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文档简介
4.4.2对数函数的应用
[目标]1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数
不等式;2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域;3.能综合
应用对数函数的图象和性质解决有关问题.
[重点]对数函数的图象和性质的应用.
[难点]对数函数的图象和性质的综合应用.
知识点一对数函数的单调性
[填一填]
1.对数函数的单调性:当。>1时,y=log〃%为增函数,当0<。<1
时,为减函数.
2.对于y=loga%,若。〉1,当%>1时,y>0,当0<%<1时,y<0;
若0<Q<1,当0a<1时,y>0,当x>l时,y<0.
[答一答]
1.若。〉1,且m>n>0,则log即与logan的大小关系是log/z〉log®〃.
若且m>n>0,则log/i与logflz2的大小关系是lo.znvlog/.
2.若a>l,且logam>logan,则机与〃的大小关系是m>n;
若0<。<1,且logam>logan,则m与n的大小关系是m<n.
知识点二复合函数的单调性
[填一填]
复合函数y=log犹%),的单调性:设集合AfCD,若a〉l,且
〃=*%)在%上单调递增(减),则集合M对应的区间是函数尸log次工)
的增(减)区间;若且〃=/(%)在上单调递增(减),则集合
M对应的区间是函数y=log/;%)的减(增)区间.
[答一答]
3.危)=log3(X+5)的单调区间是否只有一个?是否就是y=x+5
的单调区间?
提示:是只有1个,但不是y=%+5的单调增区间(-8,十8),
而是(一5,+°°).
知识点三反函数
[填一填]
函数y=loga%(a〉0,且aWl)与y=a*(a〉O,且aWl)互为反函数,
其图象关于直线y=x对称.
[答一答]
4.指数函数与对数函数有哪些主要的相同点?两种函数之间有哪
些关系?
提示:(1)底数的范围相同;(2)a>l时同为增函数,时同为
减函数;(3)互为反函数,图象关于直线y=%对称;(4)指数函数的定义
域是对数函数的值域,指数函数的值域是对数函数的定义域.
类型一比较大小
[例1]比较下列各组值的大小.
34
(l)log5Z与log5§;(2)logl2与logl2;
(3)log23与log54.
34
[解]⑴法一:对数函数y=log5%在(0,+8)上是增函数,而不可,
34
.,.Iog54<log53-
_3434
法二:二log5Z<0,log5g>0,log5a<log5§.
(2)作y=log]_x与y=log]_X的图象,如图,再作直线x=2与两图
'3'5
象分别交于A,B两点、,则4(2,logl2),B(2,logl2),5点在A点上
35
方,.'.log!2<logX2.
35
(3)取中间值1,
Vlog23>log22=1=log55>log54,
/.log23>log54.
对数式比较大小的三种类型和求解方法
(1)底数相同时,利用单调性比较大小.
(2)底数与真数均不相同时,借助于。或1比较大小.
(3)真数相同时,可利用换底公式换成同底,再比较大小,但要注
意对数值的正负.
[变式训练1]设。=log36,z?=log510,C=log714,则(D)
A.c>b>aB.b>c>a
C.a>c>bD.a>b>c
解析:由对数运算法则得Q=log36=l+log32,Z?=l+log52,C=1
+log72,由对数函数图象得Iog32>log52>log72,所以a泌〉c,故选D.
类型二解对数不等式
2
[例2]⑴若log亏<l(a>0,且"1),求实数。的取值范围.
(2)已知logo,7(2x)<logo,7(x—1),求%的取值范围.
[分析]对于变为logaa讨论单调性;对于(2)直接根据单调
性列不等式组求解.
22
[解]⑴logag<1,即log亏<log〃a.
当a>l时,函数y=loga]在定义域内是增函数,
2,.
所以loga^<logfla总成立;
当O<G<1时,函数y=loga%在定义域内是减函数,
222
由10g〃5<10g“Q,得。<亍即0<。<亍
所以实数。的取值范围为|o,1]u(l,+°°).
(2),.,函数y=logo.7%在(0,+8)上为减函数,
由logo,7(2x)<logo,7(X—1),
‘2%>0,
得解得x〉l.
、2x〉人—1,
...%的取值范围为(1,+°°).
解对数不等式时,要防止定义域扩大,应在解的过程中加上限制
条件,使定义域保持不变,即进行同解变形.若非同解变形,最后一定
要检验.
3
[变式训练2]若一l<log〃a<l(a〉0,且aWl),求实数。的取值范
围.
3
解:,.•一l<log也<1,
13
.*.logfl-<logfl4<log«a.
134
当a>l时,~<7<a,贝Ia〉];
a43
133
当0<。<1时,一〉彳〉。,则0<a<7.
a44
故实数a的取值范围是(0,T]U及,+8).
类型三对数复合型函数的值域
[例3]求下列函数的值域:
(l)y=logj_(―x2+2x+3);
2
(2)y=log3及)-2,[—3,—1].
[分析]先求出真数的范围,再利用对数函数的单调性求原函数的
值域.
[解](1)设u=——(%—1)2+4<4,
,.,y=logj_〃在(0,+8)上是减函数,
2
(―x2+2x+3)^logl4=—2.
22
函数的值域为[—2,+°°).
(2)设"=及}-2,3,-1].
...3W[|)W27,即1WMW25.
•函数y=log3"在(0,+8)上是增函数,
.,.0<log3及}-2<log325.
...原函数的值域为[0,log325].
1.与对数函数有关的复合函数的值域:求与对数函数有关的复合函
数的值域,一方面,要抓住对数函数的值域;另一方面,要抓住中间
变量的取值范围,利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).
2.对于形如y=log/%)仅>。,且aWl)的复合函数的值域的求解的
步骤:①分解成y=log〃","=八%)两个函数;②求_/(%)的定义域;③求
〃的取值范围;④利用y=log/的单调性求解.
[变式训练3]设函数九%)=log2(4x>log2(2%),.若?=log2x
(1)求力的取值范围.
(2)求八%)的值域.
解:(1)因为彳=log2%,
所以log2;WWlog24,即一2W/W2.
(2)函数fix)=log2(4x)-log2(2x),
即X%)=(log2%)2+31og2%+2,又r=log2x,
则y=r2+3r+2=^+|j2—^(―2<f<2).
33
当t=-5时,即log2%=—2»
3
—5L1
X=2时,X^)min=-4;
当,=2时,即10g2%=2,%=4时,犬%)max=12.
1
-
12
综上可得,函数八%)的值域为4?
类型四对数复合型函数的单调性
[例4]已知人x)=logj_(%2—“%—a)在1―8,一;)上是增函数,求
a的取值范围.
[解]令u(x)=j^—ax—a,
=10gl”(%)在(一8,—J]上是增函数,M(%)在
1—8,一自上是减函数,且M(%)>0在1―8,一自上恒成立.
QN—1,
即1.a
[十]一a三0.
.K<1
J满足条件的。的取值范围是a—IWQW;].
与对数函数有关的复合函数y=logag(x)的单调性的求解步骤:
(1)确定定义域,研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进
行.(很多同学忽略了定义域,即不满足g(%)>0导致错误)
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解
成基本初等函数:外层函数y=log/,内层函数〃=g(%).
(3)分别确定这两个函数的单调区间.
(4)若这两个函数同增或同减,则y=log〃g(%)为增函数;若一增一
减,则y=log“ga)为减函数,即“同增异减”.
[变式训练4]已知危)=log〃(8—3G)在[-1,2]上是减函数,则实
数。的取值范围是(B)
A.(0,1)B(l,胃
C.4b(1,+8)
解析:由题意,知8—3。%>0,%£[—1,2],8+3。〉0,8—6。>0,
844
二.一又易知a>0,且QTM,/.0<a<l或l<a<^,此时可知函数
g(%)=8—3OY是减函数.若<工)在[―1,2]上是减函数,则必有。〉1.所以
实数Q的取值范围为[1,3.故选B.
1.若0a勺<1,则下列关系式正确的一组是(D)
A.Iog3%>log3yB.logj_%<logj_y
22
C.log.v3<logy3D.log4X<log4y
解析:y=log3%是增函数,
当时,log3%<log3y.
Vy=logj_x是减函数,
2
当x<y时,loglx>logj_y.
22
log3x<log3y<0,
'log3ylog〉3<logx3.
Vy=log4X是增函数,且0<x<y<l知log4X<log4y.
2.函数>=2工的反函数是(C)
A.y=log2xB.y-logX%
」2
C.y=log2%(x〉0)D.y=logl%(%>0)
2
解析:函数y=2*的值域是(0,+°°).
又其反函数为y=log2%.故选C.
3.函数y=loglC?—6%+i7)的值域是(一8,—3].
2
解析:由/—6%+17=(%—3)2+8〉。恒成立,知X£R.
设“=♦—6x+17.*/0<2<1,
/.函数y=loglu是减函数.
2
又'."x2—6x+17=(%—3)2+8^8,
.,.log]_(%2—6x+17)<logj_8=logj_23=logj_2]-3=—3.
2222V7
故函数y=logj_(x2—6%+17)的值域为(-8,—3],
2
4.函数兀0=ln(3+2x一炉)的单调递增区间是dJJ,单调递减区
间是(1,3).
角星析:3+2%—%2>o,;.%2—2X—3<0.
—l<x<3.
令“=3+2%—%2=一(/―2%—3)=—(%—1)2+4,
/.当工£(—1,1)时,u是X的增函数,y是Inw的增函数,故函数兀0
=ln(3+2%—f)的单调递增区间是(一1,1).
同理,函数<%)=111(3+2%—2的单调递减区间是(1,3).
5.已知危)=log”⑷一1)(。〉0,且aWl).
(1)求危)的定义域;
(2)讨论函数危)的单调性.
解:⑴使於)=log。⑷-1)有意义,则炉一1〉0,即炉>1.当a>l时,
x>0;当0<a<l时,X<0,...当a>l时,函数的定义域为{%|%>0};当0<a<l
时,函数的定
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