2024年山东省各地市中考数学一模压轴题

第=page3232/=sectionpages8787页2024年山东省各地市中考数学一模压轴题精选温馨提示：本卷共50题，题目均选自2024年山东省各地市一模真题。本卷分为几何和代数两部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。本卷难度较大，适合基础较好的同学。第一部分代数部分1.(2024·山东省德州市·一模)把抛物线y=ax2-2ax+3(a>0)沿直线y=12x+1方向平移A.2 B.15 C.14 2.(2024·山东省菏泽市·一模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)经过点(1,0)，且0<a<c，下列结论：①2a+b<0；②当x>1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2A.0 B.1 C.2 D.33.(2024·山东省济南市·一模)在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤A.1≤m≤3 B.3≤m4.(2024·山东省青岛市·一模)已知：平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，对称轴为直线x=-1，且经过点(-3,0)，则下列结论正确的有(

)

(1)a-b+c<0；(2)4a2-2bc>0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.(2024·山东省临沂市·一模)新定义：在平面直角坐标系中，对于点P(m,n)和点P'(m,n')，若满足m≥0时，n'=n-4；m<0时，n'=-n，则称点P'(m,n')是点P(m,n)的限变点．例如：点P1(2,5)A.-2≤n'≤2 B.1≤6.(2024·山东省聊城市·一模)关于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：

①它的图象与x轴有两个公共点；

②如果当x≤2时，y随x的增大而减小，则m=2；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；

④如果当x=1时的函数值与x=2021A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.(2024·山东省滨州市·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)，顶点为M(-1,m)，且抛物线与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-3)之间(不含端点)，小明同学得出了下列结论：①当-3≤x≤1时，y≤0

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

8.(2024·山东省淄博市·一模)如图，正方形ABCD中，AB=4cm，动点P，Q分别从A，D同时出发，点P以每秒2cm的速度沿A→B→C运动，点Q以每秒1cm的速度沿D→C运动，P点到达点C时运动停止.设P点运动x(秒)时，△APQ的面积y(cm2

A. B. C. D.9.(2024·山东省菏泽市·一模)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(6,0)，顶点坐标为(2,-4)，结合图象分析如下结论：①abc>0；②当0<x<3时，y随x的增大而增大；③A.1个

B.2个

C.3个

D.4个10.(2024·山东省滨州市·一模)在关于x1，x2，x3的方程组x1+x2=a1x2+11.(2024·山东省济宁市·一模)观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n个数记为an，且满足1an+1

12.(2024·山东省济宁市·一模)如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上，顶点D在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，若S△ABC=4

13.(2024·山东省济宁市·一模)如图，已知抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=-1，直线l//x轴，且交抛物线于点A.b2>-8a

B.若实数m≠-1，则a-b<a

14.(2024·山东省临沂市·一模)如图1，动点P从A点出发，沿着矩形ABCD的边，按照路线A→B→C→D→A匀速运动一周到A点停止，速度为1cm/s.AP的长y(cm)与运动时间t(s)的关系图象如图15.(2024·山东省聊城市·一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为(1,1)，AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、

16.(2024·山东省聊城市·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(0,7)，点B的坐标是(3,7)，将△AOB向右平移到△CED的位置，点C、E、D依次与点A、O、B对应点，DF=34EF，若反比例函数y=kx(k≠

17.(2024·山东省淄博市·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-4,0)，B(1,0)，交y轴于C点，且OC=2OB．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．

(3)在抛物线上是否存在异于B的点P

18.(2024·山东省聊城市·一模)若直线y=x-5与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，点B，且与x轴交于点C(-1,0)．

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点P为直线AB下方抛物线上一点，过点P作直线AB的垂线，垂足为E，作PF/​/y轴交直线AB于点F，求线段PF最大值及此时点P的坐标；

(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y'，Q是新抛物线y'与x轴的交点(

19.(2024·山东省济宁市·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A(-6,0)、B(2,0)两点，交y轴于点C(0,6)，连接AC．

(1)求抛物线表达式；

(2)点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，点P和点Q同时出发，连接PQ，设点P和点Q的运动时间为t

20.(2024·山东省菏泽市·一模)如图所示，抛物线顶点坐标为点C(1,4)，交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B．

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

(3)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点P，使S

21.(2024·山东省临沂市·一模)科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力)，在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1(米)与小钢球运动时间x(秒)之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2(米)与它的运动时间x(秒)之间的函数关系如图中抛物线所示．

(1)直接写出y1与x之间的函数关系式；

(2)求出y2与x

22.(2024·山东省济宁市·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(2,-2)，与x轴的交点为A和B(其中点A与原点重合)，将抛物线y=ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1，A1为点M，A旋转后的对应点．

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

(2)求证：点

23.(2024·山东省德州市·一模)以x为自变量的两个函数y与g，令h=y-g，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数y=x2与g=2x-1它们的“相关函数”为h=y-g=x2-2x+1.h=x2-2x+1=(x-1)2≥0恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，y≥g恒成立．

(1)已知函数y=x2+mx+n与函数g=4x+1相交于点(-1,-3)、(3,13)，求函数y与g的“相关函数”h；

(2)已知以x为自变量的函数y=3x

24.(2024·山东省济宁市·一模)实践探究题

【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．

例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2/​/l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．

【应用】

(1)如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A=90°，AB=AC，点D为AB边上一点，过点D作DE/​/BC交AC于点E.若AB=6，AD=4，则DE与BC之间的距离是______；

(2)如图3，已知直线l3：y=-x+4与双曲线C1：y=kx(x>0)交于A(1,m)与B两点，点

第二部分几何部分25.(2024·山东省临沂市·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E.若AD=3，BDA.5

B.6

C.3

26.(2024·山东省济南市·一模)如图，在▱ABCD中，BC=2AB=8，连接BD，分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F，作直线EF交AD于点I，交BC于点H，点H恰为BC的中点，连接AH，则AH

A.43 B.6 C.7 27.(2024·山东省菏泽市·一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D点在边BC上，BDCD=25，E为AB边上一点，当A.59

B.58

C.4728.(2024·山东省济宁市·一模)如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=9.在边AC，AB上分别取点D和点E，使DC=3，∠BDE=45A.4105

B.42

C.29.(2024·山东省聊城市·一模)如图，在菱形ABCD中，分别以C，D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，连接EF，若直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M，连接BM.有以下四个结论：①∠ABC=60°，②如果AB=2，那么BM=

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个30.(2024·山东省德州市·一模)如图，正方形ABCD中，AB=4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为

A.25+2 B.92 C.

31.(2024·山东省济宁市·一模)如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E-O-F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△A. B.

C. D.32.(2024·山东省济宁市·一模)如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC=60°，如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕.设BE=x(0<x<2)，给出下列判断：

①当x=1时，DP的长为3；

②EF+GH的值随x的变化而变化；

③六边形AEFCHGA.①② B.①④ C.②③④ D.①③④

33.(2024·山东省青岛市·一模)如图，△ABC中，∠C=90°，△ABC的面积为12，设边BC=x，边AC=y，请写出y与x的函数关系式______；若△ABC的边AC不大于边BC的

34.(2024·山东省济宁市·一模)如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6,8)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点.若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为______

35.(2024·山东省淄博市·一模)如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=1.2m，高AD=0.8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，则该正方形的边长是

36.(2024·山东省菏泽市·一模)如图，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，则线段AT长度的取值范围为______．

37.(2024·山东省德州市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE/​/BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC

38.(2024·山东省临沂市·一模)利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=4，b=2，则矩形ABCD的面积是______．

39.(2024·山东省德州市·一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=4x(x>0)的图象经过平行四边形OABC的顶点A，将该反比例函数图象沿y轴对称，所得图象恰好经过BC中点M，则平行四边形O

40.(2024·山东省青岛市·一模)如图，在平行四边形ABCD中，AD=6，BD=8，AD⊥DB，点M、N分别是边AB、BC上的动点(不与A、B、C重合)，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为______41.(2024·全国·一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为

42.(2024·山东省淄博市·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，AC为直径，E为AD一动点，连结BE交AC于点G，交AD于点F，连结DE．

(1)设∠E为α，请用α表示∠BAC的度数．

(2)当BE⊥AD时，

①求证：DE=BG．

43.(2024·山东省德州市·一模)【问题切探】

(1)数学课上.老师给出如下信息：

如图1.AD//BC，BE平分∠ABC，且AE⊥BE，垂足为E，连接DE并延长，交BC于点F．

①根据以上信息，通过观察，猜想，可以得到DE与EF的数量关系为：______；

②小亮同学从“BE平分∠ABC”和“AE⊥BE”这两个条件出发.思到了如下证明思路：如图2.延长AE交BC于点M，构造出一对特殊位置的全等三角形，结论得以证明．

访你结合图2.按照小亮的思路写出证明过程．

【类比迁移】

(2)如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC.与BC交于点E，过点B作BF⊥AD于点F，若AE=6.求BF的值．

【拓展应用】

(3)如图4，在△ABC中，∠ABC=90°，

44.(2024·山东省临沂市·一模)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线.如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF，GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB，AC，BC于点E，F，G，H．

猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由；

问题解决：(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点

45.(2024·山东省青岛市·一模)已知：如图，四边形ABCD是边长为10cm的菱形，∠DAB=60°.动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，连接并延长EQ，与CB延长线相交于点M，连接DE.设运动的时间为t(s)，0<t<5．

根据题意解答下列问题：

(1)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形AQPE是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(2)用含t的代数式表示

46.(2024·全国·一模)(1)问题呈现：

如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.易知BDCE=______．

(2)类比探究

如图2，△ABC和△ADE都是Rt△，∠ABC=∠ADE=90°，且ABBC=ADDE=34.连接BD，CE，求BDCE的值；

(3)拓展提升：

如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°

47.(2024·山东省菏泽市·一模)在一次数学研究性学习中，小亮将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合，如图1，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4cm，并进行如下探究活动．

活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，如图2．

【思考发现】

(1)图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由；

(2)当纸片DEF平移到某一位置时，小亮发现四边形ABDE是矩形，如图3，求此时AF的长；

活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针旋转某一角度，连接OB，OE，如图4．

【问题探究】

48.(2024·山东省菏泽市·一模)综合与实践

问题情境：

如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M是线段OB上一点，连接AM．

操作探究：

将△MAB沿射线BA平移得到△M'A'B'，使点M的对应点M'落在对角线AC上，M'A'与AD边交于点E，连接M'D，A'D．

(1)如图2，当M是OB的中点时，求证：AA'=AB'．

(2)如图3，当M是OB上任意一点时，试猜想

49.(2024·山东省聊城市·一模)综合实践，

问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究.如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，分别取AB，AC的中点D，E，作△ADE.如图2所示，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．

(1)探究发现

旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

(2)性质应用

如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．

(3)延伸思考

如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，分别取AB，BC的中点D，E.作△

50.(2024·山东省济宁市·一模)【问题情境】

如图1，将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．

【操作猜想】

(1)如图2，当点B'与点D重合时，EF与BD交于点O，求证：四边形BEDF是菱形．

【拓展应用】

(2)在矩形纸片ABCD中，若边AB=6，BC=63．

①如图3，请判断A'B'与对角线AC的位置关系为______；

②参考答案1.【答案】C

【解析】解：对于直线y=12x+1，

令y=0，则x=-2；

令x=0，则y=1，

∴直线y=12x+1经过点A(-2,0)，B(0,1)，如图：

∴OA=2，OB=1，

∴AB=OA2+OB2=22+12=5，

∵y=ax2-2ax+3=a(x2-2x)+3=a(x-1)2+3-a，

∴抛物线的顶点坐标为(1,3-a)，

∵把抛物线的顶点(1,32.【答案】C

【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)，

∴a+b+c=0，

∵a<c，

∴a+b+a<0，即2a+b<0，本小题结论正确．

②∵a+b+c=0，0<a<c，

∴b<0，

∴对称轴x=-b2a>1，

∴当1<x<-b3.【答案】C

【解析】解：∵二次函数y=ax2+6x-254(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，

设完美点的坐标为(n,n)，

∴方程n=an2+6n-254即an2+5n-254=0有两个相等的实数根，

∴△=52-4a×(-254)=0，

∴a=-1，

∴二次函数y=ax2+64.【答案】D

【解析】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x=-1，且图象经过点(-3,0)，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，

∴x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故正确；

(2)∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2-4ac>0，

∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1，

∴b=2a，

∴4a2-2bc>0，故正确；

(3)∵抛物线与x轴的交点为(-3,0)、(1,0)，

∴将抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位时，它会过原点；故正确；

(4)∵抛物线开口向上，

∴a>0，

∵抛物线与x轴的交点为(-3,0)、(1,0)，

∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，

∴c<0，

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，新定义问题，解题的关键是根据限变点的定义得到n'关于m的函数关系式．

根据新定义得到当m≥0时，n'=-m2+4m+2-4=-(m-2)2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n'≤2；当m<0时，n'=m2-4m-2=(m-2)2-6，在-1≤m<0时，得到-2≤n'≤3，即可得到限变点P6.【答案】B

【解析】解：①∵Δ=(-2m)2-4×1×(-3)=4m2+12>0，

∴二次函数y=x2-2mx-3的图象与x轴有两个公共点，说法①正确；

②∵当x≤2时，y随x的增大而减小，

∴--2m2=m≥2，说法②错误；

③∵二次函数y=x2-2mx-3的图象向左平移3个单位后过原点，

∴点(3,0)在二次函数y=x2-2mx-3的图象上，

∴9-6m-3=0，

∴m=1，说法③错误；

④∵当x=1时的函数值与x=2021时的函数值相等，

∴二次函数y=x2-2mx-3的图象的对称轴为直线x=1009．

∵当x=0时，y=x7.【答案】B

【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0)，顶点为M(-1,m)，

∴抛物线的对称轴为直线x=-1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，

∵抛物线的开口向上，

∴当-3≤x≤1时，y≤0；故①正确．

②将(-3,0)，(1,0)代入y=ax2+bx+c，得9a-3b+c=0a+b+c=0，

解得b=2ac=-3a，

∴y=ax2+2ax-3a，

∴B(0,-3a)，

∵点B在(0,-2)与(0,-3)之间(不含端点)，

∴-3<-3a<-2，

∴23<a<1；故②错误；

③设抛物线对称轴交x轴于H，如图，

则H(-1,0)，

∴AH=-18.【答案】B

【解析】解：当点P在AB上，即0≤x≤2时，如图，

此时，AP=2x cm，

∴y=S△APQ=12AP⋅BC=12⋅2x⋅4=4x(cm2)；

当点P在BC上，即2<x≤4时，如图，

此时，BP=(2x-4)cm，DQ=x cm，

∴CP=(8-2x)9.【答案】B

【解析】解：①∵函数开口方向向上，

∴a>0；

∵对称轴在y轴右侧，

∴a、b异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

∴c<0，

∴abc>0，

故①正确；

②∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2

∴当x>2时，y随x的增大而增大；

故②错误；

③∵图象与x轴交于点A(6,0)，对称轴为直线x=2，

∴图象与x轴的另一个交点为(-2,0)，

∴a-b+c<0，a+b+c<0，

∴(a-b+c)(a+b+c)>0，即(a+c)2-b2>0；

故③正确；

④∵图象对称轴为直线x=2，

∴-b2a=2，

∴b=-4a，

∴b2-16a=16a2-16a，

∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象顶点坐标为(2,-4)，

∴4a+2b+c10.【答案】x2【解析】解：x1+x2=a1①x2+x3=a2②x3+x1=a3③

∵②-③得：

x2-x1=a2-a3，a2>a3，

∴x2>x1，

∵①-②得：

x1-x3=a1-a2，a1>a2，

∴x1>x3，

那么将x1，x2，x3从大到小排起来应该是x2>x1>x11.【答案】13035【解析】解：由题意得：a1=2=21，a2=12=24，a3=27，

∵1an+1an+2=2an+1，

∴1a2+1a4=2a3，

∴2+112.【答案】24

【解析】解：∵S△ABC=4，

∴12×BC×AB=4，

∴BC2=4，

∴小正方形边长为2，

∴AB=4，BC=AF=1，DF=6，AC=25，

如图，作DE⊥x轴，垂足为点E，

∵∠BAF=90，

∴∠OAF=∠BCA，

∴△ABC∽△FOA，

∴ACAF=BCAO=ABOF，即252=2AO=13.【答案】C

【解析】解：根据函数图象可知a>0，根据抛物线的对称轴公式可得x=-b2a=-1，

∴b=2a，

∴b2>0，-8a<0，

∴b2>-8a.故A正确，不符合题意；

∵函数的最小值在x=-1处取到，

∴若实数m≠-1，则a-b-2<am2+bm-2，即若实数m≠-1，则a-b<am2+bm.故B正确，不符合题意；

令x=0，则y=-2，即抛物线与y轴交于点(0,-14.【答案】5cm【解析】解：根据题意，结合函数图象，可知：

当0≤x<4时，点P在AB上运动；

当x=4时，点P运动到点B，即AB=1×4=4(cm)；

由图知，点P在AB，CD上运动时间均为4s，则在BC上运动了3s，

即由A到C运动了7s；

当4≤x<7时，点P在BC上运动；

当x=7时，点P运动到点C，即CB=1×(7-4)=3(cm)15.【答案】(1,2025)

【解析】解：观察，找规律：A(1,1)，A1(2,0)，A2(0,-2)，A3(-3,1)，A4(1,5)，A5(6,0)，A6(0,-6)，A7(-7,1)，A8(1,9)，…，

∴A4n=(1,4n+1)(n为正整数)，A4n+1=(4n+2,0)(n为自然数)，A4n+2=(0,-(416.【答案】16

【解析】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，

根据题意可知，AC=OE=BD，AB=CD=EQ=3，DQ=AO=7，

设AC=OE=BD=a，

∴四边形ACEO的面积为7a，

∵FG⊥x轴，DQ⊥x轴，

∴FG//DQ，

∴△EDQ～△EFG，

∵DF=34EF17.【答案】解：(1)∵B(1,0)，OC=2OB，

∴C(0,-2)，

设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1)，

把C(0,-2)代入得a⋅4⋅(-1)=-2，解得a=12，

∴抛物线的解析式为y=12(x+4)(x-1)，即y=12x2+32x-2；

(2)AB=1-(-4)=5，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

把B(1,0)，C(0,-2)代入得k+b=0b=-2，解得k=2b=-2，

∴直线BC的解析式为y=2x-2，

设D(m,2m-2)，

∵△ABD为以AB为腰的等腰三角形，

∴BD=BA=5或AD=AB=5，

当BD=BA时，即(m-1)2+(2m-2)2=52，解得m1=1+5，m2=1-5，此时D点坐标为(1+5,25)，(1-5,-25)，

当AD=AB时，即(m+4)2+(2m-2)2=52，解得m1=1(舍去)，m2=-1，此时D点坐标为(-1,-4)，

综上所述，满足条件的D点坐标为(1+5,25)，【解析】(1)先确定C(0,-2)，设交点式y=a(x+4)(x-1)，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；

(2)先利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=2x-2，设D(m,2m-2)，讨论：当BD=BA时，利用两点间的距离公式得到(m-1)2+(2m-2)2=52，当AD=AB时，利用两点的距离公式得到(m+4)2+(2m-2)2=52，然后分别解方程求出m即可得到满足条件的D点坐标；

(3)先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，由于△ACO∽△ABC，△APQ18.【答案】解：(1)把x=0代入y=x-5得：y=-5，

∴A(0,-5)，

把y=0代入y=x-5得：0=x-5，

解得：x=5，

∴B(5,0)，

∴函数的表达式为：y=a(x-5)(x+1)=a(x2-4x-5)，

把A(0,-5)代入得：

-5a=-5，

解得：a=1，

故该抛物线得表达式为y=x2-4x-5；

(2)延长PF交BC于点H，如图1，

设：P(m,m2-4m-5)，则F(m,m-5)，

∴PF=m-5-m2+4m+5=-m2+5m=-(m-52)2+254，

∵-1<0，

∴当m=52

时，PF有最大值254，

此时，点P的坐标为(52,-354)；【解析】(1)先求出点A和点B的坐标，根据点B和点C的坐标得出y=a(x-5)(x+1)=a(x2-4x-5)，再将点A的坐标代入，求出a的值即可；

(2)延长PF交BC于点H，设P(m,m2-4m-5)，则F(19.【答案】解：(1)直接利用待定系数法由题意得：

0=36a-6b+c0=4a+2b+c6=c，

解得：a=-12b=-2c=6，

∴y=-12x2-2x+6．

(2)如图，过点P作PH⊥CO于H，

∵A(-6,0)、C(0,6)，

∴OA=OC=6，

又∵∠AOC=90°，

∴∠ACO=45°，

∵PH⊥OC，

∴PH=CH，

∴CP=2t,OQ=t，

又∵PH=CH，

∴PH=CH=t，CQ=6-t，

∴S△CPQ=12×CQ×PH

=12×(6-t)×t

=-12×(t-3)2+92，

∴当t=3时，S△CPQ的最大值为92，

∴OH=6-3=3，

∴点P的坐标为(-3,3)．

∴S△CPQ的最大值为92点P的坐标(-3,3)．

(3)如图，当点M在AC的下方时，设CM与x轴的交点为H，

∴∠ACM=15°，∠ACO=45°，

∴∠OCH=30°，

【解析】(1)直接利用待定系数法即可求解析式；

(2)先求出CQ与PH的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；

(3)分两种情况讨论，先求出CM的解析式，联立方程组可求解．

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵抛物线顶点坐标为点C(1,4)，且经过点A(3,0)，

设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+4，

把A(3,0)代入解析式y=a(x-1)2+4，

解得：a=-1，

∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4，

∴抛物线与y轴的交点坐标B(0,3)，

由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y1=x+3；

(2)∵点C(1,4)，点C在抛物线上，点D在直线上，

∴当x=1时，分别代入y=-(x-1)2+4和y1=-x+3得y【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)当x=1时，分别代入y=-(x-1)2+4和y1=-x+3得y=4，y1=2，得到CD=2，进而求解；

(3)21.【答案】解：(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，

∵函数图象过点(0,30)和(1,35)，

则k+b=35b=30，

解得：k=5b=30，

∴y1与x之间的函数关系式为y1=5x+30；

(2)∵x=6时，y1=5×6+30=60，

∵y2的图象是过原点的抛物线，

设y2=ax2+bx，

∴点(1,35)，(6,60)在抛物线y2=ax2+bx上，

∴a+b=3536a+6b=60,

解得：a=-5b=40，

∴y2=-5x2+40x，

答：y2与x的函数关系式为y2=-5x2+40x；

(3)设小钢球和无人机的高度差为y米，

由-【解析】(1)先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；

(2)用待定系数法求函数解析式即可；

(3)当1<x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当22.【答案】(1)解：由题意得，抛物线的表达式为：y=a(x-2)2-2，

将点O的坐标代入上式得：0=a(0-2)2-2，

解得：a=12，

则抛物线的表达式为：y=12(x-2)2-2=12x2-2x；

(2)证明：由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为：y=-x，

由题意得，点A1(4,-4)，

则x=4时，y=-x=-4，

即点A1在直线AM上，

故点A，M，A1在同一条直线上；

(3)解：存在，理由：

E为线段AM的中点，则点E(1,【解析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)求出直线AM的表达式为：y=-x，则x=4时，y=-x=-4，即可求解；

(3)当23.【答案】解：(1)∵已知函数y=x2+mx+n与函数g=4x+1相交于点(-1,-3)、(3,13)，代入得：

(-1)2-m+n=-332+3m+n=13，

解得m=2n=-2，

∴函数y=x2+2x-2，

∴h=y-g=(x2+2x-2)-(4x+1)=x2-2x-3；

(2)∵函数y=3x+t与g=x-2，

∴相关函数h=y-g=2x+t+2，

∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h>0恒成立，

∴h=2x+t+2>0(x>1)恒成立，

当x=1时，w=2×1+t+2=t+4，

当x>1时，t+4≥0恒成立，所以t≥-【解析】(1)利用待定系数法求得y=x2+2x-2，进而得到h=y-g=(x2+2x-2)-(4x+1)=x2-2x-3；

(2))首先推导出相关函数h=y-g=2x+t+2，进而得到当x>1时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”h>0恒成立，h=2x+t+2>0(x>1)恒成立，当x=124.【答案】解：(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠B=45°，

∵DH⊥BC，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴DH=22BD，

∵AB=6，AD=4，

∴BD=AB-AD=6-4=2，

∴DH=22×2=2；

故答案为：2；

(2)把A(1,m)代入y=-x+4中，得：m=-1+4=3，

∴A(1,3)，

把A(1,3)代入y=kx，得：3=k1，

∴k=3，

∴双曲线C1的解析式为y=3x，

联立，得：-x+4=3x，

即x2-4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

∴B(3,1)，

∴AB=(1-3)2+(3-1)2=22；

如图，作FG/​/AB，且FG与双曲线有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，

则-x+b=3x，

整理得：x2-【解析】(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形性质即可求得答案；

(2)先求得点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数解析式，联立方程组求得点A、B的坐标，再运用两点间距离公式求得AB；作FG/​/AB，且FG与双曲线y=3x只有一个交点，则x2-bx+3=0，利用根的判别式求得b，进而得出点K的坐标，即可求得OK；

(3)如图，作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥l4，NH⊥l4，垂足为25.【答案】C

【解析】解：由作法得CE⊥AB，BE=DE，则∠AEC=90°，

∵AD=3，BD=2，

∴AE=4，BE=1，

AC=AB=BE+AE=4+1=5，

在Rt△ACE中，CE=26.【答案】A

【解析】解：如图，连接DH，

根据作图过程可知：EF是线段BD的垂直平分线，

∴DH=BH，

∵点H为BC的中点，

∴BH=CH，BC=2CH，

∴DH=CH，

在▱ABCD中，AB=DC，

∵AD=BC=2AB=8，

∴DH=CH=CD=4，

∴△DHC是等边三角形，

∴∠C=∠CDH=∠DHC=60°，

在▱ABCD中，∠BAD=∠C=60°，AD//27.【答案】A

【解析】解：过点E作EF⊥BC于F，

∵EC=ED，EF⊥CD，

∴CF=DF，

∵BDCD=25，

∴CFFB=59，

∵EF⊥BC，AC⊥BC28.【答案】B

【解析】解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=45°，AB=2AC=92，

∵∠BDE=45°，

∴∠BDE=∠A，

∵∠DBE=∠DBA，

∴△BDE∽△BAD，

∴BDBA=BEBD，

∵∠C=90°，CD=3，BC=9，

29.【答案】B

【解析】解：连接AC，如图，

由作法得AM垂直平分CD，

∴AC=AD，CM=DM，AM⊥CD，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=AB=BC=CD，AB/​/CD，

∴AB=AC=BC=CD=AD，

∴△ABC和△ADC都为等边三角形，

∴∠ABC=60°，所以①正确；

∵AB=2，

∴AD=CD=2，DM=1，

在Rt△ADM中，AM=AD2-DM2=22-12=3，

∵AM⊥CD，AB/​/CD，

∴AM⊥AB，

∴∠BAM=90°，

∴BM=AB2+AM30.【答案】C

【解析】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，

∵∠EDF=∠ODM=90°，

∴∠EDO=∠FDM，

在△EDO与△FDM中，

DE=DF∠EDO=∠FDMDO=DM，

∴△EDO≌△FDM(SAS)，

∴FM=OE=2，

∵正方形ABCD中，AB=4，O是BC边的中点，

∴OC=2，

∴OD=42+22=25，

∴OM=(25)2+(231.【答案】D

【解析】解：如图，当0<t≤1时，

由题得，PE=BQ=t cm，

∵正方向ABCD是边长为2cm，

∴P到BC的距离为(2-t)cm，

∴S=12t⋅(2-t)=-12t2+t，

如图，当1<t≤2时，

由题得，PF=CQ=(232.【答案】D

【解析】解：∵菱形ABCD的边长为2，

∴AB=BC=2，

∵∠ABC=60°，

∴AC=AB=2，BD=23，

由折叠知，△BEF是等边三角形，

当x=1时，则AE=1，

∴BE=AB-AE=1，

由折叠知，BP=2×32=3=12BD，

故①正确；

如图，设EF与BD交于M，GH于BD交于N，

∵AE=x，

∴BE=AB-AE=2-x，

∵△BEF是等边三角形，

∴EF=BE=2-x，

∴BM=3EM=3×12EF=32(2-x)，

∴BP=2BM=3(2-x)，

∴DP=BD-BP=23-3(2-x)=3x，

∴DN=12DP=32x33.【答案】y=24x【解析】解：根据三角形的面积公式，得12xy=12，

∴y=24x；

∵y≤6x，即24x≤6x，整理得6x2≥24，

∴x≥2．34.【答案】(-【解析】解：连接PO，

∵PA⊥PB，

∴∠APB=90°，

∵点A、点B关于原点O对称，

∴AO=BO，

∴AB=2PO，

若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，

连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，

过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ=6、MQ=8，

∴OM=10，

又∵MP'=r=4，

∴OP'=MO+MP'=10+4=14，

∴AB=2OP'35.【答案】0.48

【解析】解：∵PN/​/BC，

∴△APN∽△ABC，

∴PNBC=AEAD．

∵QM=PN，

∴QMBC=AEAD，

设正方形PNMQ的边长是x m．

36.【答案】5.2≤【解析】解：设AT=x，则BT=10-x，

当S与D重合时，如下图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=90°，AB=CD=10，BC=AD=26，

由折叠的性质可得A'T=AT=x，A'D=AD=26，

∠TAD=∠TA'D=90°，

∴∠BTA'+∠TA'B=∠CA'D+∠TA'B=90°，

∴∠BTA'=∠CA'D，

∴△BTA'∽△CA'D，

∴TA'DA37.【答案】3【解析】解：过点G作GM⊥DE于M，如图，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE/​/BC，

∴∠1=∠2，∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴ED=EC，

∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠4，

又∵∠DGE=∠CGD，

∴△DGE∽△CGD，

∴DGCG=GEDG，

∴DG2=GE×GC，

∵∠ABC=90°，DE/​/BC，

∴AD⊥DE，

∴AD//GM，

∴AGGE=DMEM，∠MGE=∠A，

∵AGGE=73，

∴DMEM=73，

设GE=3k，EM=3n，则AG=7k，DM=7n，

∴EC=DE=10n，38.【答案】16

【解析】解：设小正方形的边长为x，

∵a=4，b=2，

∴BD=2+4=6，

在Rt△BCD中，DC2+BC2=DB2，

即(4+x)2+(x+2)2=62，

39.【答案】10

【解析】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点M作MF⊥x轴于F，

设y=4x关于y轴对称的函数与AB的交点为N，

设OE=m，

对于y=4x，当x=m时，y=4m，

∴点A的坐标为(m,4m)，

∴AE=4m，

∵点N与点A关于y轴对称，

∴点N的坐标为(-m,4m)，

∴y=4x关于y轴对称的函数为y=-4x，

∵四边形OABC为平行四边形，

∴BC/​/OA，

∴∠MCF=∠AOF，

又∵AE⊥x轴，MF⊥x轴，

∴MFC=∠AEO=90°，

∴△MCF∽△AOE，

∴CFOE=MFAE=MCAO，

∵点M为BC的中点，

∴MCOA=12，

∴CFOE=MFAE=12，

40.【答案】125【解析】解：∵AD=6，BD=8，AD⊥DB，

∴AB=AD2+BD2=10，

如图，连接DM，

∵E、F分别为DN、MN的中点，

∴EF是△DMN的中位线，

∴EF=12DM，

∴EF的最小值，就是DM的最小值，

当DM⊥AB时，DM最小，

∵S△41.【答案】4【解析】解：∵EF=2，点G为EF的中点，

∴DG=1，

∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，

作A关于BC的对称点A'，连接A'D，PA'，

∵PA'+PG+DG≥A'D，

∴当D，G，P，A'共线时，PA+PG=PA'+PG的值最小，

∵AB=2，AD=4，

∴AA'=4，

∴A'D=42，

∴PA+PG≥A'D-DG=42-1；

∴PA+PG42.【答案】解：(1)∵AC为直径，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

又∵AB=AD，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC(HL)．

∴∠BAC=∠CAD=12∠BAD，

∵∠E=∠BAD=α，

∴∠BAC=α2．

(2)①连接DG．

∵AB=AD，∠BAG=∠DAG，AG=AG，

∴△ABG≌△ADG(SAS)，

∴BG=DG，∠ABG=∠ADG．

∵∠ABG=∠EDF，

∴∠ADG=∠EDF，

又∵EG⊥DF，DF=DF，

∴△【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=∠ADC=90°，进而证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠BAD=α，即可求解．

(2)①连接DG.证明△ABG≌△ADG，△DFG≌△DFE，根据全等三角形的性质即可求解；

②过点O作OH⊥AD，垂足为H.43.【答案】DE=【解析】(1)解：①DE=EF；

②证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠MBE，

∵AE⊥BE，

∴∠AEB=∠NEB=90°，

又∵BE=BE，

∴△ABE≌△MBE(ASA)，

∴AE=ME，

∵AD/​/BC，

∴∠DAE=∠FME，∠D=∠EFM，

∴△DAE≌△FME(AAS)，

∴DE=EF；

(2)证明：如图，延长BF交AC的延长线于点N，

∵AF⊥BF，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

又∵∠AEC=∠BEF，

∴△AEC∽△BEF，

∴∠EAC=∠EBF，

在△AEC和△BNC中，

∠ACE=∠BCN∠EAC=∠NBCAC=BC，

∴△AEC≌△BNC(AAS)，

∴BN=AE=6，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAF=∠NAF，

∵AF⊥BF，

∴∠AFB=∠AFN=90°，

又∵AF=AF，

∴△ABF≌△AGF(ASA)，

∴BF=FN=12BN=3；

(3)证明：过点B作BM⊥CD44.【答案】解：(1)四边形AEDG是菱形，

理由：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴BD=CD=12BC，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

由折叠得BF=DF=12BD，CH=DH=12CD，EF⊥BD，GH⊥CD，

∴EF//GH//AD，

∴BEAE=BFDF=1，CGAG=CHDH=1，

∴BE=AE，CG=AG，

∴DE=AE=12AB，GD=AG=12AC，

∵12AB=12AC，

∴DE=AE=GD=AG，

∴四边形AEDG是菱形．

(2)如图3，作KI⊥DH【解析】(1)由AB=AC，AD是BC边上的中线，得BD=CD=12BC，AD⊥BC，由折叠得BF=DF=12BD，CH=DH=12CD，EF⊥BD，GH⊥CD，则EF//GH//AD，可证明BE=AE，CG=AG，所以DE=AE=12AB，GD=AG=12AC，则DE=AE=45.【答案】解：(1)当四边形AQPE是矩形时，∠PQA=90°，

∵∠DAQ=60°，

∴∠APQ=90°-∠DAQ=30°，

在Rt△AQP中，AQ=12AP，

∵AP=(10-2t)cm，AQ=2t cm，

∴AQAP=2t10-2t=12，

∴t=53；

(2)如图，过点D作DH⊥EP，交EP的延长线于点H，

∵四边形AQPE是平行四边形，

∴EP//AQ，

∴∠DPH=∠DAQ=60°，

∴∠PDH=90°-∠DPH=30°，

在Rt△PDH中，∵PD=2t cm，

∴DH=PD⋅sin∠DPH=3tcm，PH=12PD=t

cm，

∵EP=AQ=2t cm，

∴EH=EP+PH=3t cm