2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何测评试题一新人教B版选择性必修第一册

第一章测评(一)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(2022湖北黄冈检测)设点〃(1,1,1),4(2,1,-1),。(0,0,0),若说=屈，则点8的坐标为()

A.(1,0,-2)B.(3,2,0)

C.(1,0,2)D.(3,-2,0)

2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(Y,-6,2),则下列结论正确的是()

A.a/7c,b〃cB.a//b,a±c

C.a//c,a±bD.以上都不对

3.(2021安徽芜湖期中)已知点4(4,1,3),8(2,3,1),C(5,7,3)，又点尸(x,T,3)在平面板内,则x

的值为()

A.14B.13C.12D.11

4.已知空间四边形如园〃"分别是边OA,⑦的中点，点G在线段上,且使如之例用向量

而，瓦表示向量而是()

A.OG=OA+-OB+-OC

33

B.=-OA+-OB+-OC

OG233

C.OG=-OA+-OB+-OC

633

Y).OG=-OA+-OB+-OC

633

5.在四棱锥尸T比Z?中，荏=(4,-2,3),而二(招,1,0),刀=(。2,⑹，则这个四棱锥的高人等于()

A.1B.2C.13D.26

6.已知两个不重合的平面。与平面相C若平面。的法向量为m=(2,-3,1),荏二(1,0,-

2),前二(1,1,1),则()

A.平面。〃平面49C

B.平面aJ_平面ABC

C.平面a、平面/6C相交但不垂直

D.以上均有可能

7.已知向量a=(l,2,3),b=(-2,~6),/c/WH,若(a4>)•c=7,贝。a与c的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.长方体4444-AB序反的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合/={x/x可瓦•可瓦,/£

{1,2,3,4},{1,2,3,4}}中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.

如图,在长方体ABCD-ABC仙中,AB^>,AD=\,44=3,以直线DA,%能分别为x轴、y轴、z轴建立空

间直角坐标系,则()

A.点旦的坐标为(4,5,3)

B.点G关于点8对称的点为(5,8,-3)

C.点力关于直线初对称的点为(0,5,3)

D.点C关于平面/幽4对称的点为(8,5,0)

10.设{a,b,c}是空间一个基底，下列说法正确的有()

A.若a±b,b±c,则a±c

B.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面

C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z)，使p=xa+yb+zc

D.a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底

11.已知正方体ABCD-ABCD,下列说法正确的是()

A.(A^A++&B；)2=3瓦瓦2

B.A^C•(4瓦-羽)4)

C.向量砧与向量布的夹角是60°

D.正方体ABCD-AiBK。的体积为/AB-AA^-AD/

12.(2021湖北黄冈期中)如图,在菱形ABCD中,AB2/物〃10°,将△力劭沿对角线如翻折到4

9位置,连接阳则在翻折过程中，下列说法正确的是()

A./T与平面颇所成的最大角为45°

B.存在某个位置，使得PB，CD

C.存在某个位置，使得8到平面如C的距离为百

D.当二面角户-初七的大小为90°Ht,PC^/6

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.设a=(2,6,-3),则与a平行的单位向量的坐标为,同时垂直于

a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量.

14.已知空间向量a=(l,n,2),b=(-2,1,2).若2a-b与b垂直,则/a/=.

15.(2021上海青浦期末)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为卷,半径为18的扇形,则圆锥的母线与

底面所成角的余弦值为.

16.(2022浙江杭州模拟)已知ebe2,e3是空间单位向量,ei,e2=e2,e3=e3,ei^,若空间向量a满足

a.=xei+ye2^x,yGR),/a/2则/a•es/的最大值是.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

（2021湖北武汉期中）如图,在三棱锥尸T欧中，点〃为棱国上一点,且CD^BD,点〃为线段的中

点.

⑴以｛荏，前，方｝为一组基底表示向量两；

⑵若AB=AC^>,"N,ZBAC=ZPAC=6Q°,求丽•AC.

18.（12分）如图,在正三棱柱ABC-A^G中，底面边长为夜.

（1）设侧棱长为1,求证:9，虫;

(2)设撅与Ba的夹角为求侧棱的长.

19.(12分)已知空间中三点4(2,0,-2),6(1,-1,-2),C(3,0,Y),设aJ反b就.

(1)若/c/=3,且c〃就,求向量c;

⑵已知向量处为与b互相垂直,求实数k的值；

(3)求△49C的面积.

20.

(12分)设点E,尸分别是棱长为2的正方体ABCD-A^CM的棱AB,AAt的中点.如图，以C为坐标原点,

射线CD,CB,S分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.

(1)求向量庠与序的数量积；

(2)若点M,"分别是线段“£与线段G尸上的点，问是否存在直线MN,使网上平面/腼?若存在,求点

弘N的坐标;若不存在,请说明理由.

21.（12分）

M

A/I0

BC

(2021黑龙江哈尔滨期中)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面Z座，平面ABCD,0,〃分别为线段AD,DE

的中点.四边形池。是边长为1的正方形,AE=DE,AEVDE.

(1)求证:C涉〃平面/座;

⑵求直线班与平面2座所成角的正弦值.

22.

（12分）（2021陕西咸阳模拟）如图,在直三棱柱ABC-AB.Q中,ACLBC,且AC=BC=CC^,〃是阳,的

交点，”是3G的中点.

⑴求证:腑L平面ABC;

⑵求平面阳历与平面4"7夹角的大小.

第一章测评(一)

1.B设B(x,%z),则同=(x-2,y-1,z+1).

因为丽=荏，丽=(1,1,1),

所以(1,1,1)=(x-2,y-1,z+1),

所以y=2,z=Q,即点方的坐标为(3,2,0).

2.CVa,b-^44)^44),.\a±b.

-6

-3

Vb-c-8X)^8=0,.-.b±c,故选C.

3.B因为点4(4,1,3),8(2,3,1),C(5,7,3)，尸(x,T,3),所以9=(xM,-2,0),通=(-2,2,-

2),前=(1,6,-8).

因为点户(x,-1,3)在平面ABCfy,

则存在实数m,〃，使得»气福血,

所以(xY,-2,0)=m(项,2,-2)如(1,6,-8),

x-4=-2m+n,

则-2=2m+6n,

、0=-2m-8n,

解得x=13.

......>.>'...>2>'一>2------>一■>一,,-->、11■"»2一一>1----->

4.COG=OM+MG=OM+-MN=OM+^MO+OC+CN^OM+-OC+-(OB-

0C^0A+l0B+l0C.

5.B设平面/题的法向量为n=(x,%z),

n•AB=0(4x-2y+3z=0,

,n-AD=0,I©+y=0

不妨令x=3,则y=12,zN,

可得平面/9的一个法向量n=(3,12,4).

故四棱锥的高向#

\n\13

6.A由题意,计算ni,AB=2XI+(-3)XO+1X(-2)力,得ni±AB,

计算ni•4C=2X1+(-3)乂1+1乂1或得11」旅，

所以n」平面/%

所以平面a的法向量与平面4?。的法向量共线，

则平面a〃平面ABC.

7.C设向量a4＞与c的夹角为。，

因为a4)=(T,-2,-3),所以/a^tiA/T5,

因为向量a+b与a的方向相反，

所以a与c的夹角为120°.

8.C•.•长方体4444-8遂氏&的底面为边长为1的正方形,高为2,.•.建立如图所示的空间直角坐

标系,

则4(1,1,0),4(0,1,0),4(0,0,0),4(1,0,0),方(1,1,2),旦(0,1,2),4(0,0,2),4(1,0,2),

则不瓦=(T,0,2),

与4瓦二(0,0,2)相等的向量为灰瓦，瓦瓦，瓦瓦,此时石瓦•兀瓦3X2N;

与五瓦二(T，0,2)相等的向量为瓦瓦,此时不瓦•不瓦=1%巧；

瓦瓦=(T,T,2),此时灰瓦•瓦瓦二1必书；

与W瓦二(0,T,2)相等的向量为不瓦，此时工瓦•不瓦之乂2日；

与碰^=(1,0,2)相等的向量为灰瓦,此时不瓦■不瓦=T%=3;

公2瓦=(1，T，2),A/2-A2B4^-1必=3;

用瓦二(1,1,2),不瓦•耳瓦=TM=3;

与瓦瓦二(0,1,2)相等的向量为瓦瓦,此时石瓦•瓦瓦与X2N;

4B2=(T,1,2),4B2•4/2T必书.

综上,集合/={x/x为瓦•硒,YG{1,2,3,4},je{1,2,3,4}}={3,4,5)中元素的个数为3.

9.ACD由图形及其已知可得，点反的坐标为(4,5,3),点0(0,5,3)关于点6(4,5,0)对称的点为

(8,5,-3)，点A关于直线BD、对称的点为a(0,5,3),点＜7(0,5,0)关于平面/阳4对称的点为(8,5,0).

故A,C,D正确.

10.BCD对于A,b与a,c都垂直,a,c夹角不一定是今,故A错误；

对于B,根据基底的概念可知,a,b,c两两共面，但a,b,c不可能共面,故B正确；

对于C,根据空间向量的基本定理可知,C正确；

对于D,由于{a,b,c}为空间中的一个基底,所以a,b,c不共面,设a+b,b+c,c+a共面,不妨设

a+b刁r(b+c)+(l-x)(c+a),化简得c?a+(l-x)b,所以a,b,c共面,这与已知矛盾,所以a+b,b+c,c+a

不共面,可作为空间的一个基底,故D正确.

11.AB由向量的加法得不+a瓦+工瓦=中，

.,.不2=34/；，故A正确；

-不=AB1,4c

J.ArC-AB1=0,故B正确；

5是等边三角形，

：.NAD1c$0°,又A、B〃仄&

二异面直线/〃与48所成的夹角为60。，但是向量砧与向量砧的夹角是120°,故C不正确；

,：ABkAA,,：.AB-AA1=Q,

故［AB-AA^•标/=0,故D不正确.

12.BD选项A,取物的中点0,连接收气

则OP=OC忐.

由题可知,△/初和切均为等边三角形，

由对称性可知,在翻折的过程中,户。与平面反力所成的角为//T。，

当/rS时,△3T为等边三角形，此时/户6360°,45°,即选项A错误;

选项B,当点户在平面BCD内的投影为△题的重心0时,有园，平面BCD,：.PQLCD.

又BQVCD,50APQ=Q,BQ,Pg平面PBQ,

.*.G9_L平面PBQ.

'：PB^平面PBQ,J.PBLCD,即选项B正确.

选项C,；点8到阳的距离为百，点8到切的距离为百，

...若6到平面次的距离为次,则平面侬江平面PCD,平面（W_L平面PCD,则有如_L平面PCD,即

DBLCD,与△颂是等边三角形矛盾.

选项D,当二面角P-BD-C的大小为90°时,平面Q切1.平面BCD.

'：PB=PD,：.OPLBD.

,：平面PBDC平面BCD=BD,

8_L平面BCD,：.OPLOC.

又8=OC=v",.•.△2%为等腰直角三角形，

：.PC^/2OP=yf6,即选项D正确.

13.（需,K）或（;9,口（；|，|）或（。|，一|）设与a平行的单位向量为u1

则u=〃a=（2〃，6〃，-3〃），

且/u/-l力（202+（602+（一3〃）2,解得口=旺,

e•a=0,12%+2y+z=0,

e-b=0,即］4x+5y+3z=0,

I|e|=l,'（x2+y2+z2=1,

14.¥Va=(l,77,2),b=(-2,1,2),

2a-b=(4,2/7-1,2).

2a-b与b垂直，.二(2a-b),b=0,

解得1，

/a/=Jl+^+4=当.

15.|设母线长为1,底面圆的半径为工

因为圆锥的侧面展开图是圆心角为子,半径为18的扇形,所以2=18,且18吗-2五r,解得r=12.

设圆锥的母线与底面所成角为9,

贝Ijcos<9—=—=

I183

所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值为|.

2

16.手空间向量a满足afeL2(x,p£R)，且ei•e2^2•e3m3•ei^|,则/a/=x+y+xy.

又由/a/=2,得/a/=4.即/+y+xy=^.

又/a•a,I=I(xe、+ye3•8闫x+y1,

由于f+y^2xy,

所以由x+y+xy^,整理得3犯<4,即0

所以/x+“=x+y-f2xy=x+y+xy+xy^^^~=字故/x+y/W竽，

所以/a•eaiqix+yl唱,当且仅当时,等号成立.

17.解⑴•..〃为线段助的中点，，前=:而.

'：CD^BD,：.BD=-BC,

3

标+"屈+：河+

...PM=P4+4"P4+/D=PA+-(AB+BD)=PA+-^AB+-BC

前）]褥+J布-

-AB+-AC)=和+：荏+：丘

⑵丽.—（工+海+海）•代万.前+海・前

+-AC2=-[AP/[AC/•cosZ

6

PA照港//kos/BAC号|前片"X3咛+[X3X3xj+i双-号+1=3

18.⑴证明福=同+西,跖=两+近.

因为曲11_平面ABC,

所以西•荏=0,BB[-BC=Q.

又△/欧为正三角形，

所以燕，丽，音.

因为福•跖=(荏+西)•(西+近)

^AB■西+AB-就+/西•BC

=^4B//SC/cos<AB,BC>+^BB[11r+1=0,

所以留_L回.

*2

(2)解由(1)矢口福­~BC[=[AB/[BC/COS<AB,BC>+(BBl/=/SR1/-l.

又/AB[/=J|XB|2+|BBJ2=J+两]2;同/,

所以cos函，跖，噂繇=a

所以国/之，即侧棱长为2.

19.解(I)：6(1,-1,-2),以3,0,-4),

0,-4)-(1,_1,_2)-(2,1,_2).

/c/3,且C/7BC,*.c=inBC=in(2i1,-2)=(2典典一24，％£R,

/./c/=J(2m)2+m2+(-2m)2

・••片±1,・・.c=(2,1,-2)或c=(-2,T,2).

(2)Va^4F-(-l,-l,0),b^4C-(l,0,-2),

----

/.Aa^bF^(l,1,0)+(1,0,2)-(1~ky-kf2).

:向量也必与b互相垂直,

(Aa4>),b=l-K4R,

解得k5..•"的值是5

⑶9二(T,T,0),北(1,0,-2),近=(2,1,-2),

/..2、AB*AC-1-10

cos<AB,AC>--_-,---_---=-Vp2—xV尸5二r—10,

1—>1

sin<AB,AC11^=—,

qioio

.♦.△W的面积X/ZB/X/Ic/Xsin<AB,ACxV2xV5x^|°=j.

20.解(1)在给定的空间直角坐标系中,2(0,0,2)/(2,2,1),序=(2,2,-

1),"(2,0,2),£(1,2,0),庠=(-1,2,-2),所以庠•亭=-lX2+2X2*-2)X(-1)N.

(2)存在唯一直线MN,使仞归_平面ABCD.

若网比平面ABCD,则而与平面ABCD的一个法向量(0,0,1)平行,又及在线段G尸上,

所以设Ma,a,ni),N(a,a,n),MN=(Q,0,n-ni),n半m.

又因为点M,"分别是线段与线段G厂上的点,

所以瓦防II瓦瓦序II序，

即^享，A^R,QN=tC^F,teR,

(a-2,&%-2)=(—4，2九一24),(a,a,z?-2)-(21,2方，一方)，

fa-2=-A,(门4

a=2尢3

所以<m-2=-2九解得(m=|,所以点M,N的坐标分别是M444

,N333

\a=2t,4