排列组合专题之排列组合二项式定理（2）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习排列组合专题之排列组合、二项式定理②教学目标（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．

（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．

（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．

（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．知识梳理1：分类计数原理和分步计数原理（1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。(2)分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。2：排列的计算：从n个不同元素中任取m个元素的排列的个数P=n（n－1）（n－2）…（n－m+1）=.P=n（n－1）（n－2）…3·2·1=n!.规定0！=13：组合的计算：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.组合数公式C=.组合数的两个性质：（1）C=C；（2）C=C+C（口诀：上取大，下加一。证明方法：1.公式法。2.构造模型，从n+1个球中取出m个球）.4.二项式定理：1.概念二项式定理：通项公式，r=0，1，2，…，n2.二项式系数的性质：（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，；（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n是偶数时，中间一项最大；当n是奇数时，中间两项，相等，且为最大值；（3）5.常用方法：在处理排列组合问题时遵循以下原则：（1）特殊元素优先安排（2）合理分类与准确分步（3）排列、组合混合问题先选后排（4）相邻问题捆绑处理（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化.二项式定理的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式,；（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性其中，注意区分系数与二项式系数，理解二项式定理为恒等式，正确采用赋值求解。典例精讲类型一：会根据两个原理解决有关分配决策的问题（要正确区分分类和分步）例1.（★★）5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有（）A.15种B.8种C.53种D.35种【答案】D【解析】本题考查分步计数原理，每位考生都有三种选择，所以3×3×3×3×3=35巩固练习：1.（★★）四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，则不同的分配方案有_______种．【答案】36【解析】由条件知，必须有两个医生在同一医院工作，所以先选取好被捆绑的对象C，然后进行全排列，故C×P=362.（★★★）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种【答案】5040【解析】CCC=5040类型二：会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题例2.（★★★）不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种【答案】C【解析】先捆绑后插空，PPP=24巩固练习：1.（★★★）8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为（） ．； ．； ．； ．．【答案】A【解析】易错B，忽视了插空时有顺序之分。2.（★★）6个同学排成一排，甲乙两人必在一起的不同排法有（）（A）720种（B）360种（C）240种（D）120种【答案】C【解析】采用捆绑法，PP=240。类型三：会求某些元素按指定顺序排列的问题例3.（★★★）七个人排成一行，则甲在乙左边（不一定相邻）的不同排法数有_________种．【答案】2520【解析】考虑为定序排列问题，甲在乙左边和乙在甲左边的排法数应相等，故=2520巩固练习：1.（★★★）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_______种不同的方法（用数字作答）.【答案】1260【解析】由于同色球不区分，若直接考虑排列，难以说清楚。故考虑为九球染色问题，CCC=1260类型四：其它有限制条件的排列组合问题(要注意使用最基本的方法------列举法)例4：（★★★★）5，6，7，8四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为（）．24．18．12．6【答案】6【解析】此题学生往往容易生搬硬套排列组合公式导致错误，若是采用列举法，不难发现所有情况列举完并不难，所以在高考中当不确定当前的情况采用何种技巧时，往往列举能事半功倍，当然对于更复杂一些的问题，在列举前进行合理分类也是必不可少的。解法二：自动定序问题，只需从四个数从选取两个作为第三行的元素，剩余两个自动作为第三列元素，且顺序自定。故答案C=6例5（★★★★）：名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起(4)全体排成一行，男、女各不相邻(5)全体排成一行，男生不能排在一起(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变(7)排成前后二排，前排3人，后排4人(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人【答案】（1）2160（2）3720（3）720（4）144（5）1440（6）849（7）5040（8）720【解析】此题可以作为前面例题和方法讲解完毕后的知识检测，引导学生使用前述例题中的思想方法，并进行总结。(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择有P种，其余6人全排列，有P种由乘法原理得PP=2160种(2)位置分析法先排最右边，除去甲外，有P种，余下的6个位置全排有P种，但应剔除乙在最右边的排法数PP种则符合条件的排法共有PP－PP=3720种(3)捆绑法将男生看成一个整体，进行全排列再与其他元素进行全排列共有PP=720种(4)插空法先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有PP=144种(5)插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有PP=1440种(6)定序排列第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此P=N×A，∴N==840种(7)与无任何限制的排列相同，有P=5040种(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有P种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有PP最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可共有P×P×P=720种类型五：会将所给的二项式展开或合并例6.（★★★）计算:＝___________.【答案】【解析】由二项式定理可知：类型六.会求二项式的展开式的指定项（要注意区分“第项”、“第项的系数”、“第项的二项式系数”等概念的不同;会灵活运用二项式系数的性质解题）例7.（★★★）在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展开式中，x2项的系数是.（用数字作答）.【答案】35【解析】C+C+C+C+C=C+C+C+C+C=C,这里需要用到组合数公式C=C+C类型七：会求展开式的系数和，能正确使用赋值法解题例8（★★★）.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A.