现代控制系统第十二版课后习题7章根轨迹法答案中文版

第7章根轨迹法

基础练习题

E7.1在图E7.1所示的圆环装置中，球体沿环的内壁自由滚动，圆环沿着水平方向自由旋转。

该装置可以用来模拟液体燃料在火箭中的晃动。作用于环上的转矩控制着圆环的角位移，而

转矩T则由连接在圆环的驱动杆上的电机产生。当引入负反馈后，系统的特征方程为

Ks(s+4)

2+2s+2

(a)绘制以K为参数的根轨迹。

(b)当闭环特征根相等时，求出系统增益K的取值。

(c)求出彼此相等的这两个特征根。

(d)当闭环特征根相等时，计算系统的调节时间。

图E7.1由电机驱动旋转的圆环

s(s+4)

【解析】(a)特征方程为1+K=0,根轨迹如下

s~+2s+2

(b)系统特征方程可以写为(1+K)S2+(2+4K)S+2=0,解得

_-(1+2K)J(2+4K1-8(1+K)

5-1+K土2(1+K)当(2+4K)?—8(l+K)=0时

—(1+2K)

52=J,解得K=0.31。

1+K

-(1+0.62)

(c)当K=0.31时，根为.2=；+031=T，24。

(d)当K=().31时，特征方程为/+2.472s+1.528=(s+1.24)2=0,因此4,=124,

G=l,系统处于临界阻尼状态。调节时间为4s。

E7.2考虑某磁带录音机的速度控制系统，其负反馈回路的传递函数为“(s)=l,前向传递

K

函数为"s)=G,(s)G(s)=布+a俨+4+5)

(a)绘制以K为参数的根轨迹，并验证，当K=6.5时，主导极点为s=-0.35±./0.80。

(b)根据(a)给出的主导极点，估算系统阶跃响应的调节时间和超调量。

【解析】(a)根轨迹如图所示。当K=6.5时，特征方程的根为“2=-265±/1.23,

J.=-0.35±；0.8。主动极点的实部比其他两个根小8倍。

(b)主导根为(S+0.35+J0.8)(5+0.35-J0.8)=?+0.7S+0.7625,则例=0.873,

0.744

G=―；-------r=0.40调节时间为(=---=-----=11.43so超调量为

2(0.873)05眄0.35

P.O.=e』/后=25.4%。

E7.3假设汽车悬挂检测装置的控制系统具有单位负反馈，且受控对象为

K(d+4s+8)

L(s)=G(s)G(s)=当系统主导极点的阻尼比为4=05时，试利用根轨

52(5+4)

迹验证，此时有K=7.35,且对应的主导极点为s=-L3±/2.2。

【解析】根轨迹如图所示。当K=7.35,，=0.5时根为4=一8.7,52>3=-1.3±；2.2o

4i--------------------------------1-------------

ReelAxis

K（s+1）

E7.4考虑某个单位负反馈系统，其开环传递函数为G,(s)G(s)=

52+4s+5

(a)求根轨迹离开复极点的出射角。

(b)求根轨迹进入实轴的汇合点。

【解析】根轨迹如图所示。

出射角和汇合点为%=225°,-225°,ah=-2.4。

E7.5考虑某单位负反馈系统，其开环传递函数为

s~+2s+10

G（s）G（s）=

■4+3853+515s2+2950s+6000

(a)求实轴上的根轨迹分离点。

(b)确定渐近中心。

(c)计算分离点处增益K的取值。

【解析】(a)根轨迹如图所示，分离点为%|=一13.0,药,2=一5.89。

40

Re«lAxis

(b)渐进中心为々加=78,图”"=妁0°。

(c)分离点处增益&=1.57,(=2.14。

E7.6某空间站如图E7.6所示。为了能够充分利用太阳能和保持对地通信，保持空间站对太

阳和地球的正确指向非常重要。可以采用带有执行机构和控制器的单位负反馈系统来描述空

15K

间站的定向控制系统，其开环传递函数为G,(s)G(s)=当K从0变为+8

5(?+15.?+75)

时，试绘制系统的根轨迹，并求出导致系统失稳的K值。

图E7.6空间站

【解析】当K>75时系统不稳定。

Syat«tn：sy>

Gan；75

Polo:-0000981*8.66)

Damping:0.000113

Ovenshoot(%):100

Frequency(ratMec1:8.00

RealA»s

E7.7在现代化的办公大楼内，电梯在以25ft/s的速度高速运行的同时，仍能以1/8ft的精度

停靠在指定的楼层。可以用单位负反馈系统来描述电梯位置控制系统，其开环传递函数为

L(s)=G,(s)G(s)=-一丝士2——-当复根的阻尼比为，=0.8时，试确定增益K

'，，s(s+4)(s+6)(s+9)

的取值。

【解析】根轨迹如图所示。

10

Pole*4♦1in

Damping.0792

Overshoot(%)1.7

F，《qu«ncyi81

15

-20」

-25-1510

RealAxn

特征方程有4个极点和1个零点。渐近线角为“=+60°,-60°,-180°,中心为j=-3.7o

当K=27.35时G=0.8。

K(s+1)

E7.8单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=G(s)G(s)=

cs?(s+9)

(a)当三个特征根均为实数且彼此相等时，求增益K的取值。

(b)求出(a)中的三个彼此相等的闭环特征根。

C1

【解析】特征方程为I+即八9八检+心。。当三个特征根均为实

数且相等时，需(S+r)3=$3+3用2+3/s+/=。，使两式相等解得长=27,特征根为

$=-3。根轨迹如图所示。

-4

01----------------------------•------------'--------------1

-15-10-505

RealAxis

E7.9世界上最大的望远镜坐落在夏威夷，其主镜由36片六角形的镜片镶嵌而成，直径高达

10mo望远镜能够对每个镜片的方位进行主动控制。假设单个镜片的控制由单位负反馈系统

K

实现，且开环传递函数为L(s)=G,(s)G(s)

s(s~+2s+5)

(a)在s平面上绘制闭环系统根轨迹的渐近线。

(b)求离开复极点的出射角。

(c)确定增益K的取值，使系统有两个特征根位于虚轴之上。

(d)绘制系统的根轨迹。

]

【解析】特征方程为1+K=0BPs3+2.v2+5s+K=0。

+2s+5)

(a)系统有三个极点s=0,一1±/2。渐近线的数量为%-〃==3,以外加=一|为中心,

角度为±60°/80二

(b)出射角为90°+%+116.6°=180°,%=—26.6°。

5315

s22KK

(c)劳斯判据表为1,，其中。=5-k。所以当K=10时根位于虚轴上。辅助方程

51b2

s°K

为2s2+10=0即电2=±/右。

(d)根轨迹如图所示。

E7.10某单位负反馈系统的开环传递函数为

(a)求实轴上的分离点和汇合点。

(b)当复特征根的实部为-2时，求出系统的增益和特征根。

(c)绘制系统的根轨迹。

【解析】(a)特征方程为1+半黑=0,因此长=一上上^,半=_s；+4s：2=0。

s(s+l)s+2ds(5+2)-

由s2+4s+2=0解得s=-0.586,—3.414。因此系统的分离点和汇合点为s=-0.586,

s=-3.414。

(b)期望的特征多项式为(s+2+M(s+2—q)=s2+4s+4+a2=0,实际的特征多项

式为/+(1+K)s+2K=0,使两式相等解得K=3,a=6。因此，当K=3时根为

42=-2±V2jo

(c)根轨迹如下图所示。

K=3,5=-2+1.414j

Y

vx

e6

-w

051

RealAxis

E7.11某机器人的力控制系统为单位负反馈系统，其开环传递函数为

K（s+2.5）

L（s）=KG（s）=

12+2s+2）12+4s+5）

(a)绘制系统的根轨迹，当主导极点的阻尼比为0.707时，求出增益K的取值。

(b)利用(a)得到的增益K,估算系统的超调量和峰值时间。

,K(s+2.5)

【解析】特征方程为1+厂-----\-、/一,1------r=0,根轨迹如图所示。从图中可以看出

(?+25+2)(S2+45+5)

当K=0时［=0.707。

RealAxls

K(s+1)

E7.12某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=KG(s)=-

s仔+6s+18)

(a)当K从0到+8变化时，绘制系统的根轨迹。

(b)当K=10和20时，求出系统的闭环特征根。

(c)当输入为单位阶跃信号，K=10和20时，分别计算系统响应从零到稳态值的上升

时间、超调量和按2%准则的调节时间。

【解析】(a)特征方程为一J=0,根轨迹如图所示。

5(52+65+18)

RootLocus

RealA»s

(b)特征方程的根为：(1)当K=10时邑2=-2.8064±4.2368八53=-0.3872;当

K=20时S|2=-2.7134±5.2466j,邑=-0.5732o

(c)单位阶跃响应的特性如下：

K1020

Tn(sec)9.05.5

P.O.i0

Tr(sec)2.6

E7.13某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=G((s)G(s)=s(s3)

(a)当z从0变到100时，绘制闭环系统的根轨迹。

(b)当输入为阶跃信号，z=0.6,2和4时，试利用系统的根轨迹，分别估算系统的超调

量和按2%准则的调节时间。

(c)当z=0.6,2和4时，分别计算系统实际的超调量和调节时间。

4

【解析】(a)特征方程为s(s+l)(s+3)+4s+4z=0,即1+2---------=--0--,---

s(s+l)(s+3)+4s

根轨迹如图所示。

(b)根为z=0.6,2.0,4.0。当z=0.6时G=O.76,q=2.33,因此阶跃响应的超调量为

P.Q=2.4%,调节时间为(=2.3s；当z=2.0时1=0.42,%=1.79,因此阶跃响应的

超调量为P.。=23%,调节时间为(=5.3s；当z=4.0时。=0.15,0=2.19,因此阶

跃响应的超调量为PO=62%,调节时间为7；=12s。

(c)阶跃响应如下图所示。

K(s+10)

E7.14某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=Gc(s)G(s)=

s(s+5)

(a)确定根轨迹与实轴的分离点和汇合点，当K>0时，绘制闭环系统的根轨迹。

(b)当两个复特征根的阻尼比为；=1/加时，确定增益K的取值。

(c)计算(b)中的闭环特征根。

K'+1O)=0,根轨迹如图所示。分离点为4=-2.93,汇合

【解析】(a)特征方程为1+

s(s+5)

点为久=T7.10

1,

(b)期望&=0.707,故期望的特征多项式为Y+2gs+a=0,实际多项

式与期望特征多项式比较可得战=10K,04=5+K,解得K=5,①“=7.07。当

K=5时根为电2=-5±，5。

/\/、/\K(s+10)(s+2)

E7.15某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=G,(s)G(s)=」——9——2

(a)绘制闭环系统的特征根。

(b)确定K的取值范围，使系统稳定。

(c)预测系统对斜坡输入响应的稳态误差。

(s+10)(s+2)

【解析】0)特征方程为1+公£根轨迹如图所示。

RootLocus

15

O

S5

X

V

O

-5

-1O

?-20?-15?-10-50

RealAxis

S'12K

,2K20K

(b)劳斯判据表为,,其中b=12K-20。要使系统稳定，需要使第一列所

sb

s°20K

有元素均为正。贝IJK>L67。

311c2

(c)当K>:时，有e=limsE(s)=lims---------•—=lim—-----———------=0。

2

4,一0''2。1+G”(s)5STOS3+K(S+1)(S+3)

E7.16某单位负反馈系统的开环传递函数为L(S)=G(S)G(S)=KI其中，T=0.1s。

2

亍一520-v

假设时延项可以用下式近似：e-"«W一试利用=——当K>0时，绘制闭环系

2,20+s

一+s

T

统的根轨迹图，并确定K的取值范围，使系统稳定。

【解析】e-Ts的展开式为e"'=1—△+⑥-—•,如果Tsm1,则e-Ts^\-Ts="竺,

2!c+ds

.1r\

其中a,。,c,d为待定常数。使用长除法，我们展开^~并匹配系数，a=c=不，

c+dsT

20-5-（5-20）-KG®

b=-d=-LT=0.1则e』。故特征方程为1+

20+s5+20（5+1）（5+20）-'

根轨迹如图所示。运用劳斯判据分析特征方程$2+(21-K)s+20+20K=0,可知当

-1<K<21时系统稳定。

E7.17某控制系统如图E7.17所示，其中受控对象为G(s)=7二

s(s-l)

(a)当G，(s)=K时，利用根轨迹证明系统总是不稳定的。

(b)当G,(5)=：(：；：)时,绘制系统的根轨迹，首先确定K的取值范围，使系统稳定。

然后，确定K的取值，使系统有两个特征根位于虚轴之上，并计算此时的纯虚根。

R（s）Y（s）

图E7.17反馈控制系统

【解析】(a)根轨迹如下图所示。

s

-49

6

ue

-J

‘2-15-1-0.500.S1152

RealAxis

当K>0时根位于右半平面，系统不稳定。

(b)特征方程为]+/K(：+2),根轨迹如图所示。当K>22.3时系统稳定。当

5(5-1)(5+20)

K=22.3时根为S]2=±八.53,%=-19o

S

K

4

6

2

-8

-10

-30-25-20-15-W-50510

RealAxis

E7.18A-6“入侵者”喷气式歼击机的偏航控制系统采取了单位负反馈形式，其中的开环传递

函数为")=G<.(s)G(s)=s(s+3/+2s+2)

(a)确定根轨迹和实轴的分离点。

(b)确定虚轴上的一对复根及其对应的增益值，并绘制系统的根轨迹。

【解析】根轨迹如图所示。

当K=8.15时根为.2=.095,534=-2.5±；0.74o

E7.19某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=Gc(s)G(s)=

(a)确定根轨迹在复极点处的出射角。

(b)绘制系统的根轨迹。

(c)确定增益K的取值，使闭环复极点位于虚轴上，并求出此时的闭环复极点。

________K________

【解析】特征方程为1+=0,根轨迹如图所示。当K=1292.5时根

S(S+3)(S2+6s+64)

为M2=±/4.62,$34=-4.49±J6.36。

1。

二,

­501015

RealAxis

E7.20某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=Gc(s)G(s)=-7"f：”

s(s-2)(s+6)

(a)确定使系统稳定的K的取值范围。

(b)绘制系统的根轨迹。

(c)保证系统稳定的前提下，确定复根的最大阻尼比4。

【解析】特征方程为1+、=。，根轨迹如图所示。当K>16时系统稳定。系

s(s-2)(s+6)

统稳定前提下，最大阻尼比为［=0.25。

-10

-4-3-20

RealAxis

Ks

E7.21某单位负反馈系统的开环传递函数为L(s)=Gc(s)G(s)=绘制系统的

53+5.V2+10

根轨迹，并确定增益K的取值，使闭环复根的阻尼比6近似等于0.66。

【解析】当复根的阻尼比为G=0.66时增益K=10.8。根轨迹如图所示。

E7.22用来发射卫星的高性能火箭配置有一个单位负反馈系统，其开环传递函数为

G(s)G(s)=^l^

当K在。到田之间变化时，试绘制系统的根轨迹。

「「(52-2)(5+12)

K(S2+18)(S+2)

【解析】特征方程为1+7^一广~~10,根轨迹如图所示。

(52-2)(5+12)

RootLocus

3.

w

x

v

A

BJ

6C

UB

-J

-3

-12-10-202

RealAxis

4（52+1）

-7——当K在0到+8之间变

E7.23某单位负反馈系统的开环传递函数为Gc（s）G（s）=

化时，试绘制系统的根轨迹。

【解析】特征方程为5s2+—二°,可写作1+资=根轨迹如图所示。

-1.5-1-0.500.511.5

RealAxis

x=Ax+Bu010

E7.24考虑用如下状态变量模型表示的系统：厂c其中，A=B=

y-Cx+Du-14-k1

C=[l0],。=[0]确定系统的特征方程，当&在。到+8之间变化时,绘制系统的根轨

迹。

-10

【解析】传递函数为G（s）=C（sI-A）TB+D=[l0]s目「因

4s+k1

此特征方程为/+依+4=0即1+Z——=0。当0(左<8时根轨迹如图所示。当

s-+4

0cz<8时系统稳定。

2.51---------------------------1----------------------------------------，-------------：----------------------------------------

-2-IS

RealAxis

E7.25某闭环反馈控制系统如图E7.25。当0<K<s变化时，绘制系统的根轨迹，并确定参

数K的取值范围，以保证系统稳定。

R(s)Y(s)

图E7.25含有参数K的非单位负反馈系统

【解析】特征方程为1+K当0<K<8时系统稳定，则根轨迹如图所示。

s(s+25)

x〃)=AY⑺+3〃⑺

E7.26考虑由如下模型描述的单输入-单输出系统：'’其中,

y(f)=Cx(r)

010rl

8=C=[l-1]计算系统的特征多项式，当K在°到+8之

3—K—2—K1

间变化时，绘制系统的根轨迹，并确定K的取值范围，以保证系统稳定。

-1S+1

【解析】特征多项式为det“'0gpX+K-Z----------=0。当

s+K-3s+K+2A2+2.V-3

()<K<3时系统稳定。根轨迹如图所示。

RootLocus

0.8

0.6

0.4

E7.27考虑图E7.27所示的单位负反馈系统。当p在。到+8之间变化时，绘制系统的根轨

迹。

R(s)丫⑸

图E7.27含有参数p的单位负反馈系统

S

【解析】特征方程为1+P=0,当0<〃<8时系统稳定，根轨迹如图所示。

.V2+4.V+40

RealAns

E7.28考虑图E7.28所示的反馈控制系统，当K在f到0之间变化时，试绘制系统的负增

益根轨迹，并确定能够使系统稳定的K的取值范围。

受控对象

控制器

S-1

R(s)K丫⑸

s(s2+2s+2)

图E7.28某反馈控制系统

【解析】特征方程为1+K/'—I_=0,当一1.33<K<()时系统稳定，根轨迹如图

sl+2s+2)

所示。

Re#Axis

一般习题

P7.1当K在。到+8之间变化时，绘制图P7.1所示闭环系统的根轨迹，其中开环传递函数

分别为

(a)G(s)G(s}=———=——?(b)G(5)G(5)=------1------

c——s(s+10)(s+8)，「一伊+2§+2(s+2)

K(s+5)K+4s+8)

(c)G,(s)G(s)=(d)G(S)G(S)=一

s(s+2)(s+10)2S+l)

R(s)Y(s)

图P7.1某反馈控制系统

【解析】(a)(b)(c)(d)根轨迹如图所示。

RoonLocus

RootLoa*

P7.2重新考虑习题P6.7中提出的鉴相器的线性模型，当增益Kv=K〃K变化时，绘制系统

的根轨迹，并确定K,的取值，使对应的复根的阻尼比为0.60。

【解析】特征方程为1+10"'+⑼\=0,当《=0.8,135,648时阻尼比G=0.6。特

5(5+1)(5+100)

征方程的根如下：

当K1=0.8时M=-99.9,523=-0.54±；0.71;当K、.=135时防=一85.9,

52-3=-7.5±；10;当长、,=648时、=一11.7,^23=-44.6±；59.5o

根轨迹如图所示。

60

c

E

-10

RealAxis

P7.3某单位负反馈系统的开环传递函数为G,(s)G(s)s(s+2)(s+5)试求:

X

a)

/实轴上的分离点及与该点对应的增益K。

b\

)

7位于虚轴上的特征根及对应的增益K。

e\

J

Z

dK=6时的闭环特征根。

\

)

/绘制系统根轨迹。

【解析】(a)实轴上的分离点为s=-0.88,对应的增益K=4.06。

,3110

*7K70-K

(b)特征方程可写为s(s+2)(s+5)+K=0,劳斯判据表为‘],其中

h7

s°K

当K=70时位于虚轴上的根为s=±jV10。

(c)当K=6时的闭环特征根为S1,2=-0-83±j0.66,53=-5.34o

(d)特征方程为1+=0,根轨迹如图所示。

s(s+2)(s+5)

8

P7.4重新考虑习题P4.5给出的大型天线系统，当勺在0到+8之间变化时，绘制系统的特

征根，并确定能够使系统稳定的放大器增益的最大值。

100%

【解析】大型天线系统的特征方程为l+QG(s)=l-I----------------------------------------2---------------=-----0-----即-

(0.15+1)(?+14.45+100)

_______1000(_______

1+=0,根轨迹如图所示。由劳斯判据可知当-1＜心＜4.83时

(5+10)(s2+14.45+100)

系统稳定。

20

5

O

s

x

<

6

UQ

-J

RealAxis

P7.5与固定机翼飞机具有一定程度的自稳定性不同，直升机自身很不稳定，因此直升机必须

配置稳定控制系统。直升机稳定控制系统包括一个自动的稳定控制系统和飞行员通过控制杆

进行控制的控制环节，如图P7.5所示。当飞行员不使用控制杆时，我们认为开关是断开的。

25(5+0.03)

假设直升机的动力学模型可用下面的传递函数表示：G(s)

(5+0.4)(52-0.365+0.16)

(a)当飞行员控制回路断开时(不进行手动控制)，绘制自动稳定控制系统的根轨迹，并

确定增益K2的取值，使复根的阻尼比为4=0-707。

(b)利用(a)中得到的增益Ka,确定系统对阵风干扰方(s)=1/s的稳态误差。

(c)考虑飞行员手动控制回路，并将K2取为(a)中所确定的值，当在0到+8之间

变化时，试绘制系统的根轨迹。

(d)根据根轨迹确定K1的合适取值，重新计算(b)中的稳态误差。

图P7.5直升机控制系统

廨析】(a)不进行手动控制的特征方程为1+雨。阁段036A6限9厂根

轨迹如图所示。当K2=1.6或K2=0.74时阻尼比为G=0.707。

(b)从口⑸到丫⑸的传递函数为=您?其中G,(s)=与胃，

2\/J\/

由终值定理可得以=网sf%J=一号K=3-8,其中选择&=1.6。

-。1+G2(S)G/(S)S1+11,7

当K?=0.74时以=5.96。

（C）手动控制回路的闭环特征方程为

1+______________25&(s+0.03)(s+9)_______________

根轨迹如图所示。

(5+0.045)(5+133)(?+7.665+29.78)(?+125+1)

20---------

15

•10

15

510IS20

RealAxis

（d）&=2时=0.44。

P7.6考虑在大气层内运行的卫星，其姿态控制系统如图P7.6所示。框图中控制器和受控对

象的传递函数分别为G（5）=---------------------------,

''（5+0.90）（5-0.60）（5-0.10）

（s+2+jl.5）（s+2-/L5）

4⑵-5+4.0

（a）当K在0到+8之间变化时，绘制系统的根轨迹。

（b）确定增益K的取值，使系统的调节时间小于12s（按2%准则），且复根的阻尼比大于

0.50o

图P7.6卫星姿态控制

^（5+0.20）（?+45+6.25）

【解析】（a）特征方程为1+/N-/一省~-;<=0,根轨迹如图所示。

（5+T0.9）（5-0.6）（5-0.1V）z（5+4）

,

)率子的差差

s)4

(频因时偏s(儡0

L作节。速o(速0—R

A载A转.

工调值转0—

量空取

的速为态=

化的稳“

机转牡K

变电态A的

的，子中

发稳速统一其

矩，因系

轮转,

转涡外节：

载，机调证c0

此。

负速。动定=