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文档简介

4.4.2对数函数的应用

[目标]1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数

不等式;2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域;3.能综合

应用对数函数的图象和性质解决有关问题.

[重点]对数函数的图象和性质的应用.

[难点]对数函数的图象和性质的综合应用.

知识点一对数函数的单调性

[填一填]

1.对数函数的单调性:当。>1时,y=log〃%为增函数,当0<。<1

时,为减函数.

2.对于y=loga%,若。〉1,当%>1时,y>0,当0<%<1时,y<0;

若0<Q<1,当0a<1时,y>0,当x>l时,y<0.

[答一答]

1.若。〉1,且m>n>0,则log即与logan的大小关系是log/z〉log®〃.

若且m>n>0,则log/i与logflz2的大小关系是lo.znvlog/.

2.若a>l,且logam>logan,则机与〃的大小关系是m>n;

若0<。<1,且logam>logan,则m与n的大小关系是m<n.

知识点二复合函数的单调性

[填一填]

复合函数y=log犹%),的单调性:设集合AfCD,若a〉l,且

〃=*%)在%上单调递增(减),则集合M对应的区间是函数尸log次工)

的增(减)区间;若且〃=/(%)在上单调递增(减),则集合

M对应的区间是函数y=log/;%)的减(增)区间.

[答一答]

3.危)=log3(X+5)的单调区间是否只有一个?是否就是y=x+5

的单调区间?

提示:是只有1个,但不是y=%+5的单调增区间(-8,十8),

而是(一5,+°°).

知识点三反函数

[填一填]

函数y=loga%(a〉0,且aWl)与y=a*(a〉O,且aWl)互为反函数,

其图象关于直线y=x对称.

[答一答]

4.指数函数与对数函数有哪些主要的相同点?两种函数之间有哪

些关系?

提示:(1)底数的范围相同;(2)a>l时同为增函数,时同为

减函数;(3)互为反函数,图象关于直线y=%对称;(4)指数函数的定义

域是对数函数的值域,指数函数的值域是对数函数的定义域.

类型一比较大小

[例1]比较下列各组值的大小.

34

(l)log5Z与log5§;(2)logl2与logl2;

(3)log23与log54.

34

[解]⑴法一:对数函数y=log5%在(0,+8)上是增函数,而不可,

34

.,.Iog54<log53-

_3434

法二:二log5Z<0,log5g>0,log5a<log5§.

(2)作y=log]_x与y=log]_X的图象,如图,再作直线x=2与两图

'3'5

象分别交于A,B两点、,则4(2,logl2),B(2,logl2),5点在A点上

35

方,.'.log!2<logX2.

35

(3)取中间值1,

Vlog23>log22=1=log55>log54,

/.log23>log54.

对数式比较大小的三种类型和求解方法

(1)底数相同时,利用单调性比较大小.

(2)底数与真数均不相同时,借助于。或1比较大小.

(3)真数相同时,可利用换底公式换成同底,再比较大小,但要注

意对数值的正负.

[变式训练1]设。=log36,z?=log510,C=log714,则(D)

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

解析:由对数运算法则得Q=log36=l+log32,Z?=l+log52,C=1

+log72,由对数函数图象得Iog32>log52>log72,所以a泌〉c,故选D.

类型二解对数不等式

2

[例2]⑴若log亏<l(a>0,且"1),求实数。的取值范围.

(2)已知logo,7(2x)<logo,7(x—1),求%的取值范围.

[分析]对于变为logaa讨论单调性;对于(2)直接根据单调

性列不等式组求解.

22

[解]⑴logag<1,即log亏<log〃a.

当a>l时,函数y=loga]在定义域内是增函数,

2,.

所以loga^<logfla总成立;

当O<G<1时,函数y=loga%在定义域内是减函数,

222

由10g〃5<10g“Q,得。<亍即0<。<亍

所以实数。的取值范围为|o,1]u(l,+°°).

(2),.,函数y=logo.7%在(0,+8)上为减函数,

由logo,7(2x)<logo,7(X—1),

‘2%>0,

得解得x〉l.

、2x〉人—1,

...%的取值范围为(1,+°°).

解对数不等式时,要防止定义域扩大,应在解的过程中加上限制

条件,使定义域保持不变,即进行同解变形.若非同解变形,最后一定

要检验.

3

[变式训练2]若一l<log〃a<l(a〉0,且aWl),求实数。的取值范

围.

3

解:,.•一l<log也<1,

13

.*.logfl-<logfl4<log«a.

134

当a>l时,~<7<a,贝Ia〉];

a43

133

当0<。<1时,一〉彳〉。,则0<a<7.

a44

故实数a的取值范围是(0,T]U及,+8).

类型三对数复合型函数的值域

[例3]求下列函数的值域:

(l)y=logj_(―x2+2x+3);

2

(2)y=log3及)-2,[—3,—1].

[分析]先求出真数的范围,再利用对数函数的单调性求原函数的

值域.

[解](1)设u=——(%—1)2+4<4,

,.,y=logj_〃在(0,+8)上是减函数,

2

(―x2+2x+3)^logl4=—2.

22

函数的值域为[—2,+°°).

(2)设"=及}-2,3,-1].

...3W[|)W27,即1WMW25.

•函数y=log3"在(0,+8)上是增函数,

.,.0<log3及}-2<log325.

...原函数的值域为[0,log325].

1.与对数函数有关的复合函数的值域:求与对数函数有关的复合函

数的值域,一方面,要抓住对数函数的值域;另一方面,要抓住中间

变量的取值范围,利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).

2.对于形如y=log/%)仅>。,且aWl)的复合函数的值域的求解的

步骤:①分解成y=log〃","=八%)两个函数;②求_/(%)的定义域;③求

〃的取值范围;④利用y=log/的单调性求解.

[变式训练3]设函数九%)=log2(4x>log2(2%),.若?=log2x

(1)求力的取值范围.

(2)求八%)的值域.

解:(1)因为彳=log2%,

所以log2;WWlog24,即一2W/W2.

(2)函数fix)=log2(4x)-log2(2x),

即X%)=(log2%)2+31og2%+2,又r=log2x,

则y=r2+3r+2=^+|j2—^(―2<f<2).

33

当t=-5时,即log2%=—2»

3

—5L1

X=2时,X^)min=-4;

当,=2时,即10g2%=2,%=4时,犬%)max=12.

1

-

12

综上可得,函数八%)的值域为4?

类型四对数复合型函数的单调性

[例4]已知人x)=logj_(%2—“%—a)在1―8,一;)上是增函数,求

a的取值范围.

[解]令u(x)=j^—ax—a,

=10gl”(%)在(一8,—J]上是增函数,M(%)在

1—8,一自上是减函数,且M(%)>0在1―8,一自上恒成立.

QN—1,

即1.a

[十]一a三0.

.K<1

J满足条件的。的取值范围是a—IWQW;].

与对数函数有关的复合函数y=logag(x)的单调性的求解步骤:

(1)确定定义域,研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进

行.(很多同学忽略了定义域,即不满足g(%)>0导致错误)

(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解

成基本初等函数:外层函数y=log/,内层函数〃=g(%).

(3)分别确定这两个函数的单调区间.

(4)若这两个函数同增或同减,则y=log〃g(%)为增函数;若一增一

减,则y=log“ga)为减函数,即“同增异减”.

[变式训练4]已知危)=log〃(8—3G)在[-1,2]上是减函数,则实

数。的取值范围是(B)

A.(0,1)B(l,胃

C.4b(1,+8)

解析:由题意,知8—3。%>0,%£[—1,2],8+3。〉0,8—6。>0,

844

二.一又易知a>0,且QTM,/.0<a<l或l<a<^,此时可知函数

g(%)=8—3OY是减函数.若<工)在[―1,2]上是减函数,则必有。〉1.所以

实数Q的取值范围为[1,3.故选B.

1.若0a勺<1,则下列关系式正确的一组是(D)

A.Iog3%>log3yB.logj_%<logj_y

22

C.log.v3<logy3D.log4X<log4y

解析:y=log3%是增函数,

当时,log3%<log3y.

Vy=logj_x是减函数,

2

当x<y时,loglx>logj_y.

22

log3x<log3y<0,

'log3ylog〉3<logx3.

Vy=log4X是增函数,且0<x<y<l知log4X<log4y.

2.函数>=2工的反函数是(C)

A.y=log2xB.y-logX%

」2

C.y=log2%(x〉0)D.y=logl%(%>0)

2

解析:函数y=2*的值域是(0,+°°).

又其反函数为y=log2%.故选C.

3.函数y=loglC?—6%+i7)的值域是(一8,—3].

2

解析:由/—6%+17=(%—3)2+8〉。恒成立,知X£R.

设“=♦—6x+17.*/0<2<1,

/.函数y=loglu是减函数.

2

又'."x2—6x+17=(%—3)2+8^8,

.,.log]_(%2—6x+17)<logj_8=logj_23=logj_2]-3=—3.

2222V7

故函数y=logj_(x2—6%+17)的值域为(-8,—3],

2

4.函数兀0=ln(3+2x一炉)的单调递增区间是dJJ,单调递减区

间是(1,3).

角星析:3+2%—%2>o,;.%2—2X—3<0.

—l<x<3.

令“=3+2%—%2=一(/―2%—3)=—(%—1)2+4,

/.当工£(—1,1)时,u是X的增函数,y是Inw的增函数,故函数兀0

=ln(3+2%—f)的单调递增区间是(一1,1).

同理,函数<%)=111(3+2%—2的单调递减区间是(1,3).

5.已知危)=log”⑷一1)(。〉0,且aWl).

(1)求危)的定义域;

(2)讨论函数危)的单调性.

解:⑴使於)=log。⑷-1)有意义,则炉一1〉0,即炉>1.当a>l时,

x>0;当0<a<l时,X<0,...当a>l时,函数的定义域为{%|%>0};当0<a<l

时,函数的定

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