人教版版数学六年级上册 第五单元 圆 第4课 含有圆的组合图形的面积《方与圆》教学设计

解决问题焦作市中站实验小学庞莉丽【教学内容】人教版小学数学六年级上册第五单元的例3解决“圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积”的问题。【教材分析】《解决问题》是人教版义务教育教科书六年级上册第五单元例3的内容，本课呈现了中国建筑中常见的"外方内圆"和"内圆外方"的设计图，将数学与生活实际紧密结合，让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一实际问题，探索发现更为一般的数学规律，经历问题解决的全过程，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。同时感受数学文化的魅力，体现数学学习的价值。【学情分析】本节课的内容是学生在学习圆的面积计算方法的基础上进行学习的，学生对前面知识的掌握程度对本课的学习至关重要。学生已具备了计算圆的面积和正方形面积的能力，也能在具体情境中理解现实的问题，转化成要解决的数学问题，从而找到解决问题的方案并解决。但在学习过程中，对于外方内圆和外圆内方一般化结论的建模与直观想象应用还存在一定的困难，尤其是外圆内方中圆内接正方形边长得出学生入手比较困难。因此，需要适时引导学生多位思考找到解题的线索，以促进学生思维的发展，从而更好地解决问题。【设计理念】本课基于问题化、活动化设计理念，将教与学置于贴近生活的富有思考的多元问题情境之中，通过在真实情境中发现问题、提出问题，激活学生思维活动的出发点，在分析问题、解决问题中贯穿“动脑思考与动手操作并用，生生合作探究、师生互动交流、反思质疑”的设计思想，促进学生主动参与学习活动，充分经历问题解决的全过程。【教学目标】1、在方圆结合的情景中，通过思辨与讨论、探究与交流，发现方圆之间的面积关系。2、运用方圆之间的面积关系解决实际问题，提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。渗透转化思想，提升数学思维能力。3、体验图形和生活的密切联系，感受数学文化的魅力与价值。渗透中国传统文化，感悟方圆哲理。【教学重点】探究外切正方形、内接正方形与圆的面积关系，发现一般规律【教学难点】引导学生把特殊结论一般化，不管圆的大小如何改变，其面积关系不变。【教学准备】课件、学习单。【教学过程】情境导入，提出问题。课件动态出示一组古建筑图片，请同学们一起欣赏摄影师镜头下的古建筑。通过观察这些建筑的基本构图，你发现了什么？有什么感受呢？（感受方与圆结合的艺术之美）课件出示两幅书画作品，如果请你当设计师，你准备怎样装裱？（中国书法装裱中经常能看见"外方内圆"、"外圆内方"的设计。）【设计意图：通过一组古建筑图片的欣赏，感受方与圆结合之美；借助生活中常见书画作品装裱这一情景，建立"外方内圆"、"外圆内方"的数学模型。】二、自主探究，寻找方法。1．观察对比，提出问题。（1）观察这两幅装裱作品，各有什么特点？它们的相同点和不同点是什么？并提出数学问题。（2）抽象出外方内圆、外圆内方的平面图形，理解圆和正方形之间的关系。建立“外方内圆、外圆内方”的数学模型：外方内圆就是正方形内部有一个最大的圆，外圆内方就是圆内部有一个最大的正方形。板书：外方内圆、外圆内方（图形）当方和圆组合时，就会产生很多数学奥秘，你能从中发现哪些值得研究的数学问题呢？预设问题：正方形和圆之间的面积各是多少？设定半径是1分米，求正方形和圆之间装裱部分的面积是多少？板书：解决问题2．分析问题，尝试解答。(1）动手操作，分析图形。思考：圆的半径与正方形有什么关系？重点引导在外方内圆中，圆的直径是正方形的边长；在外圆内方中，圆的半径是正方形对角线的一半。(2）学生尝试计算每幅图中正方形与圆之间部分的面积。3．解决问题，验证猜想。(1）集体交流：你是怎样解答的？解决外圆内方涂色部分面积的关键是什么？(2）问题思考：对比求外圆内方涂色部分面积的两种不同方法，重点引导正方形的面积转化成三角形面积计算的过程【设计意图：通过引导学生画一画、涂一涂分析问题，理解正方形与圆之间的关系及所求问题；猜一猜、想一想、算一算让学生经历解决问题的过程。在求圆内正方形面积时发展抽象意识；把正方形转化成三角形，体会转化思想；同时在探究过程中注重培养学生独立思考、同伴互助、多维思考等学习品质。】三、回顾反思，探究规律。是不是所有像这样的"圆大小相同，但正方形位置与大小都不同的外方内圆与外圆内方"的图形中，正方形与圆之间部分的面积都是外圆内方的图形比外方内圆的大呢？方圆间的那部分面积与圆的面积有没有关系？有什么样的关系？（1）假设半径，发现规律假设两个圆的半径都是r，则左图：S正-S圆=(2r)²-3.14xr²=0.86r²右图：S圆-S正=3.14xr²-（12以上结果表明：外方内圆，正方形与圆之间部分的面积是0.86r²；外圆内方，圆与正方形之间部分的面积是1.14r²。（2）猜想验证：利用上面的计算结果，检验例题的计算结果是否正确。当半径是1dm时，代入计算和前面的结果完全一致。（3）算法优化，运用规律。之前我们计算方圆之间的面积，是求正方形的面积与圆的面积之差，现在我们探究出规律，发现了可以直接用圆半径平方的0.86倍和1.14倍就能算出方圆之间的面积。两种方法你喜欢哪一种？运用规律计算更简便。【设计意图：引导学生假设半径是r，自主迁移探究出计算方与圆之间的面积模型。让学生经历了从解决具体问题到这一类问题的研究过程，使学生提升解决问题、合情推理、延伸思考、回顾反思的能力，发展学生的数学思维。培养学生猜想验证、及时反思的良好学习习惯。】四、数形结合，拓展延伸思考：“外切正方形、内接正方形与圆的面积还有什么样的关系？”外圆内方时，S正：S圆=4r²:πr²=4:π外方内圆时，S圆：S正=πr²:2r²=π:2继续启发引导：除此之外，你还发现哪些有价值的结论？课件动态展示重合，此时这个圆的外切正方形和内接正方形的面积有什么关系呢？探究得出：S外方:S内方=4r²：2r²=2:1两个正方形之间的面积是2r²【设计意图：教学中，学生对半径平方的理解对解题至关重要，借助数形结合，深入理解圆和外切正方形与内接正方形的关系，为更好地灵活运用奠定基础。延伸思考，培养学生多角度思考问题，是思维历练的学习过程。】五、巩固练习，提升能力1、三张边长都是6厘米的正方形纸，分别按图中的三种方式剪出不同规格的圆片。(1）猜想：哪张纸余料多一些？(2）验证：你的猜想对吗？说明理由。独立思考，全班交流。鼓励学生用不同的方法来解决问题。方法1：利用数据计算方法2：利用公式推导方法3：利用关系比较2、图中每个正方形的面积都是10，求阴影部分的面积【设计意图：通过数形结合、一题多解、图形变式三个层次帮助学生明晰关系、深入理解、灵活运用，渗透方法