数学物理方法II

数学物理方法II

周彬

北京师范大学物理系

于TueApr1615:26:42CST2013由Makefile自动维护

目录

7数学物理定解问题3

8分离变量法4

8.1齐次方程的分离变量法.......................................................4

8.2非齐次振动方程和输运方程...................................................4

8.2.1Fourier级数法.......................................................4

8.2.2冲量定理法..........................................................4

8.3非齐次边界条件.............................................................6

8.4Poisson方程.............................................................6

8.5分离变量法小结.............................................................6

9二阶常微分方程的级数解法本征值问题7

10球函数8

10.1轴对称球函数...........................................................8

10.1.1Legendre多项式..................................................8

10.1.2Legendre多项式的微分表示............................................8

10.1.3Legendre多项式的积分表示............................................8

10.1.4函数空间的内积.......................................................8

10.1.5广义Fourier级数..................................................12

10.1.6Laplace方程的轴对称定解问题........................................17

10.1.7母函数..............................................................22

10.1.8递推公式...........................................................25

10.2连带Legendre函数.......................................................27

10.2.1连带Legendre函数.................................................27

10.2.2连带Legendre函数的递推关系......................................29

10.3一般的球函数..............................................................31

10.3.1球函数..............................................................31

10.3.2球函数的模与正交关系................................................32

10.3.3球面上的函数的广义Fourier级数....................................33

10.3.4Laplace方程的非轴对称定解问题.......................................33

10.3.5正交归一化的球函数，Lie群与Lie代数方法...........................35

10.3.6Laplace球谐函数的光滑性...........................................43

1

11柱函数44

11.1三类柱函数...............................................................44

11.1.1三类柱函数.........................................................46

11.1.2①T0和①Too时的行为.........................................47

11.1.3递推公式...........................................................48

11.1.4虚宗量Bessel方程.................................................48

11.2Bessel方程...............................................................48

11.2.1Bessel函数与本征值问题.............................................48

11.2.2Bessel函数之间的内积................................................50

11.2.3Fourier-Bessel级数...................................................52

11.2.4Bessel函数的应用...................................................52

11.2.5母函数，积分表示与加法公式..........................................52

11.2.6Neumann函数......................................................52

11.2.7Hankcl函数.........................................................53

11.3柱函数的渐近公式.........................................................53

11.4虚宗量Bessel方程.......................................................53

11.5球Bessel方程...........................................................

11.6可化为Bessel方程的方程...................................................57

12Green函数解的积分公式58

12.1Poisson方程的Green函数...............................................58

12.1.1Green公式.........................................................58

12.1.2Poisson方程的基本积分公式..........................................59

12.1.3Poisson方程Green函数的对称性....................................64

12.1.4Poisson方程及Laplace方程第一边值问题和第三边值问题的Green函数...66

12.1.5Laplace方程及Poisson方程第二边值问题---推广的Green函数........66

12.1.6二维空间和高维空间上Poisson方程的Green函数.....................69

12.2用电像法求Green函数....................................................69

12.2.1无界空间的Green函数基本解.....................................69

12.2.2球形区域上的Green函数与Poisson积分.............................71

12.2.3半空间上的Green函数与Poisson积分................................74

12.2.41/n空间上的Green函数与Poisson积分.............................74

12.2.5二维空间中的例子...................................................74

12.3含时间的Green函数.....................................................74

12.3.1波动方程的Green函数方法.........................................74

12.3.2对于波动方程Green函数的细致分析及其对称性.........................75

1233热传导方程、输运方程的Green函数方法...............................75

12.4用冲量定理求波动方程和输运方程的Green函数.............................76

12.5推广的Green公式及其应用...............................................76

12.5.1推广的Green公式.................................................76

2

7数学物理定解问题

3

8分离变量法

8.1齐次方程的分离变量法

8.2非齐次振动方程和输运方程

8.2.1Fourier级数法

8.2.2冲量定理法

冲量定理法用于解决带有齐次边界条件和齐次初始条件的定解问题，例如，非齐次一维振动方程的

定解问题

1⑴

期tt—auxx—ft),[0<x<I),

叱=o=。，词1=0,⑵

叱=o=。，叫=0=。(3)

和非齐次一维输运方程的定解问题

Ut-d^uxx=,(0<rr</),⑷

叱=0=。,⑷1=。，⑸

4=o=°・⑹

1.冲量定理法的物理图像

以一维振动方程的定解问题(1)-(3)为例，/(/")是弦上单位质量所受的力在u的正方向上的

投影，也就是作用于弦上的力在时刻t和位置c所附加于弦上的加速度.它衡量了力的冲击效应.

我们可以把这种冲击看成是一系列瞬时冲击依次作用而形成的：瞬时冲击/(弱7”(7)只发

生在力=7的一瞬间.设f>0,则

/(/")=lim/f(x,r)6(t-r)dr,⑺

-o+Jo

也就是说，是时刻0到t之间的一系列瞬时冲击累加而成的.

如果用V(X,t-T)表示瞬时冲击的“纯净”效果，则可以期望这些“纯净”效果的

累加就是定解问题(1)-(3)的解：I

〃(瑞力)=/v(x,t,r)dr.(8)

Jo

所谓瞬时冲击的“纯净”效果,就是说，在齐次边界条件和齐次初始条件“影响”下所得到的解.故

有

2

Vtt-avxx=f(x,r)5(t-r),(0<3：</),(9)

叱=0=。,矶日=0，(1。)

矶,=o=0，叫=o=0・(11)

显然，当0W力<7时，V(X,t-,T)-0.任取£>0,则，将方程(9)两端对t作积分，积分区间为

[T-e,T+£■],则有

/7+£rr+e

2

VttAt-«/Vxxd力=f{x,T)

-6JT一€

4

即

rr-\-e

VV

t\t=T+S-t\t=T-S~/分工也=/(工，7).

Jr-e

当£〉0充分小的时候(事实上，只要小到T-£20即可)，上面方程左侧的第二项为零(因为

0W1＜T时。=0).我们看到，瞬时冲击f(x,r)8(t-T)虽然很强，但是,由于只是作用于一瞬间,

它只会影响到Vt,而不至于立刻(力=7时)影响到n自身，也就是说,。关于方在力=7应当是连续

的，从而加关于方在力=7也连续.这样，令£T0+,就会得到极限

limvt=f(x,T).

而力＞T时,又会满足齐次的振动方程.所以，关于”(/"；「)，我们不如干脆要求它满足

2

-avxx=0,(0<x<Z),(12)

忆0=。，矶1=。，。3)

|一=(),仇I-=/(/").(14)

2.冲量定理法及其证明

以上的物理图像只是一个猜测性但是又具有启发性的讨论.至于实际上对不对，则需要给出一

个严格的证明.我们首先给出下述定理，然后加以证明.

定理8.1(非齐次振动方程的冲量定理法)如果定义在[0J]xRxR上的函数”(立";7)满足定解

问题(12)-(14),则

〃(2"):=/v(3；.i;r)dr

Jo

是定解问题(1)-(3)的解.

证明：首先，我们可以把”的初始条件

T；T)=0,仇(2"；T)=/(X,T)

等价地改写为

v(x,t;t)=0,Vt(x,t-1)=,(15)

其中3C[0,2],而。C股任意.

注：

(1)按照cFAlcmbcrt公式，定解问题(12)-(14)的解是

1rx-\-a(t-r)

。出力；7)=钎//(S,7)d£.(16)

ZQJx—a(t—T)

通过上述公式，我们可以看出，当力＜7时未必有。(工由7)=0,这意味着，我们在物理图

像中的有些陈述和想法实际上是不对的.特别是，定解问题(12)-(14)并不等价于定解问题

尽管如此，物理图像中的一些想法还是很有启发性的，而且，最主要的是，其最终结果是正确

的.

5

(2)有了。(立芯7)的上述表达式之后，定解问题⑴-(3)原则上已经彻底解决了:

1rtf*x-\rait—T)

仇―丁dT/怎T)d1(17)

/QJ0Jar-a(t—r)

一q/px/广■小+')dT+?-|/•宏+a£修。.(18)

定理8.2(非齐次输运方程的冲量定理法)

8.3非齐次边界条件

8.4Poisson方程

8.5分离变量法小结

6

9二阶常微分方程的级数解法本征值问题

-

10球函数

球函数方程

U第卜in。寡)+4整+/(/+l)y=0(19)

sin0o0\oO)sin0dip1

的解被称为球函数.

10.1轴对称球函数

10.1.1Legendre多项式

10.1.2Legendre多项式的微分表示

Rodrigues公式

1小

马⑺;而而①一小(2°)

Rodrigues公式的一个重要的结果就是

马(1)=1,(2=0,1,2,...).(21)

实际上，在Taylor级数

[OO

.(/_1)'=£%(%—1)"

71=0

中，四=4(1).首先利用平方差公式得到

^(x2-1)1=^(x-l)l(x+1)1

—初(立一1)'(4-1+2)”

再利用二项式定理可以得到

”一“白一)£，2-(一产

J1]

=V____-____(X-nz+fe

台2味!(/_卜)!’'，

从中可以读出at=1,即4⑴=1.

10.1.3Legendre多项式的积分表示

10.1.4函数空间的内积

把闭区间[-1,1]记作/,令C°(Z)为闭区间I上所有连续实值函数的集合.也就是说,V/e。。(/),

一元函数/：/T股是一个连续函数.

任给f,ge我们可以采用逐点相加的方式定义一个新的函数f+g:I^R.所谓逐点

(pointwisely)相加,就是

(/+。)(二)：=/(2)+。(4)，Vxe7.(22)

8

容易证明，仍然有/+ge。。(/),即，/+g仍然是闭区间I上的连续函数.这样，集合。。(/)上就

有了一个所谓的加法运算(addition).我们把这个运算叫做函数的加法,简称加法.

任给一个实数AeR和一个连续函数feC°(Z),我们可以定义一个新的函数如下:

(A/)(x):=A/(.r),Vrce/.(23)

容易证明，Xf也是连续的，即XfGC°(/).我们把Xf叫做实数A对函数/的标量乘(scalar

multiplication).

容易验证，集合在函数的加法和标量乘这两种运算下构成了实数域上的一个矢量空间.这个空

间是无穷维的：例如，C°(Z)中的1,X,X2,…，/，…都是线性无关的1；又如,C°(j)中的1,sin7rx,

cos7r.r,sin2mr,cos2mr,…，sinnTra;,cosn7rc,…也是线性无关的；再如，C°(1)中的1.e2?rlx,27r咒

7rhe

04.…^iTrixe-mvix…也是线'性无关的.

'设k「向一个'k阶屋磁的函薮就是一个k阶可导而且从一阶直到k阶导函数都连续的连

续函数.一个光滑函数(smoothfunction)就是一个任意阶导函数都存在而且连续的函数.令Cfc(Z)

为闭区间I上所有k阶连续的复值函数所构成的集合,则每一个Ck(l)都是。。(/)的线性子空间,

而且都是无穷维的.按照定义，闭区间1上所有光滑函数的集合

OO

。8(/)=n⑴=c°(7)n。(/)nc2(z)n…，(24)

k=0

它显然是每一个。(/)(k=0,1,2,一.)的线性子空间，而且也是无穷维的.

对于任意的f,ge(7°(/),可以定义一个实数

(/,9)：=/]/(x)g(z)dx.(25)

很显然，(、•)有下列性质：

(1)对称性.

(fg)=(gj),4.geC。⑴.(26)

(2)双线性性.yf,g,heC°(Z),VA,/1eR,

(入/+〃g/)=入(J,h)+n(g,h),(27)

(/,刖+/M)=X(/,g)+〃(/").(28)

(3)正定性.

(/J)》o,V/eC°(Z),(29)

而且等式成立的充分必要条件是f=0.

注意、在这里，/=o中的o是常值函数oec°(z).下面要证明(/,/)=o只能有/=0.实际上,

如果f#0,则BxoeI使得/(g)丰0.2既然f是连续函数,就会存在e>0(要求2一e2一1并

且2o+eW1)使得/(2)丰0对浦京g-eW/Wm+e的任意x成立.这样,就会有

产0+£

(/,/)》/(x)/(x)dx=2s|/(€)|2>0,

JXQ-S

1在这里，1SC°(/)表示函数值始终为1€R的常值函数.在数学中，函数值为A€R的常值函数常常用A来表示.

2不等式/壬g是/=g的否定.如果等号的任何一边是C。⑴中的元素.另一边也必须是。。(1)中的一个元素.

对于任意的f,g€C°(1),等式/=9的意思是f⑺=g(x).eI.特别是，/=0是说/€C°(Z)为常值函数

oeC0(Z),即我们平常所说的“/恒等于零”，而不是“/在某个1eI为零”.

9

其中£是区间+中的某个点.这样就会与(/")=0矛盾，所以(£/)=0时不可能有

7^0.

由于上述性质，我们说(•,•)是矢量空间。。⑴上的一个内积.

Legendre方程

9((1-.唔)—T^p,+项+1)B=。(30)

是Sturm-Liouville方程的一个特例，因此，按照Sturm-Liouville理论)不同的Legendre多项式相

互之间是正交的：

(Pk,H)=⑺dx=0,(k/Z).(31)

在这里,Legendre多项式之间的内积采用式(25)这样的定义可以看作是迎合了Sturm-Liouville

理论的要求.下面我们将会看到，Legendre多项式之间的内积可以从另一种途经自然而然地得到.

假设我们在一个半径为r0的球形区域D内部求解一个数学物理方程(例如Helmholtz方程).

处理这个问题的最合适的坐标系当然是球坐标系.对于方程的解矶『,仇6和0s仇⑼，有一个自然

的方式去定义它们之间的内积：

(u,v):=jjjuvdV

u(r,0,(p}v(r,仇⑼r2sin0drd。dg,(32)

其中正表示u的复共钝.不妨考虑一个最简单的情形，假设线和。具有分离变量的形式，而且都是

轴对称的，则应当有

u=Ri(r)B(cos。),”=7?2(r)H(cos。),

其中必(「)和R虱吟是r的某两个函数.在这种情形下,

(%o)=JJI7?i(r)/?2(r)R(cos。)马(cos。)/sinJdrd9dr

=2TT(RI,Ri)jB(cos。)马(cosJ)sin9dJ

Jo

=27r7?2〉(Pk,舄)，(33)

其中____

2

〈&,&)=//?i(r)7?2(^)rdr,(34)

Jo

而(Pfe,pz)正是前面定义的内积.

至于Pi的模Ni,有公式

必：=，(私W=(35)

这个公式的证明可以通过P,的微分表达式得到：若/=0,则有R=1,从而

卢0(嘲2dx=2,

10

符合公式（35）.以下假设/>0,则

N；=J出⑺产加

=薪£国”）,（，2一1".

利用分部积分法,可得

1d’-1J1/1dPid'T/2、…

班-2史舄叫》131)../..(x1)drr.

_i2zZ!J_idxd犷t''

不难看出：（/一1），=（N+1）"（1-的1-1阶导函数一定是(工+1)(2-1)和某个多项式的乘积,

因此，这个导函数在x=±l处的函数值都是零，于是

「学修（-1）5

127!J-dxd/T''

用同样的方法反复使用分部积分法，最后得到

阳=喘1/75.

(36)

由于

强—又2_心毁二⑵一

dx1~2ll\dx^'~2'1\)!!,(37)

其中⑵一1）!!=⑵-1）⑵-3）…5.3.1,式（36）化为

M=（―1），^^£（/—1）3

…叫再；……d

X.

使用分部积分法，可得

阳=（-啾+?）/3+1）小一产也

1

“O+…：…黯制

(T+1广1(①-l)z+1drr

1

=TT喝瑞'/；（.+1厂（-1）中也.(38)

如果/=1,上述结果就是

1r1八।1

N1=工，-1）2dH=—（X-I）3^2

35

11

符合公式(35);如果1>1,则对(38)继续使用分部积分法，如是共使用1次分部积分法，最后可得

环="小一小

..(2Z-1)!!/!2f+1^

_2"1⑵-1)!”!_2⑵)！_2

⑵+1)!"(2Z+1)!21+1'

这就证明了公式(35).

我们将公式(31)和(35)综合到一起,就有

r19

(Pk,P»=yPk(/)n(rr)d;r=2,+］演/.(39)

10.1.5广义Fourier级数

如果V是一个n维的矢量空间，neN,处理相关问题的时候最常用的手段之一就是给V选一个基

(ei,...,en),从而把任何一个。eV展开为en的线性组合：

n

V=。送1H-------1-vnen=£ViCi.(40)

i=l

如果V是实数域上的n维矢量空间(neN),而且在V上还有一个内积，则称V为一个n维

Euclid空间(Euclideanspace).对于n维Euclid空间V,选取基的时候最常用的办法是使用正交

基3.设出,,ert)就是Euclid空间V的一个正交基，则会有

(七,与)=叩厢，(41)

其中

乂：=，❷,2)(42)

是e,的模(norm).由此可以导出式(40)中的3的表达式：由内积的双线性性，可得

nn

口,”)=(右,£­)=£叼(色,立).

J=1j=l

再由式(41),可得

n

海力.=Nfvi,

J=I

于是

(…)(”)

((七⑼§(。,心)

A?右(44)

3所谓正交基(orthogonalbasis),就是构成基的向量彼此之间相互正交，但是并不要求其中的每一向量都是单位向

量.如果正交基中的每一个向量都是单位向量，则称这样的基为标准正交基(orthonormalbasis,又叫做正交归一基).

12

例如，在处理通常的三维矢量的时候就采用上述办法：设(凡出，茶)是一个标准正交基，则

曷.百=3.(45)

而一个任意矢量v则可以展开为

33

&=£何.瓦)瓦，(46)

2=11=1

g=G.薪.(47)

在这里，两个矢量近和7之间的标量积ii-v就是内积.

如果V是一个无穷维的矢量空间,它同样也会有基存在.设(ei,e2,…，en，…)是V的一个基,

则任意。eV都可以用线性组合

OO

o=£筑&(48)

£=1

给出.需要注意的是,V中的一个线性组合(linearcombination)必须是有限项的求和.以上式为例,

它是线性组合的意思是，其中只有有限个出不为零，所以，线性组合不同于级数(series),级数可以

是有限项也可以是无限项求和.

例如，以工为变元的实系数多项式所构成的集合用R[x]来表示.为方便，我们常常称feR[x]

为实数域股上的多项式(polynomialoverR).两个多项式f,ge1R团相加仍然是R上的一个多项

式，一个实数人和/eR[.r]相乘的结果X/仍然是R上的一个多项式.可以验证,在这样两种运算

下，斑剑是实数域上的一个无穷维的矢量空间.对于这个矢量空间，最常用也是最自然的基就是由

1,x,…构成的.这样，任意一•个多项式feR[x]总能找到n+1个实数a。，«i,a2,...,an使之

表达为

n

axnk

/=Qo+i++•••+anx=akx.(49)

k=0

形式上我们可以引入%+1=%+2=--=0,从而把f表达为

OO

/=£牝，，(50)

i=0

但是，只要/eK[x],上述的求和就只能有有限项不为零.这正是多项式这个名字所暗含的意思：项

数虽然“多”，可是毕竟数得出来.一旦非零的系数有无限多个，则式(50)给出来的就不再是多项

式，而是一个募级数(powerseires)T.这时候，通常f串K[x],即，不再是一一个多项式了支

一旦涉及级数，就会涉及收敛性，这就超出了矢量空间的范畴.但是，略去了很多细节上的技

术和概念(尽管这些都很重要)，处理级数的手段和处理矢量还是很相似的.例如，我们把解析函数

/(工)展开为Taylor级数的手段：

OO

/(①)=£厮(①一须))“，(51)

n=0

4在代数中，多项式在本质上不是一个函数，而只是一个形式和，亦可看作是它的各项系数所构成的序列.所以，即使

一个塞级数只有有限项求和，当我们把它当作一个函数来看待的时候，它和多项式还是有所区别的.不过、这个区别不

是我们这里所要关心的.

13

把一个周期函数/(乃(设其周期为T)展开为Fourier级数的手段:

OO8

2n?r.X2717rl

/⑺=cos——(53)

T+工BnsmT'

n=0n=l

V

/(①)d"(54)

2rT2717rl

f⑺cosTax,⑺21)；(55)

2rT2n7vx

/(①)sin^di,(九，1).(56)

T，

上述手段都类似于把矢量用基展开为线性组合的手段.特别是,式(54),(55)以及(56)在本质上都

类似于式(43).事实上，对于周期为T的周期函数，我们可以定义内积

(/,g)：=［/⑺g(g)d①，(57)

不难验证，

(cos^^,cos^^)=(8mH+(58)

/.2k7rx.2lnx\=%M，

(sinT,sinj(59)

’2mvx.2k7rx\

cos-.sm---=0,(60)

、T)T)

其中m.n=0,1,2,...;fc,Z=1,2,....

作为多项式，我们不再考虑函数的定义域问题则马eR［x］,单项式1,x,心…可以构成用句

的基,其实Legendre多项式Po,几办…同样也构成叫句的基；既然解析函数可以借助于1,瑞

展开为Tavlor级数，它们也应该可以用4,R,2,…展开为级数.至于在实际上是否可行,

其中会有什么样的问题，我们姑且略去不看.如果一个函数f可以用Legendre多项式展开为一个

级数，我们就称这个技术为/的广义Fourier级数.这其中的手段和处理Fourier级数的手段在形

式上是相似的：如果函数

OO

=£力B(。)，(61)

则

fl=需胃=-二j/⑺P3dx.(62)

用角度来表达的化,设F⑹是定义域为［0,7r］的函数，则有广义Fourier级数

OO

=(63)

/=0

9/-kIP

=/歹⑻局(cos8)sin。dJ.(64)

2./n

例10.1用Legendre多项式把［-1,1］上的函数/(c)=2/+3L+4展开为广义Fourier级数.

14

实际上，我们不一定要用公式(62)来确定展开系数.由于f⑺只是一个多项式而且次数较低,

可以直接利用Pi的表达式凑出来系数.其步骤是由高次到低次依次进行.

Pl是一个I次多项式,所以,只需要用Po,R,P，2和A展开即可.借助于

兄侬)=1,2(①)=。(3/-1),(65)

Fi(x)=x,R(N)=:(5/—3啰)，(66)

可以依次得到

/(x)=|(5x3-3N)+(3+|)7+4

221

=-(5rr3—3T)H-----x+4

55

421

=7^3(^)+三PiQ)+4Po⑺.

oo

例10.2用Legendre多项式把［―1.1］上的绝对值函数/(刀)=|T|展开为广义Fourier级数.

因为绝对值函数/(c)=⑶不是一个多项式，所以，待求的Fourier级数不可能是有限项的求

和.这就不可能把系数凑出来了，只能采用公式(62)来求各个系数.

绝对值函数/(乃是一个偶函数，而Pi的奇偶性和I的奇偶性相同，可以预料,/(工)只能用偶

函数的Legendre多项式展开，即，I为奇数时,力=0.事实上，用公式(62)也很容易验证这一点.

当2=2n时⑺eZ+),由公式(62)可得

_4n+1(\x\P(.x)dx

J2n=-2---2n

—(4n+1)/|z|P2n(2)&r

Jo

=(4n+1)/2n(c)drr.

Jo

当"=0时，可以利用PQ=1得到

fo=Joxdrc=j-

(67)

当九＞0时，先利用Rodrigues公式，再利用分部积分法