线E：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0(1)求双曲线E的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线m，n，其中m与E的右支交于A，B两点，与直线x=32交于点M，n与E的右支相交于C，D两点，与直线x=32交于点40.（2024高三·全国·专题练习）已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2pxp>0，过点(1)求抛物线C的方程；(2)若点D−1,0，连接AD，BD，证明：AD(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求△AMN面积的最小值．09解析几何新考点41.（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：Ax+By+C=0A2+B2A．0,1 B．1,−1 C．1,1 D．1,042.（2023·陕西西安·模拟预测）双纽线是1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的．在平面直角坐标系xoy中，把到定点F1−a,0和F1a,0距离之积等于a2a>0的点的轨迹称为双纽线①双纽线C关于原点对称；②−a2≤y0≤a2；③双纽线C上满足PA．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④43.（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过M2,0(1)求C的方程．(2)A,B是C上两个动点，D为C的上顶点，是否存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．44.（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θ附：椭圆x2a2+yA．θ1<θC．θ1>θ2 D．45.（2020·上海浦东新·三模）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线C：(x

（1）方程(x（2）曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2；（3）曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π（4）曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点).A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4）10解析几何之类比距离问题46.（23-24高三上·黑龙江·期末）已知直线y=kx+2k∈R交圆O:x2+yA．9 B．16 C．27 D．3047.（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点Ax1,y1,Bx(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设c=1,a=2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A，过F2作直线交C于M,N两点，△AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN48.（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x2a2+y2b(1)求Γ的方程；(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N).（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当△PAB的面积最大时，求d(M,N)；（ⅱ）若d(M,N)，d(N,M)均存在，记两者中的较大者为H(M,N).已知H(X,Y)，H(Y,Z)，H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)≥H(X,Y).49.（2022·上海闵行·二模）已知直线l:xa+yb=1与圆A．40条 B．46条 C．52条 D．54条50.（2022·全国·模拟预测）设点Px1,y1是⊙C：x2+y2=1上的动点，点11解析几何与数列结合51.（2024高三下·安徽淮北·期中）双曲线x2−y2=8的左右焦点分别是F1，F2，点PA．80562 B．80482 C．805652.（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0短轴长为2，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2(1)若G1的坐标为1(2)在（1）的条件下，过点F2并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足F2A，F(3)若4S53.（2020·江苏·模拟预测）已知函数f(x)=1−(x−1)2,0≤x<2f(x−2),x≥2，若对于正数kn(n∈N∗)，直线y=kn54.（2024·河北·模拟预测）已知平面内定点A0,1,P是以OA为直径的圆C上一动点（O为坐标原点）．直线OP与点A处C的切线交于点B，过点B作x轴的垂线BN，垂足为N，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，过点P作BN的垂线PM，垂足为(1)求点M的轨迹方程Γ；(2)求矩形PMNQ面积的最大值；(3)设M的轨迹Γ，直线x=−n,x=n(n∈N*)与x轴围成面积为λ，甲同学认为随n的增大，λ也会达到无穷大，乙同学认为随n55.（2016·上海·模拟预测）一青蛙从点A0(x0，y0)开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是Ai(1)点A0(x0，y0)为抛物线y2=2px(p>0)准线上一点，点(2)若点An(xn，yn)(n∈N(3)若点An(xn，yn)要么落在12解析几何中的定值问题求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值56.（2024·全国·模拟预测）已知P为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上异于左、右顶点的一个动点，双曲线C(1)求双曲线C的标准方程．(2)连接PF1，交双曲线于另一点A，连接PF2，交双曲线于另一点①求证：λ+μ为定值；②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标．57.（2023·广东广州·模拟预测）已知双曲线C:x24−y212=1，直线l过(1)若M,N两点均在双曲线C的右支上，求证：1MF(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．58.（2024·全国·模拟预测）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1(1)求Γ的方程；(2)点A是Γ在第一象限的渐近线上的一点，且AF2⊥x轴，点Qx0,y0是Γ右支上的一动点，Γ在点Q处的切线l与直线AF59.（2024·辽宁·二模）已知点P为双曲线E:x24−y2=1(1)证明：P恰为AB的中点；(2)过点P分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断▱PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；60.（2024·上海奉贤·二模）已知曲线C:x24+y22=1，O是坐标原点，过点T1,0的直线(1)当l1与x轴垂直时，求△OPQ(2)过圆x2+y2=6上任意一点M作直线MA，MB，分别与曲线C切于A

(3)过点Nn,0n>2的直线l2与双曲线x24−y2=1交于R，S两点（l1，l2不与x轴重合）.记直线TR的斜率为k

13解析几何与向量结合61.（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量a、b满足：a=3，b=4，a⊥①对任意c∈A，存在该平面的向量d∈A②对任意c∈A，存在该平面向量d∉A则下面判断正确的为（

）A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误62.（2021·浙江宁波·模拟预测）已知平面非零向量a,b,c,d满足A．dc⋅d≤0恒有解C．d−2c⋅d≤063.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F(1)求C的方程；(2)B是C上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线l过点F2且与C交于M，N两点（均异于点B），点P在l上，设直线BM，BP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，若2k64.（2022·浙江杭州·模拟预测）已知平面向量x，y，z，|x|=12|64.（2023·河北衡水·模拟预测）平面上有两组互不重合的点，A1、A2⋅⋅⋅⋅⋅⋅Am与B1、B2A．nm,2nC．nm,n+14解析几何中的定点问题求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；(3）求证直线过定点x0,y0，常利用直线的点斜式方程66.（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆C:x24+y23=1，A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，(1)若Q为椭圆C上（除A1、A2外）任意一点，求直线(2)若NF1=2(3)若直线MA2与直线NA2的斜率分别是k167.（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线E:y2=2pxp>0，其焦点为F，其准线与x轴交于点C，以FC为直径的圆交抛物线于点B，连接BF并延长交抛物线于点(1)求E的方程．(2)过点F作x轴的垂线与抛物线E在第一象限交于点P，若抛物线E上存在点M，N，使得MP⋅NP=068.（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程．(2)设过点P−4,0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点．问：在x轴上是否存在定点Q，使直线QA的斜率k1与QB的斜率69.（2024·全国·一模）如图，已知椭圆Γ的短轴长为4，焦点与双曲线x24−t−y2t=1的焦点重合.点P4,0，斜率为

(1)求常数t的取值范围，并求椭圆Γ的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆Γ:x2a2+y2b2=1，极点Px0,y0（不是原点）对应的极线为lP:x0xa2+y0yb2=1，且若极点P在x轴上，则过点①设直线AB、MN分别交y轴于点D、点T，证明：点E为D、T的中点；②证明直线：MN恒过定点，并求出定点的坐标.70.（2024·江苏·模拟预测）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD（分式中各项均为有向线段长度，例如AB=−BA）为A，B，C，(1)证明：1−(D,B;C,A)=1(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1(3)已知第（2）问的逆命题成立，证明：若△EFG与△E'F'G15解析几何中的取值范围问题圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．71.（2024·上海普陀·二模）设椭圆Γ:x2a2+y2=1(a>1)，Γ的离心率是短轴长的24倍，直线l交Γ于A、B两点，(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l过Γ的右焦点F，且CO=OB，CF⋅(3)设直线l的方程为y=kx+m(k,m∈R)，且OA+72.（2024·北京顺义·二模）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F(1)求椭圆E的方程；(2)若k1k273.（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆C1:x24+y2=1和抛物线C2:x2=2py  p>0，C2的焦点F是C1的上顶点，过F的直线交C2于M、N两点，连接NO(1)求p的值；(2)求OM⋅(3)求S△OMN74.（2024·全国·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,Ca,2b,D−a,2b(1)求椭圆E的方程．(2)若点P是E上与点A,B不重合的任意一点，直线PC,PD与x轴分别交于点M,N．①设直线PM,PN的斜率分别为k1,k②判断AM|75.（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点到准线的距离为2，过点A2,2作直线交C于M，N两点，点B−1,1，记直线BM，BN(1)求C的方程；(2)求3k(3)设直线BM交C于另一点Q，求点B到直线QN距离的最大值.16解析几何中的存在问题对于圆锥曲线中探索性问题，求解步骤如下：第一步：假设结论存在；第二步：结合已知条件进行推理求解；第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．76.（2024·上海黄浦·二模）如图，已知Γ1是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，Γ2是以Γ1的焦点F1,F2为顶点的等轴双曲线，点M(53(1)求Γ1与Γ(2)若直线PF2的倾斜角是直线PF(3)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2，直线PF1与Γ1相交于点A,B，直线PF2与Γ1相交于点C,D77.（2024·上海杨浦·二模）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A0,1，离心率e=32，过点P−2,1的直线l与椭圆Γ交于(1)求椭圆Γ的方程；(2)已知命题“对任意直线l，线段MN的中点为定点”为真命题，求△AMN的重心坐标；(3)是否存在直线l，使得S△AMN=2S△ABC？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由.（其中S△AMN、S78.（2023·山西·模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y(1)求C的方程．(2)过点A作两条相互垂直的直线l1和l2，且l1与C的左、右支分别交于B，D两点，l2与C的左、右支分别交于E，F两点，判断79.（2024·上海崇明·二模）已知椭圆Γ:x22+y2 =1，A(1)求椭圆Γ的离心率；(2)若F是椭圆Γ的右焦点，B是椭圆下顶点，R是直线AF上一点.若△ABR有一个内角为π3，求点R(3)作AH⊥PQ，垂足为H．若直线AP与直线AQ的斜率之和为2，是否存在x轴上的点M，使得 MH 为定值？若存在，请求出点80.（2024·上海松江·二模）如图，椭圆Γ:y22+x2=1的上、下焦点分别为F1、F2，过上焦点F1与y轴垂直的直线交椭圆于M(1)求线段MN的长；(2)若线段PQ的中点在x轴上，求△F(3)是否存在以F2Q、F2P为邻边的矩形F2QEP，使得点17轨迹方程问题立体几何中与动点轨迹有关的题目的方法：对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.81.（2024·广东韶关·二模）已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设Px0,y0y0>0是椭圆①求点T的轨迹方程；②若△TPF面积为94，求x82.（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点A(1,0)，B(0,1)，C(1,1)和动点P(x,y)满足y2是PA⋅PB(1)求P点的轨迹方程；(2)设P点的轨迹为曲线C1按向量a=−34,116平移后得到曲线C2，曲