新教材高中数学人教a版必修第一册学案442对数函数的应用

4.4.2对数函数的应用

［目标］1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数

不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大（小）值或值域；3.能综合

应用对数函数的图象和性质解决有关问题.

［重点］对数函数的图象和性质的应用.

［难点］对数函数的图象和性质的综合应用.

知识点一对数函数的单调性

［填一填］

1.对数函数的单调性：当。>1时，y=log〃%为增函数,当0<。<1

时，为减函数.

2.对于y=loga%,若。〉1,当%>1时，y>0,当0<%<1时，y<0；

若0<Q<1,当0a<1时,y>0,当x>l时,y<0.

［答一答］

1.若。〉1,且m>n>0,则log即与logan的大小关系是log/z〉log®〃.

若且m>n>0,则log/i与logflz2的大小关系是lo.znvlog/.

2.若a>l,且logam>logan,则机与〃的大小关系是m>n；

若0<。<1,且logam>logan,则m与n的大小关系是m<n.

知识点二复合函数的单调性

［填一填］

复合函数y=log犹%）,的单调性：设集合AfCD,若a〉l,且

〃=*%）在％上单调递增（减），则集合M对应的区间是函数尸log次工）

的增（减）区间；若且〃=/（%）在上单调递增（减），则集合

M对应的区间是函数y=log/；%）的减（增）区间.

［答一答］

3.危）=log3（X+5）的单调区间是否只有一个？是否就是y=x+5

的单调区间？

提示：是只有1个，但不是y=%+5的单调增区间（-8,十8）,

而是（一5,+°°）.

知识点三反函数

［填一填］

函数y=loga%（a〉0,且aWl）与y=a*（a〉O,且aWl）互为反函数，

其图象关于直线y=x对称.

［答一答］

4.指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪

些关系？

提示：（1）底数的范围相同；（2）a>l时同为增函数，时同为

减函数；（3）互为反函数，图象关于直线y=%对称；（4）指数函数的定义

域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域.

类型一比较大小

［例1］比较下列各组值的大小.

34

（l）log5Z与log5§;（2）logl2与logl2；

（3）log23与log54.

34

［解］⑴法一：对数函数y=log5%在（0,+8）上是增函数，而不可，

34

.,.Iog54<log53-

_3434

法二：二log5Z<0,log5g>0,log5a<log5§.

(2)作y=log］_x与y=log］_X的图象，如图，再作直线x=2与两图

'3'5

象分别交于A,B两点、,则4(2,logl2),B(2,logl2),5点在A点上

35

方，.'.log!2<logX2.

35

(3)取中间值1,

Vlog23>log22=1=log55>log54,

/.log23>log54.

对数式比较大小的三种类型和求解方法

(1)底数相同时，利用单调性比较大小.

(2)底数与真数均不相同时，借助于。或1比较大小.

(3)真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注

意对数值的正负.

［变式训练1］设。=log36,z?=log510,C=log714,则(D)

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

解析：由对数运算法则得Q=log36=l+log32,Z?=l+log52,C=1

+log72,由对数函数图象得Iog32>log52>log72,所以a泌〉c,故选D.

类型二解对数不等式

2

［例2］⑴若log亏<l(a>0,且"1),求实数。的取值范围.

(2)已知logo,7(2x)<logo,7(x—1),求％的取值范围.

［分析］对于变为logaa讨论单调性；对于(2)直接根据单调

性列不等式组求解.

22

［解］⑴logag<1,即log亏<log〃a.

当a>l时，函数y=loga］在定义域内是增函数，

2,.

所以loga^<logfla总成立；

当O<G<1时，函数y=loga%在定义域内是减函数，

222

由10g〃5<10g“Q,得。<亍即0<。<亍

所以实数。的取值范围为|o,1］u（l,+°°）.

（2）,.,函数y=logo.7%在（0,+8）上为减函数，

由logo,7（2x）<logo,7（X—1）,

‘2%>0,

得解得x〉l.

、2x〉人—1,

...%的取值范围为（1,+°°）.

解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制

条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定

要检验.

3

［变式训练2］若一l<log〃a<l（a〉0，且aWl）,求实数。的取值范

围.

3

解：,.•一l<log也<1,

13

.*.logfl-<logfl4<log«a.

134

当a>l时，~<7<a,贝Ia〉］；

a43

133

当0<。<1时，一〉彳〉。，则0<a<7.

a44

故实数a的取值范围是（0,T］U及，+8）.

类型三对数复合型函数的值域

［例3］求下列函数的值域:

（l）y=logj_（―x2+2x+3）；

2

(2)y=log3及)-2,［—3,—1］.

［分析］先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的

值域.

［解］(1)设u=——(%—1)2+4<4,

,.,y=logj_〃在(0,+8)上是减函数，

2

(―x2+2x+3)^logl4=—2.

22

函数的值域为［—2,+°°).

(2)设"=及｝-2,3,-1］.

...3W［|)W27,即1WMW25.

•函数y=log3"在(0,+8)上是增函数，

.,.0<log3及｝-2<log325.

...原函数的值域为［0,log325］.

1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函

数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间

变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).

2.对于形如y=log/%)仅>。，且aWl)的复合函数的值域的求解的

步骤：①分解成y=log〃"，"=八%)两个函数；②求_/(%)的定义域；③求

〃的取值范围；④利用y=log/的单调性求解.

［变式训练3］设函数九%)=log2(4x>log2(2%),.若?=log2x

(1)求力的取值范围.

(2)求八%)的值域.

解：(1)因为彳=log2%,

所以log2；WWlog24,即一2W/W2.

(2)函数fix)=log2(4x)-log2(2x),

即X%)=(log2%)2+31og2%+2,又r=log2x,

则y=r2+3r+2=^+|j2—^(―2<f<2).

33

当t=-5时，即log2%=—2»

3

—5L1

X=2时，X^)min=-4；

当，=2时，即10g2%=2,%=4时，犬%)max=12.

1

-

12

综上可得，函数八%)的值域为4?

类型四对数复合型函数的单调性

［例4］已知人x)=logj_(%2—“%—a)在1―8,一；)上是增函数，求

a的取值范围.

［解］令u(x)=j^—ax—a,

=10gl”(%)在(一8,—J］上是增函数，M(%)在

1—8,一自上是减函数，且M(%)>0在1―8,一自上恒成立.

QN—1,

即1.a

［十］一a三0.

.K<1

J满足条件的。的取值范围是a—IWQW；］.

与对数函数有关的复合函数y=logag(x)的单调性的求解步骤：

(1)确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进

行.(很多同学忽略了定义域，即不满足g(%)>0导致错误)

(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解

成基本初等函数：外层函数y=log/，内层函数〃=g(%).

(3)分别确定这两个函数的单调区间.

(4)若这两个函数同增或同减，则y=log〃g(%)为增函数；若一增一

减，则y=log“ga)为减函数，即“同增异减”.

［变式训练4］已知危)=log〃(8—3G)在［-1,2］上是减函数，则实

数。的取值范围是(B)

A.(0,1)B(l,胃

C.4b(1,+8)

解析：由题意，知8—3。%>0,%£［—1,2］,8+3。〉0,8—6。>0,

844

二.一又易知a>0,且QTM,/.0<a<l或l<a<^,此时可知函数

g(%)=8—3OY是减函数.若<工)在［―1,2］上是减函数，则必有。〉1.所以

实数Q的取值范围为［1,3.故选B.

1.若0a勺<1,则下列关系式正确的一组是(D)

A.Iog3%>log3yB.logj_%<logj_y

22

C.log.v3<logy3D.log4X<log4y

解析：y=log3%是增函数，

当时，log3%<log3y.

Vy=logj_x是减函数，

2

当x<y时，loglx>logj_y.

22

log3x<log3y<0,

'log3ylog〉3<logx3.

Vy=log4X是增函数，且0<x<y<l知log4X<log4y.

2.函数>=2工的反函数是(C)

A.y=log2xB.y-logX%

」2

C.y=log2%(x〉0)D.y=logl%(%>0)

2

解析：函数y=2*的值域是(0,+°°).

又其反函数为y=log2%.故选C.

3.函数y=loglC?—6%+i7)的值域是(一8,—3].

2

解析：由/—6%+17=(%—3)2+8〉。恒成立，知X£R.

设“=♦—6x+17.*/0<2<1,

/.函数y=loglu是减函数.

2

又'."x2—6x+17=(%—3)2+8^8,

.,.log]_(%2—6x+17)<logj_8=logj_23=logj_2]-3=—3.

2222V7

故函数y=logj_(x2—6%+17)的值域为(-8,—3],

2

4.函数兀0=ln(3+2x一炉)的单调递增区间是dJJ,单调递减区

间是(1,3).

角星析：3+2%—%2>o,;.%2—2X—3<0.

—l<x<3.

令“=3+2%—%2=一(/―2%—3)=—(%—1)2+4,

/.当工£(—1,1)时，u是X的增函数，y是Inw的增函数，故函数兀0

=ln(3+2%—f)的单调递增区间是(一1,1).

同理，函数<%)=111(3+2%—2的单调递减区间是(1,3).

5.已知危)=log”⑷一1)(。〉0,且aWl).

(1)求危)的定义域；

(2)讨论函数危)的单调性.

解：⑴使於)=log。⑷-1)有意义,则炉一1〉0,即炉>1.当a>l时，

x>0;当0<a<l时，X<0,...当a>l时，函数的定义域为{%|%>0};当0<a<l

时，函数的定