任意角、弧度制及任意角的三角函数 高考数学一轮复习

第四单元三角函数、解三角形第20课时任意角、弧度制及任意角的三角函数第一部分大单元过关01知识体系02考情回顾03课前自学目录04课堂导学【单元概述】本单元学习了三角函数的概念和性质（单调性，周期

性，奇偶性，最值），三角函数的图象及变换，三角恒等变换（主要是

化简求值），正、余弦定理，运用三角函数模型解决一些实际问题.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷2023第8题三角恒等变换第15题余弦函数图象与性质，零点个数问题第17题正弦两角和（差）式，正弦定理的应用第7题三角恒等变换第16题三角函数的图象和性质第17题余弦定理四

省第11题三角函数定义的使用及终边相同的角的关

系第18题三角函数的图象和性质2022第6题三角函数的图象和性质第18题正弦定理、三角恒等变换、诱导公式、

三角函数的最值第6题三角恒等

变换第9题三角函数的图象和性质及导数第18题正弦定理、余弦定理年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷适应性卷2021第4题三角函数的单调性第6题三角恒等

变换第10题三角与向量的综合第19题正弦定理、余弦定理第18题正弦定

理、余弦定理八

省第12题三角函数的周期性、最值、单调性第15题三角函数的周期性第18题余弦

定理的应用2020第10题三角函数的图象与性质第15题解三角形的综合应用第17题正弦定

理、余弦定理第11题三角函数

的图象与性质第16题解三角形

的综合应用第17题正弦定

理、余弦定理山

东第14题三角

恒等变换、

诱导公式第18题余弦

定理的应用高考预测1.重点：三角函数的概念和性质（单调性、周期性、奇

偶性、最值），三角函数的图象及变换，三角恒等变换

（主要是化简求值）.2.热点：三角函数模型的应用，正、余弦定理及其应用.3.关注点：①

掌握公式化简求值、三角恒等变换以及与其他知识的交汇等.

②

注重方程的思想、函数的思想、数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想等重要的数学思想方法的渗透和运用.【课时目标】了解任意角的概念和弧度制；理解弧度与角度的互化以

及任意角的正弦、余弦、正切的定义.【考情概述】任意角、弧度制及任意角的三角函数是新高考考查的重

点内容之一，常以选择题或填空题的形式进行考查，时有交汇，难度较

易，属于高频考点.

知识梳理1.任意角（1）

角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.（2）

角的分类：正角、负角和零角：一条射线绕其端点按

⁠方向旋转形成的角

叫做正角，按

⁠方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没

有做任何旋转，那么称它形成了一个

⁠.象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与

x

轴的非负半轴重合，那

么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在

坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.（3）

与角α的终边相同的角的集合

S

＝

⁠

⁠.逆时针顺时针零角{β｜β＝α＋

k

·360°，

k

∈Z}

2.弧度制的定义和公式（1）

定义：长度等于

的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的

角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.（2）

公式（在半径为

r

的圆中）：角α的弧度数公式｜α｜＝

（弧长用

l

表示）角度与弧度的换算①1°＝

≈0.01745

rad

；②1rad

＝

≈57.30°

弧长公式

l

＝

⁠扇形的面积公式

S

＝

lr

＝

α

r

2

，α∈（0，2π）半径长

｜α｜

r

y

x

常用结论1.关于终边相同的角的度数的三个常见结论：（1）

终边相同的角的度数相差360°的整数倍；（2）

终边在同一条直线上的角的度数相差180°的整数倍；（3）

终边在相互垂直的两条直线上的角的度数相差90°的整数倍.2.对于已知角α，判断角α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函

数的定义，总结为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.

4.三角函数的几何表示：三角函数线可以看成是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在

x

轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是

（1，0）.如图所示的有向线段

MP

，

OM

，

AT

分别叫做角α的正弦线、

余弦线、正切线.

A.

B.

C.

D.

3.与2023°角的终边相同的最小正角是

⁠.✕✕✕√B223°

4.（RA一P182练习第4题）对于①sin

θ＞0，②sin

θ＜0，③cos

θ＞0，

④cos

θ＜0，⑤tanθ＞0与⑥tanθ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）θ为第一象限角的充要条件是

⁠；（2）θ为第二象限角的充要条件是

⁠；（3）θ为第三象限角的充要条件是

⁠；（4）θ为第四象限角的充要条件是

⁠.①③⑤

①④⑥

②④⑤

②③⑥

5.已知角α的终边经过点

P

（－2

sin

30°，－2

cos

30°），则

sin

α

＝

⁠.

3

（3）

已知角α的终边在如图所示的涂色部分表示的范围内（不包括边

界），则角α用集合可表示为

⁠.

总结提炼

1.表示终边落在直线上的角的集合的步骤（1）

写出在0°～360°范围内相应的角；（2）

由终边相同的角的表示方法写出角的集合；（3）

根据条件，能合并的尽量合并，确保结果简洁.2.象限角的判定方法（1）

利用终边的位置判断：在平面直角坐标系中，作出已知角并根

据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；（2）

利用化归思想判断：将角转化到0°～360°范围内，在平面直

角坐标系中，找出与已知角的终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.3.分角、倍角所在象限的判定思路（1）

已知角α的终边所在的象限，确定角

（

n

＞1，

n

∈N*）的终边

所在的象限.①

分类讨论法：要对

k

的取值分以下几种情况进行讨论，

k

被

n

整除；

k

被

n

除余1；

k

被

n

除余2；…；

k

被

n

除余

n

－1.②

几何法：依据数形结合的思想，简单直观.（2）

已知角α的终边所在的象限，确定角

n

α（

n

＞1，

n

∈N*）的终边

所在的象限，可依据角α的大小范围求出角

n

α的大小范围，再直接转

化为终边相同的角即可.注意不要漏掉角

n

α的终边在坐标轴上的情况.[对点训练]1.下列说法错误的是（

A

）A.－

是第二象限角B.

是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角A

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角D

考点二

扇形的弧长与面积公式例2（1）

已知扇形的周长是4，则当扇形的面积最大时，扇形的圆心

角的弧度数是（

A

）A.2B.1C.

D.3

A（2）

（多选）已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则下列结论正确

的是（

ABC

）A.扇形的半径可能为2cmB.扇形的半径可能为1cmC.圆心角的弧度数可能为1D.圆心角的弧度数可能为2ABC

总结提炼

1.利用弧度制下扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位须是

弧度.2.在解决扇形的弧长和面积问题时，要利用圆心角所在的三角形，同

时注意圆心角的弧度须小于2π.

[对点训练]3.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，则当大轮转动

一周时，小轮转动的角度是

°，即

rad.如果大轮的转速

为180r/min，小轮的半径为10.5cm，那么小轮圆周上一点每秒转过的弧

长为

⁠cm.864

151.2π

总结提炼

1.已知角α的终边在某条直线上，求角α的三角函数值时，有以下两种

常用方法：（1）

先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用相关定

义求出相应角的三角函数值；（2）

在角α的终边上任选一点

P

（

x

，

y

），点

P

到原点的距离为

r

（

r

＞0），则

sin

α＝

，

cos

α＝

.2.在使用三角函数的定义时，须注意

r

是正数，因此对

x

2＋

y

2开方

时，要注意结果为正.

考向2

三角函数值符号的判定例4（1）

若α为第四象限角，则下列结论正确的是（

D

）A.cos

2α＞0B.cos

2α＜0C.sin

2α＞0D.sin

2α＜0

D

{－1，3}

[对点训练]6.若角α满足

sin

α·

cos

α＜0，

cos

α－

sin

α＜0，