解析人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测评练习题

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测评

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点。旋转到的位置，已知A。的长为5米.若栏

杆的旋转角=则栏杆4端升高的高度为（）

'*3

\\B,

C.5sin。米D.5cosa米

cosa

2、如图，一艘轮船在小岛/的西北方向距小岛40后海里的。处，沿正东方向航行一段时间后到达小

岛力的北偏东60。的夕处，则该船行驶的路程为（）

A

A.80海里B.120海里

C.(40+4()五)海里D.(40+40石)海里

3、如图，在扇形4如中，//5=90°,以点力为圆心，曲的长为半径作OC交4B于点G若的=

2,则阴影部分的面积为（）

B

OA

A.乙兀一6B.也兀C.-nD.43+-7T

3333

4、在应中，ZC=90°,47=5,BC=3,则sin/l的值是（）

A.途B.之C.之D.叵

34543

5、如图，在平面直角坐标系系中，直线），=Kx+2与x轴交于点A,与丁轴交于点C,与反比例函数

丫=与在第一象限内的图象交于点8,连接BO.若1时=1，tanNBOC=!，则质的值是（）

x3

A.2B.3C.4D.6

6、如图，在正方形ABCQ中、E是8c的中点，尸是CD上的一点，AE1EF,则下列结论：（1）

sinZBA£=|；（2）BE2=ABCF；（3）CD=3CF-（4）^ABE~^AEF.其中结论正确的个数有

)

A.1个B.2个C.3个D.4个

7、将矩形纸片/比力按如图所示的方式折起，使顶点C落在C'处，若18=4,DE=8,则

sinZCED为（）

x/2

D

2-T

8、如图，点A为Ne边上的任意一点，作ACL5C于点C,CD_LAB于点下列用线段比表示sina的

值，正确的是（）

,DCB•箓DCD.BC

A.7c~BC~AB

9、如图要测量小河两岸相对的两点尸，4的距离，点户位于点月正北方向，点。位于点力的北偏西

46°,若测得PC=50米，则小河宽必为（）

A.50sin44°米B.50cos44°C.50tan44°米D.50tan46°米

10、如图，若。。的半径为凡则它的外切正六边形的边长为（）

A.如B.必C.20RD.6R

33

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，AABC中，ZAC8=90。，AC=8C,点〃、点£分别在46、/C上，连接口ED,ED=CD,

tanZADE=；,BO=&,则AB=.

2、如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿和切的长度相等，。是它们的

中点.为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32腐，/戊历=100。，那么椅腿

48的长应设计为一c-勿.（结果精确到0.1。加，参考数据：57/750°=cos40°^0.77,sirAQ°=

cos50°g0.64,为〃40°^0.84,tan^°^1.19)

D

电32cm

・Z/Z/Z//Z//ZZZ//ZZZZZ////

0cB

图1图2

3、|-2|+223-tan45-Vi6=

4、cos30°的相反数是

5、准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1）,已知遮阳棚应与竖杆仍垂直，遮阳

棚的高度仍=3米，喷水点A与地面的距离物=1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水

的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离比'=2米（如图2）,此时水柱的函数表达式为

现将遮阳棚即绕点8向上旋转45°（如图3）,则此时水柱与遮阳棚的最小距离为一

米.（保留根号）

图1图2

三、解答题（5小题,每小题10分，共计50分）

1、计算下列各式:

(1)&s/〃60°-4cos?30°+siz;45°•tan60°；

(2)J2cos230,-2cos30"+sin230”•

2、计算:2sin60°+tan45°—cos30°tan60°

3、计算：|1-6卜(-1)“-2cos30。

4、如图，等腰中，AB=AC,〃为线段比'上的一个动点，£为线段上的一个动点，使得切

=及庞.连接应，以。点为中心，将线段应顺时针旋转90°得到线段〃自，连接线段防过点。作射

线"?_L6C交射线例于点吊连接ZW,RF.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：4BD蜂4RDF；

(3)若4/=〃=2,尸为射线以上一点，连接图请写出一个露的值，使得对于任意的点〃，总有

N旅为定值，并证明.

5、如图所示，在7x6的方格纸中，每个小正方形的边长均为1,线段A8的端点A、8均在小正方形的

顶点上.

25

(1)在方格纸中画出等腰A4BC,点C在小正方形的顶点上，AA3C的面积为了；

(2)在方格纸中画出以48为斜边的RtA4B。，点O在小正方形顶点上，tan/£)a4=2,连接CD,并直

接写出CO的长.

参考答案

一、单选题

1、C

【分析】

过点/'作/'CL/6于点C,根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

【详解】

解：过点，作©CL4?于点C,

啰

2\*\B,

由题意可知：A'3435,

.".A'C=5sina,

故选：C.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型.

2、D

【分析】

过点力作49工a1于点〃分别在放28和Rt/MB。中，利用锐角三角函数，即可求解.

【详解】

解：过点力作47，%于点〃,

cDB

根据题意得：AC=40y/2海里，N/麻/月游90°,ZCAD=45°,N8AD=60°,

在RfZ\A8中，

AD=C£>=AC-sin45°=40>/2x—=40海里，

2

在Rt4ABO中，

50=ADtan60°=405/3海里，

BC=CD+BD=（40+40@海里，

即该船行驶的路程为（40+40石）海里.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键.

3、B

【分析】

连接%、AC,作以社处于〃可证为等边三角形，得出/如。=60°,可求办如Xtan60°=

1xy/3=y/3,可求5koK=jOA,C。=5x2x6=6,求出N60C=30°,再求出S扇后OBC，S堀彩0g可得阴

i9i

影部分的面积=1乃-（铲-6）=6-铲.

【详解】

解：连接%、AC,作a?_L如于〃，

'：OA=OC=AC,

.•.△力宏为等边三角形，

：.ZOAC=60Q,

•；CDVOA,ZCDO=90°,OD=AD=-OA=l,

2

：.CD=ODXtan60°=\x币＞=上,

SMM=g（）A.CD=6,

：.ZBOC=30°,

2

c_30^x2_1

扇形。BC=F5-=§下，

c_60^-x222

3扇形OAC----—=不冗、

36（33

io1

则阴影部分的面积=:乃-（2万-6）=百-3万,

故选：B.

【点睛】

本题考查扇形面积，等边三角形判定与性质，锐角三角函数，掌握扇形面积，等边三角形判定与性

质，锐角三角函数是解题关键.

4、A

【分析】

先根据银河股定理求出AB,根据正弦函数是对边比斜边，可得答案.

【详解】

解：如图,

VZC=90°,AC=5,BC=3,

.**AS=-JAC2+BC2=扃

;.sinA=^3=3^4；

ABV3434

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键.

5、B

【分析】

首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△6%的面积求得切的长，然后利用正切函数的定义求得必

的长，从而求得点8的坐标，求得结论.

【详解】

解：•••直线了=左户2与x轴交于点儿与y轴交于点G

.•.点C的坐标为（0,2）,

：.OC=2,

,•>5ACW=1>

：.BD=1,

VtanZ^C=1,

・BD1

••一,

OD3

：.OD=3,

.•.点6的坐标为（1,3）,

•.•反比例函数尸区在第一象限内的图象交于点8,

x

.".^=1X3=3.

故答案为：B

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点8的坐标.

6、B

【分析】

首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△胡A-△金尸，则可证得②正确，①③错误，利用有

两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得即可求得答案.

【详解】

解：•••四边形45（力是正方形，

AZB=ZC=9Q°,AB=BC=CD,

'：AEVEF,

:./AEF=NB=9G,

：.ZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+FEC=90°,

：2BAE=/CEF,

△物6s△期

.ABCE

"'~BE~~CF'

'：BE=CE,

：.B^=AB'CF.

'：AB=2CE,

：.CF=；CE=-CD,

24

C±4CF,

故②正确，③错误，

/.tanABAE=BEzAB=!,

2

・・・N为驻30。,

sin®%；故①错误；

设CF=a,贝ijBE=CE=2a,AB=CD=AD=4a,DF=3a,

:・AE=2逐a,EF=后a,AF=^a,

.AE_2y/5a_2>/5BE_2a_275

'•寿=5a=亍'商-夜一行

.AEBE

"'~AF~~EF'

■:NABE=NAEF=9G,

:.XABESAAEF,故④正确.

故选：B.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质.熟练掌握相似三角形的

判定与性质是解题的关键.

7、B

【分析】

由折叠可知，C么CD=4,再根据正弦的定义即可得出答案.

【详解】

解：...纸片/版是矩形，

:.CD=AB,/信90°,

由翻折变换的性质得，C分必=4,ZCZ=ZO90°,

sinZ.CED=——=—=—.

ED82

故选：B.

【点睛】

本题可以考查锐角三角函数的运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边.

8、C

【分析】

根据正弦值等于对边与斜边的比，可得结论.

【详解】

解：在肋4回。中，.”〃口=不；在/?以仞C中，sina造.

AB

故选：C.

【点睛】

本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.

9、C

【分析】

先根据ZHLAG可求NP0=9O°-46°=44°,在中，利用三角函数月片tan44OxPC=50tan44。

米即可.

【详解】

解：'：AP1PC,

：.ZPCA+ZA=9Qa,

VZ/f=46°,

AZPCA=9Qa-46°=44°,

Ap

在m△PQ中，tanNAa=而，A>50米，

：.AP=tan44。xPC=50tan440米.

故选C.

【点睛】

本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键.

10、B

【分析】

如图连结。，OB,施，根据六边形46(*为圆外切正六边形，得出N4仍=60°△406为等边三角形，

根据点G为切点，可得仇人/昆可得华平分//仍，得出N40信;乙4。8=；*60。=30。，根据锐角三角

函数求解即可.

【详解】

解：如图连结OA,OB,OG,

•.•六边形力比阳7为圆外切正六边形，

必=360°4-6=60°,△力如为等边三角形，

•.•点G为切点，

：.OGVAB,

二%平分4仍，

，AAOO』NAO8=1x60。=30°,

22

cos30°=-----,

OA

~OGR2限

.OA=---------=-j==--------

・・cos30°y/33・

~2

故选择B.

◎

CD

【点睛】

本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，

等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键.

二、填空题

1、3&

【解析】

【分析】

如图，过E作E//LA3于"，过。作Z5MLAC于M,作。G,8c于G,证明四边形CG0M为矩形，

1EH

?A?B45?,再求由星QG=8G=1=CM,证明fiW=CM=1,tanZADE=-=—^EH=x则OH=3x,

3DH9

再表示AE,利用A8=0AC列方程，再解方程可得答案.

【详解】

解：如图，过E作于"，过。作。MJ_AC于M,作。GJ_8C于G,

Q?ACB90?,ACBC,

二•四边形以2M为矩形，?A?B45?,

\DG=CM,

・.・BD=&

\DG=BG=BD冷in45?A/2?—1,

2

\CM=1,

QDE=DC,DM八AC,

\EM=CM=1,

iFH

•・•tanZADE=-=——，

3DH

设则。H=3x,

Q?A45腌:HAH,

\AH=EH=x,

由sinA=sin45?=^^

AE2

\AE=\[2x,

同理：cosA=cos45?="^^

AB2

AB=&AC,

\x+3x+&=^^x+2),

解得「=孝

\AB=4x+yf2=47—&=3&,

2

故答案为：36

【点睛】

本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数

的应用，熟练的运用“锐角三角函数建立方程”是解本题的关键.

2、41.6

【解析】

【分析】

连接过点。作。肚6〃于点〃，从而得到眸如，进而得到/灰游50°,在RABOH中,可求出

0B,即可求解.

【详解】

解：如图，连接BD,过点。作加加于点〃,

•:AB=CD,点0是AB、2的中点,

OB=OD,

〃仍=100°,

:./BO居5G,

fi/7=-Z?D=-x32=16cm,

22

在Rt^BOH中,

OB=———a也a20.8cm,

sinZBOH0.77

AB=2OB=41.6cm.

故答案为：41.6

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

3、5

【解析】

【分析】

原式分别根据绝对值，有理数的乘方，二次根式以及特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减运算

即可得到答案.

【详解】

解：|-2|+23-tan450-V16

=2+8-1-4

=5

【点睛】

本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及特殊角三角函数值是解答本题的关键

4、-鸟#

22

【解析】

【分析】

先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数.

【详解】

解：Vcos30°=乌

2

所以其相反数为-3.

2

故答案为：-虫.

2

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概

念.

1,3I~

5、y=-5X+2x+1-5/2

【解析】

【分析】

先根据已知设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式；将线段劭沿y轴向下平移，使平移后的

线段赵V恰好与抛物线只有一个交点，先根据M与水平线成45°角，从而得到直线初与直线y=x平

行，再根据得出版V平行于直线y=x,利用待定系数法求出直线,"的函数解析式，再根据

直线的V和抛物线有一个公共点，联立解方程组，根据△=（）求出直线网，的解析式，再求出直线拗'与y

轴的交点材的坐标，求出的/的长度，再根据N8MG=45。，求出比即可.

【详解】

解：将线段初沿y轴向下平移，使平移后的线段秘，恰好与抛物线只有一个交点，

过点6作BG1MN干G,如图：

•••抛物线的顶点C的坐标为(2,3),

设抛物线的解析式为y=心-2尸+3,

把点40,1)的坐标代入y="(X-21+3得:1=ax(0-2尸+3,

解得：a=~,

1,1,

y=——(x-2)~+3=——X+2,x+1,

■:/DBC=45°,旌Ly轴，

...8〃与直线y=x平行，且8〃与y轴的夹角是45°,

BD//MN,

.，邮与直线y=x平行，ZBMG=45°,

工设网，的解析式为＞=

•，网与抛物线只有一个交点,

y=%+/?

方程组'2。।只有一组解，

y=——x+2x+\

I2

方程x+b=-；V+2无+1有两个相等的实数根,

将方程整理得：^x2-x+b-l=0,

AA=(-1)2-4X-!-X(/?-1)=0,

2

解得:b=j3,

3

.•.腑的解析式为y=x+],

3

令x=o,得y=/，

•；8(0,3),

33

BM=3-：==(米)，

22

在向△&WG中，ZBGM=90°,ZBMG=45°,

"：sinZBMG=—,

BM

：.BG=BM-sin45°=-x—=->/2(米)，

224

•••此时水住与遮阳棚的最小距离为:血米.

故答案为：y=--^x2+2x+\,1应.

【点睛】

本题考查二次函数的应用以及锐角三角函数，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的

关键.

三、解答题

1、(1)V6-3(2)土史

2

【解析】

【分析】

(1)根据特殊角的三角函数值化简，故可求解;

(2)根据特殊角的三角函数值化简，故可求解.

【详解】

(1)y/257/T60°-4cosJ30°+s]7?45°•tcin&0o

=愕+与x币

4x3+逅

242

=5/6-3

（2）J2cos230-2cos30+siu?30

2X1-2XT4

J4-46+3

2

2

=2-5/3

2

【点睛】

此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值、二次根式的运算即完全平方公式

的运算.

2、场二

2

【解析】

【分析】

根据特殊角的锐角三角形函数值进行混合运算即可.

【详解】

解：原式=21+1-争二

=百」

2

【点^青】

本题考查了特殊角的锐角三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.

3、0

【解析】

【分析】

根据化简绝对值，负整数指数募，特殊角的三角函数值，进行混合运算即可

【详解】

解：卜_^/^卜(―1)—2cos30°

原式=«-l_(-l)_2x手

=y/3—1+I—5/3

=0

【点睛】

本题考查了化简绝对值，负整数指数累，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值并正确的进

行实数的混合运算是解题的关键.

4、(1)见解析；(2)见解析；(3)当BP=4,使得对于任意的点〃总有N则为定值，证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据题意作出图形连接。R,RF；

(2)根据NBDR=NEDF可彳导ZBDE=NRDF,证明是等腰直角三角，可得比＞=@?,根据旋转的

性质可得ED=DR,进而根据边角边即可证明XBD的△RDF；

(3)当PB=245=4时，设。E=a,则CZ)=0“，分别求得尸凡外，根据tanNBPF=M=f=(即可求

RP2a2

解

【详解】

(1)如图，