2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-2 . 4 圆的方程

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

2.4圆的方程

2.4.1圆的标准方程

基础过关练

题组一认识圆的方程

1.(2022吉林辽源五中月考)方程|x-11(y-1)2表示的曲线是()

A.一个圆B.两个半圆

C.两个圆D.半圆

2.(2021河南省实验中学月考)方程x=7?亍表示的图形是()

A.两个半圆B.两个圆

C.圆D.半圆

3.(2022河北邢台南和实验中学月考)已知圆的标准方程为(x-l)2+y2=5,则该圆的

圆心坐标和半径分别是()

A.(-1,0),V5B.(l,0),V5

C.(-1,0),5D.(1,0),5

题组二求圆的标准方程

4.(2022北京西城回民学校期中)圆心为(-3,1),半径为5的圆的方程是()

A.(x+3)2+(y+l)2=5

B.(x+3)2+(y-l)2=25

C.(x-3)2+(y-l)2=5

D.(x-3)2+(y-l)2=25

5.(2022江苏徐州期中)已知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切,则该圆的标准方程是

A.(x+2)2+(y-l)=4

B.(x+2)2+(y-l)2=l

C.(x-2)2+(y+l)=4

D.(x-2)2+(y+l)2=l

6.(2021黑龙江鹤岗一中月考)若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别

在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是.

7.(2022甘肃金昌永昌第一高级中学期中)求以A(2,2),B(5,3),C⑶T)为顶点的

三角形的外接圆的标准方程.

8.(2022安徽滁州定远育才学校期中)已知点A(1,-2),B(-1,4),求:

(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程；

(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.

题组三点与圆的位置关系

9.(2022吉林白城一中段考)点(sin30°,cos30。)与圆x2+y2=g的位置关系是

A.点在圆上B.点在圆内

C.点在圆外D.不能确定

10.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=l上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为()

A.6B.25C.26D.36

11.(2022北京八一学校期中)若点P(2,0)在圆(x-a)2+y2=4的内部,则实数a的取

值范围为.

能力提升练

题组圆的标准方程及其应用

1.(2021吉林长春外国语学校月考)已知RSABC的斜边的两端点A,B的坐标分别

为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为()

A.x2+y2=25(y#0)

B.x2+y=25

C.(x-2)2+y=25(y#0)

D.(x-2)2+y=25

2.(2021重庆复旦中学段考)若圆C与圆C':(x+2)2+(yT)2=L关于原点对称,则圆

C的标准方程为()

A.(x+l)2+(y-2)=l

B.(x-2尸+61)2=1

C.(x-l)2+(y+2)=l

D.(x-2)2+(y+l)2=l

3.(2021湖北十堰期末)若圆(x-l)2+(y-1尸=5关于直线y=kx+2对称，则k=()

A.2B.-2C.1D.-1

4.(2022山东潍坊期中)圆C上的点(1,2)关于直线x+y=0的对称点仍在圆C上，

且该圆的半径为遮,则圆C的方程为()

A.x2+y2=5

B.(x+l)2+(y-l)2=5

C.x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)2=5

D.x2+y2=5^(x+l)2+(y-l)2=5

5.(2022辽宁省实验中学月考)点A(2sin0,2cos。)总在圆C:(x-3)2+(y-4)2=m内,

则实数m的取值范围是()

A.(5,+°°)B.[5,+8)

C.(25,+8)D.(49,+8)

6.(2022江西南昌八一中学月考)经过抛物线y=x2-3x+2与坐标轴的三个交点的圆

的方程为.

7.(2022河北邯郸成安月考)已知直线11经过点A(-3,0),B(3,2),直线7经过点

B,且1」"

(1)求直线L,12的方程；

(2)设直线12与直线y=8x的交点为C,求4ABC的外接圆的标准方程.

8.(2022上海杨浦月考)已知a£N*,在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标

分别为A(a,0),B(-2,2),C(-3,3).设AABC的外接圆为M.

(1)若a=2,求圆M的标准方程；

(2)求圆M面积最小时a的值.

答案全解全析

基础过关练

1.A原方程可化为(x-l)2+(y-1)2=1,表示的曲线是一个圆.故选A.

2.D根据题意得x20,方程两边同时平方并整理得x2+y2=l,由此确定表示的图形

为半圆.故选D.

3.B

4.B

5.A由题意得，圆的半径为2,圆心为(-2,1),所以圆的标准方程是

(x+2)2+(y-l)2=4.

6.答案(x-2)2+(y+3)2=13

解析易知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得圆的半径为VT&因为圆

心坐标为⑵-3),所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13.

7.解析设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

C(2-d)2+(2-b)2=r2,(a=4,

则卜5F)2+(3-b)2=r2,解得b—1,

l(3-a)2+(-1-b)2=r2,(「2=5,

所以AABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-l)2=5.

8.解析⑴当AB为直径时,过点A,B的圆的周长最小.易知线段AB的中点为

(0,1),|AB|=2VTO,

故所求圆的圆心为(0,1),半径为31AB=V1O,

故所求圆的标准方程为x2+(y-l)2=10.

(2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

((1-a)2+(-2-b)2=r2,(a=3,

则J(-1-a)2+(4-b)2=产,解得b=2,

\.2a-b-4=0,1产=20,

•••圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20.

9.C因为siKO。+cos230。=G)2+gf=lm所以点在圆外.

10.D(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方.因为点

P在圆C:(x-2)2+y2=l上,所以所求最大值为(QC|+1)2=36.

11.答案0〈a〈4

解析因为点P在圆(x-a)2+y2=4的内部，

所以(2-a)2+()2<4,解得0<a<4.

能力提升练

1.C依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.

易知AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为

(x-2)2+y2=25(yW0).故选C.

2.D由题意得，圆C与圆C'的圆心关于原点对称,半径相等.易知圆C'的圆心为

(-2,1),半径为1,所以圆C的圆心为⑵-1),半径为1,所以圆C的标准方程为

(x-2)2+(y+l)2=l.故选D.

解题模板

与圆有关的对称问题，由对称前后两圆全等,知两圆的半径相等，因此只要利

用对称关系求出圆心坐标,就可得到圆的标准方程.

3.D由题意得圆心(1,1)在直线y=kx+2上，所以l=k+2,解得k=T.故选D.

4.D因为圆C上的点(1,2)关于直线x+y=O的对称点仍在圆C上,所以圆心在直

线x+y=O上.

设圆心的坐标为C(a,-a),

2

因为圆的半径为遥,所以J(a-+(-a-2)=V5,

解得a=0或a=-l.所以圆心为(0,0)或(-1,1).

所以圆C的方程为x2+y2=5^(x+l)2+(y-l)2=5.

故选D.

5.D由题意得(2sin9-3)2+(2cos0-4)2<m恒成立，即

22

m>[(2sin0-3)+(2cos0-4)]max.

(2sin。-3)2+(2COS6-4)2=4sin2。-12sin。+9+4cos20-16cos。+16=29-12sin6

-16cos0=29-20sin(。+6),tan6

V-l<sin(0+4))<1,.,.9<29-20sin(0+6)W49,

/.m>49.故选D.

6.答案(%-02+(y-|)2=|

解析令x=0,则y=2;令y=0,则x=l或x=2.

所以抛物线y=x2-3x+2与坐标轴的三个交点为(0,2),(1,0),(2,0).

设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

(_3

(a2+(2-b)2=r2,°一2'

则卜ba)之+b2=r2,解得(b=Q,

l(2-a)2+b2=r2,|产=工

7.解析(1)因为直线L经过点A(-3,0),B(3,2),所以直线L的方程为芸:累

即x-3y+3=0.

因为L_L12,所以设直线12的方程为3x+y+c=0.因为点B⑶2)在直线L上，所以

c=-ll.所以直线L的方程为3x+y-11=0.

⑵由｛jUsZ"=0,得｛；;;即C(1,8),所以1AC=4V5,1BC=

又|AB|=2VI，所以|AB『+|BC|2=|AC|2,所以AABC是以AC为斜边的等腰直

角三角形.所以AABC的外接圆的圆心为线段AC的中点,半径为rAC|=2代.又AC

的中点为(T,4),

所以AABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y-4)2=20.

8.解析⑴当a=2时,A⑵0),；.AB的中点坐标为(0,1),又BC的中点坐标为

；•线段AB的中垂线方程为丫-1=-三^,即y=2x+l,线段BC的中垂线方程为

2-0

5-3+2(5\ai-1广

y-；=--+J,即y=x+5.

由仁祟:'得忧;:即圆心M(4,9),

Z.|BM|=(4+2)2+(9-2)2=V85,

圆M的标准方程为(x