小题中、难档题专练6-外接球-2021届高三三轮复习高考数学模拟考前15天必刷题

小题中、难档题专练6—外接球一．单选题1．生活中有很多球缺状的建筑．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为A． B． C． D．2．在三棱锥中，已知平面，，．若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的半径为A．1 B． C． D．3．将面积为4的矩形沿对角线折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的体积的最小值为A． B． C． D．与的大小有关4．如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为A． B． C． D．5．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．6．已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为A． B． C． D．7．已知四面体中，，且．若四体的外接球体积为，则当该四面体的体积最大时，A．2 B．4 C．6 D．88．已知在中，斜边，，若将沿斜边上的中线折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．二．多选题9．一个圆锥的底面圆周和顶点都在同一个球的球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值可能为A． B． C． D．10．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，，，，过作平面的垂线，且，，与都在平面的同侧，则A．三棱锥的体积为 B． C． D．球的表面积为11．如图，直三棱柱，为等腰直角三角形，，且，，分别是，的中点，，分别是，上的两个动点，则A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与所成角为 D．若为的中点，则四棱锥的外接球表面积为12．如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱锥的外接球，则A．球心到平面的距离是 B．球心到平面的距离是 C．球的表面积是 D．球的体积是三．填空题13．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，二面角的大小为，则该三棱锥外接球的表面积为．14．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵”，其中，，当“阳马”四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为．15．已知三棱锥中，点在平面上的射影与点重合，．若，则三棱锥的外接球的体积为．16．如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为．小题中、难档题专练6—外接球1．解：设小球缺的高为，大球缺的高为，则，由题意可得，，则，，即，，小球缺的体积；大球缺的体积．小球缺与大球缺的体积比为．故选：．2．解：，，，三角形的外接圆直径，，面，，由于三角形为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径，故选：．3．解：设矩形边长为，，可得，矩形的对角线相互平方且相等，折叠后，球心在对角线交点上，且球的半径是对角线的一半，即，那么（当且仅当时取等号），，三棱锥外接球的体积．故选：．4．解：由题意，底面是边长为3的正方形，面，可得，过作垂线，，，，、、分别为线上的三等分点，，，．过作平行线交于，可得；，，中根据勾股定理，可得．，底面外接圆的半径，四棱锥外接球的半径，四棱锥外接球表面积．故选：．5．解：根据题意，平面平面，面面，，平面．，是等腰三角形，是直角三角形，可得；那么平面和平面的外接圆半径分别为，；球心到距离相等于，可得；球的表面积．故选：．6．解：由题意，，，，可得是等边三角形，是直角三角形，将沿折起后，点是的外心，其圆的半径；点是的外心，其圆的半径；是二面角的平面角，即，记该几何体的外接球球心为，连接，，连接，由于四点共圆，，，，在中由余弦定理，可得，在中，，，可得，外接球半径，外接球表面积；故选：．7．解：如图，由，得，，，又，平面，则，又，平面．取中点，可得，则为四面体的外接球的球心，设外接球的半径为，由外接球体积为，得，即．．又，设，，则，即．．当且仅当时上式取等号．故选：．8．解：如图，设点为外接圆的圆心，则三棱锥外接球的球心一定在过点且与平面垂直的直线上，不妨设点为外接圆的圆心，则平面，且，过点作平面，则点为外接圆的圆心，在中，由余弦定理有，，，，延长交于，连接，，为边长为1的正三角形，为中点，，由于平面平面，故四边形为矩形，则，在中，，即，解得，三棱锥的外接球的表面积为．故选：．9．解：不妨设球的表面积为，由圆锥的底面面积与球面面积比值为，可得圆锥的底面积为，则圆锥的底面半径为，由几何体的特征可知，球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形，由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，则圆锥体积较小者的高为：；圆锥体积较大者的高为：．故圆锥体积与球体积的比为：，或，故选：．10．解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足，，，三棱锥的体积为，故正确；，满足，可得，故正确；平面，平面，则，假设，则，与与相交于矛盾，故错误；三棱锥的外接球即长方体的外接球，设其半径为，则，即，可得球的表面积为，故正确．故选：．11．解：对于，当与重合时，与是相交直线，故错误；对于，由已知可得，又平面平面，平面，在矩形中，的面积，又，，故正确；对于，由平面，得，又，，平面，得直线与所成角为，故正确；对于，由题意可知，四边形为矩形，连接，则矩形的外接圆的圆心为的中点，且，过作，垂足为，连接，，则，，，故，就是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，则外接球的表面积为，故正确．故选：．12．解：如图，由，平面平面，且平面平面，平面，取中点，则为三角形的外心，取的中点，连接，则，可得平面，设的外心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，，则平面，底面，可得四边形为矩形，则到平面的距离等于，故错误；在中，由余弦定理可得，则，设三角形外接圆的半径为，可得，又，到底面的距离为，故正确；则三棱锥外接球的半径，则球的表面积是，故正确；球的体积为，故错误．故选：．13．解：如图，取中点，则为三角形的外心，取等边三角形的外心，则平面，又二面角的大小为，即平面平面，且平面平面，平面，则，故为三棱锥的外接球的球心，则外接球的半径，则该三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．14．解：由已知可得，平面，则，解得．此时“塹堵”即三棱柱的外接球的直径，三棱柱的外接球的体积为．故答案为：．15．解：如图，设的外接圆的圆心为，半径为，三棱锥的外接球的球心为，半径为，则平面，故，在中，由正弦定理得，故，则，故球的体积为．故答案为：．16．解：法一：由题意知为正三角形，取的中点，的中心，记，连接，，过，分别作平面与平面的垂线，两垂线交于点，则点为四棱锥的外接球球心．由题意知，，所以四棱锥的外接球半径，所以四棱锥的外接球的体积．法二：连接，，，，记，，连接，易知四棱锥的外