解析人教版九年级数学下册第二十七章-相似训练试题

人教版九年级数学下册第二十七章-相似专题训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在中，点〃、E是AB、的中点，若△4%的面积是1,则四边形6〃%的面积为

（）

C.2D.1

2、如图，点E是线段BC的中点,ZB=ZC=ZAED,下列结论中，说法错误的是（）

B./\ABE与AAED相似

ABAE

D.NBAE=ZADE

3、在中，D,E分别是边力8,力。上的两个点，井旦DE〃BC,AD：切=3：2,则“应与四边形

况"的面积之比为（）

A.3：5B.4：25C.9：16D.9：25

4、如图，DE//BC,则下列式子正确的是（）

AABBDcADDEAEABADDE

A13.-----=------C.D.

-诙=瓦ABBC~EC~^D~AB~~BC

5、如图，在△月^。中，点〃在边上,若4ACD=/B,AD=3,BD=\,则力C的长为（)

A.2+B.后C.5D.2#j

6、如图，在火力"a'中，NG=90°,46=10,於=8.点户是边47上一动点，过点、P作PQHAB友BC

于点。，〃为线段闾的中点，当劭平分N46C时，4°的长度为（）

B

7、如图，在平面直角坐标系中，的顶点4在第二象限，点8坐标为（-2,0）,点C坐标为（-

1,0）,以点C为位似中心，在x轴的下方作△/回的位似图形△/B'C.若点［的对应点/的坐标

为（2,-3）,点6的对应点勿的坐标为（1,0）,则点4坐标为（）

A.（-3,-2）B.（-2,-3）C.（-彳5，3-）D.（-=5,2）

2222

8、己知点C是线段16的黄金分割点，KAOBC,若4?=2,则比的值为（）

A.3-B.1+^5C.-7s-1D.亚-2

9、下列图形中，与△两不一定相似的是（）

10、下列各线段的长度成比例的是（)

A.2、5、6、8B.1、2、3、4C.3、6、7、9D.3、6、9、18

第II卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在△/阿中，ZABC=45°,过点C作aa力6于点〃过点6作8肛然于点瓶连接必，过

点〃作ZWL物，交.BM千点、N.必与飒相交于点若点£是切的中点；下列结论：①N4除45°；

②NE-EM=MC；③"%MC：NE=k2：3;④S&ACD=2SNNE.其中正确的结论有.（填写序号即

可）

2、如图，将边长为8cm的正方形纸片475折叠，使点〃落在回边中点£处，点/落在点尸处，折痕

为MN,则线段局/的长度为cm.

3、如图，已知△4?。和C是以点。为位似中心的位似图形，且△力比■和6c的周长之比为

1：2,点，的坐标为（-1,0）,若点6的对应点夕的横坐标为5,则点8的横坐标为.

V

A

BO

A

AOAT7

4、在口力腼中，£是力〃上一点，—=,连接儆〃相交于凡则下列结论：①亍=7；②

DE73BC3

卷"4；③署=1；④S,4,正确的是_________.

口&CBF乙。“ZD四边形COMJ1

5、如图，某同学利用标杆砥测量教学楼的高度，已知标杆应'高1.5m,测得4?=1.2ni,8c=12.8m,

则教学楼切的高度是_____m.

D

□

□

□

三、解答题(5小题,每小题10分，共计50分)

1、如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点坐标分别为A(-2,4),5(4,4),C(6,0).

（1）请以原点。为位似中心，画出AA'B'C',使它与AABC的相似比为1:2,变换后点A、B的对应点分

别为点A二9，点用在第一象限，并写出点4坐标一；

（2）若Ra,b）为线段8c上的任一点，则变换后点P的对应点P的坐标为.

2、如图，9中，N4=90°,四=6cm,4〃=：12cm.某一时刻，动点必从点1出发沿四方向以

lcm/s的速度向点6匀速运动；同时，动点"从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，

运动的时间为ts.

7

（1）求t为何值时，△4IW的面积是△48。面积的永

（2）当以点4M,N为顶点的三角形与△/如相似时，求力值.

3、如图，在矩形题力中，£是8。的中点，DFA.AE,垂足为尸.

（1）求证：应。△勿叫

(2)若4?=6,BC=4,求削的长.

4、如图，AABC内接于。0,且A3为。。的直径，QEL43交AC于点E,在0E的延长线上取点。，使

得/DCE=/B.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若AC=25/5,BC=非,求力少的长.

5、如图，线段8。是AABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，联结AE、BF,

且ABBD=BCBE.

(1)求证：AD=AE；

(2)如果BF=DF,求证：AFCD=AEDF.

---------参考答案

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

1ssrDE21

由应是△/a'的中位线，腐DEHBC,且庞=；凿则△/随从而甘峥=(后厂比'=:，从而

2S/8CBC4

解决问题.

【详解】

解：•.•点4E是AB、/C的中点，

应是的中位线，

：.DE//BC,豆DE=^BC,

：.XADEsXABC、

.S八AOE_(DE『_1

FJBC一“

•.•△相«的面积是1,

•.SJBC=4,

S四边形BCED~S&£Bc-S^ADE=3

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握中位线定理，灵活运用三角形相

似的性质是解题的关键.

2、D

【解析】

【分析】

根据外角的性质可得Z&4E=ZD£C,结合已知条件即可证明从而判断A,进而可得

?=黑，根据E是中点，代换BE=CE,进而根据两边成比例夹角相等可证△ABEs△血＞,进而判

ECED

断B,C,对于D选项，利用反证法证明即可.

【详解】

解：ZAEC=ZBAE+ZB=ZAED+ZDEC,ZAED=ZB

.-.ZBAE=ZDEC

又N8=NC

:.AABESAECD

故A选项正确

•・,AABESAECD

.ABAE

,'EC~~ED

•.•E为8E的中点

BE=CE

,ABAE

"~BE~~ED

又ZB=ZAED

•••^ABEsAAED

故B、C选项正确

•••AABEsAAED

..ZDAE=ZBAE

若ZBAE=ZADE

:.AE=DE

根据现有条件无法判断AE=QE,故ZBAE丰NADE

故D选项不正确

故选：D.

【点^青】

本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

3、C

【解析】

【分析】

根据题意先判断△4比'sa/比；再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得

到结论.

【详解】

解：'：DE//BC,

：.XADEsXABC、

,:AD：BD=3：2,

AD:AB=3:5,

；•S“：jc=325=9:25,

49-与四边形6a少的面积之比为9：16.

故选：C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

4、B

【解析】

【分析】

由题意直接根据平行线所截线段成比例进行分析判断即可.

【详解】

解：-：DE//BC,

：.ZADE=ZABC,ZAED=NAC8,

；・&ADE-^ABC9

.ADDEAE

故选：B.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

5、B

【解析】

【分析】

ACAD

求出/凡通过4力证△/如推出-==.，代入求出即可.

ABAC

【详解】

解：♦.3〃=3,切=4,

：.AB=7,

•.,乙仁/4AACD=AB,

：./\ACD^/\ABC,

.,.-A--C-=--A-D-.

ABAC

：.AC=ADXAB=21f

••AC=\[QA,

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，关键是推出△43△/%并进一步得出比例式.

6、B

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出4C,根据平行线的性质、角平分线的定义得到Q/X80,证明根据相

似三角形的性质计算即可.

【详解】

解：设.BQ=x,

在放△46。中，ZC=90°,16=10,BC=8,

由勾股定理得AC=\jAB2-BC2=6,

■:BD平分/ABC,

:./QBD=/ABD,

'：PQ//AB,

：.AQDB=£ABD,

：.AQBD=AQDB,

.••可设QD=BQ=x,则CQ=8~x,

•••〃为线段图的中点，

QP=2QD=2x,

'：PQ//AB,

:ZPO^XCAB,

.CQQPCPnn8-x2xCP

CBABAC8106

解得:x啥40CP若48，

30

：.AP=CA-CP=—,

13

故选B.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判

定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.

7、C

【解析】

【分析】

如图，过点力作力瓦Lx轴于其过点/作//Ux轴于反利用相似三角形的性质求出抽，0E,可得

结论.

【详解】

解：如图，过点力作lELx轴于£,过点4作/dx轴于?

'：B(-2,0),C(-1,0),B'(1,0),A1(2,-3)

AOB=2,O(=OB'=1,。用2,A'后3,

.“信1,CB'=2,华3,

■：XABCsB'C,

.AEBC\

**-cF-2*

3

...AE=-,

2

VZAC^ZA1CF,NAE俏NA'抬90°,

:.XAECsX/FC,

.EC_AE_\

"~CF~~^F~2,

3

EC=~,

2

OE=EC+OC=-,

故选：C.

【点睛】

本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造相似三角形解决问题.

8、A

【解析】

【分析】

根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；则心告1.代入数据即可得出AC的长度即可.

【详解】

解：由于点C为线段他=2的黄金分割点,

且AC是较长线段；

贝ljAC=2x且二■=遥-1,

2

：.BC=AB-AC=2-（V5-1）=3-石.

故选：A.

【点睛】

本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算.

9、A

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定定理进行解答.

【详解】

解：A、当厮与a'不平行时，与△颇不一定相似，故本选项符合题意；

B、由/力於/斯（片90°,NACB=NEDF可以判定LABCsADEF,故本选项不符合题意；

C、由圆周角定理推知N庐/用又由对顶角相等得到//吠/曲；可以判定△468△〃夕?，故本选项

不符合题意；

D、由圆周角定理得到：N4%=90°,所以根据//%=/（%比90°,ZABOZCBD,可以判定

XABCsXDEF,故本选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，解题时，需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理.

10、D

【解析】

【分析】

如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此进行判断即可.

【详解】

解：4、2X8力5X6,故本选项错误；

B、1X4W2X3,故本选项错误；

C.3X9W6X7,故本选项错误；

D、3X18=6X9,故本选项正确.

故选：D.

【点睛】

考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相

乘，看它们的积是否相等.

二、填空题

1、①②③

【解析】

【分析】

①利用证明△的必△以区再证明邮是等腰直角三角形，即可判断结论①正确；②过点〃作

DF1MN千点、F,则/力石=90°=NCME,可利用A4s证明△2根△口¥,即可判断结论②正确；③先

证明46应s△。您可得出第=丝=2,进而可得QU2幽NE=3EM,即可判断结论③正确；④先

EMDE

证明△物屋△O,（力%），司得SABED=SACAD,再证明"物"区可得S△做进而得出

S△"y2s△回£,即可判断结论④不正确.

【详解】

解：®'：CDLAB,

:./BD俏NADO9G,

VZAB(=45°,

.BD=CD,

,JBMVAC,

:./A峥NA段90°,

:./A+/DBM93,N4+N〃C沪90°,

二N25沪NZO,

■:DN1MD,

.../必机/勿食90°,

,.•/0明/应泸90°,

:./CD后/BDN,

BD哙4CDM(ASA),

:.D股DM,

,：z,mt90°,

...△〃眦是等腰直角三角形，

性45°,

磔90°-45°=45°,

故①正确；

②如图1,由(1)知，D^DM,

过点〃作加L瞅于点凡则/分/90°=ACME,

A

E

B

图1

■:DN］皿,

：.DF^FN,

•.•点£是切的中点,

：.DB=CE,

在△口%和△四力中，

'NDEF=NCEM

■乙DFE=NCME,

DE=CE

：./\DEF^/\CEM(A4S),

:.MFEF,CM=DF,

：.FN=CM,

^NE-Ef^FN,

:.NE-E拒MC,

故②正确；

③由①知，4DB〜DCM,

又,：4BED=4CEM,

:.ABDEsACME,

•也=处=。

"EMDE，

:.C拒2EM,

:.EM：MC：N&\：2：3,

故③正确；

④如图2,

A

'：CDVAB,

伊/的=90°,

由①知：/DB2/DCM,BD=CD,

:ZE恒XCAD(ASA),

SABED^SACAD,

由①知，△员加必△〃!从

:.BN=CM,

'：CWFN,

：.BN=FN,

：.BN<NE,

:.SABDNVSADEN,

:.SABED<2SADNE.

：.SAACD<2SADNE.

故④不正确，

故答案为：①②③.

【点^青】

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积

等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质.

2、1

【解析】

【分析】

根据翻折的性质，以勾股定理作方程，在△⑸忆'中求出"?和£“，根据△用%利用比例求出

GE,根据△同《s△龙&利用比例求出婷/：

【详解】

解：•••四边形力腼是正方形

：.AB=B(=CD=DA=^,,ZA=ZB=ZC=ZD=90°

设NC=a,

'：CD=8

：.DN=8~a

由折叠得，NE=DN=8-a

在Rt△以。中，E^=E(f+N(f

(8-a)2=a"+4\解得a=3

:.NC=3,EN=5

由折叠得2NEG=ND=90°

ZGEB+ZNEC=90°

而NNEC+ZENC=90。

：.NGEB=NENC

又NB=NC

:.△NECS^EGB

.NENCEC

'*G£~SE-GS

VZF=ZA=ZB,NFGM=NBGE

：./\FMG^/\BEG

.FGBG

'"-BE

仁1

故答案为1

【点睛】

本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角

三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.

3、-4

【解析】

【分析】

过点8作物_Lx轴于点〃，过点6'作8'〃_Lx于点"则劭〃6'〃可得△BCMAB'CH,从而

警器,再由相似三角形的周长之比等于相似比，可得忌=:，继而得到等即可求解.

CriDCDC2Cn2

【详解】

解：如图，过点6作劭，x轴于点〃，过点6,作歹〃_Lx于点〃，则劭〃夕//,

CH,

.CDBC

•・=一■―,

CHB'C

「△力比和△/9C的周长之比为1:2,

.BC1

••=•

B'C2

.CD1

・・---=一，

CH2

•.•点C的坐标为（-1,0）,点6的对应点夕的横坐标为5,

：.OC=i,OH=5,

:,阴6,

：.CD^-CH=3,

2

.,.勿=0G（7M+3=4,

二点6的横坐标为-4.

故答案为：Y

【点睛】

本题主要考查了位似图形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握位似图形，相似三角形的判定和性质

定理是解题的关键.

4、②③④

【解析】

【分析】

AJ70

根据平行四边形的性质可得AO〃BC,4)=3。进而可得4田6^^5/，根据煞=3,即可求得

DE3

黑=;,2=2,普=4进而判断①②③，根据三角形的面积和平行四边形的面积可得，分别用

BC5睦CBFqEF2

SQABCD表不出S&ABF与S四边形CDEF，进而求得其比值

【详解】

解：•••四边形A8CQ是平行四边形

・.AD//BC,AD=BC

•.AAEFs/^CBF

.AFAEEF

'~CF~~BC~~BF

AE2

•DE-3

.AE，

*AD~5

•AEAE2

~BC~~AD~~5

.町二4

%"VBC)25

BFAD5

——=——=—

EFAE2

则①不正确，②③正确；

过点儿/作AM1BC,FN1BC

CFBC5

~AF~~AE~2

CF5

~AC~1

=

••SABFC痴SOABCD

q4

...=_Z_

S&CBF25

4452

••S》EF=石S4CBF二石X-ScABCD=oABCD

AE_2

.5

设平行四边形ABC。，8C边上的高为〃，

1AFxh

△用

...-S2---------=-1x-A--E--=—1x—2=一1

5anADRCrUnADxh2AD255

■■.S^AEB=-SABCD

LSnt.i55Q/IDC£/

…S△.尸=S^ABE-SgEF=g^aABCD-^aABCD=aABCD

1531

S四边形CDEF=SOABCD_S&ABE~^ABFC=痴）=^aABCD

.S：一亍乙.8=10

鼠边2g31

故④正确

故答案为：②③④

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关

键.

5、17.5

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定定理可得^AEB^ADC,再利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】

解：由题可知，BELAC,DCVAC,

：.BE//DC、

：.AAEBS^ADC,

・BEAB

**~CD~~AC9

口nL51.2

即：--=-------，

CD1.2+12.8

CD=17.5(%).

故答案为17.5.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键.

三、解答题

1、."2出3c=6T8+36=

【点睛】

本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a=24,则炉34,>44是关键.

ab

24.(1)图见解析，A'(—l,2)；⑵

212

【解析】

【分析】

(1)根据相似比可确定三点的坐标，从而可画出VAFU并写出点A坐标;

(2)根据相似比即可确定点P的坐标.

【详解】

(1)如图所示：△力归。即为所求，A'(-l,2)；

故答案为：4(-1,2)

ah

(2)若P(a,6)为线段回上的任一点，则变换后点尸的对应点用的坐标为:

2,2

故答案为:

【点睛】

本题考查了在坐标系中作位似图形，求位似图形对应的坐标，关键是掌握位似图形的含义.

2^(1)/=4,2=2(2)1=3或彳

【解析】

【分析】

(1)由题意得〃A，'=2f(cm),AN=(12-20cm,AM=tern,根据三角形的面积公式列出方程可求出答

案；

(2)分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出大的值.

【详解】

解：(1)由题意得〃V=2X(cm),AN=(12-21)cm,AM=tem,

.•.△4肺的面积="心4仁1X(12-21)Xt=6t-

"：ZA=9Q°,AB=Gem,49=12cm

△/M的面积为5力AD=-X6X12=36,

,.•△W的面积是△救?面积的3，

/.6t-r=1x36,

-6加8=0,

解得Z/=4,Zz=2,

答：经过4秒或2秒，加的面积是△/切面积的*

(2)由题意得〃V=2t(cm),AN=(12-21)cm,AM=tem,

若二AMM/\ABD,

解得t=3,

若/\AMNs4ADB,

则有一=——，即%=年，

24

解得f=y,

24

答：当％=3或不时，以4、M、N为顶点的三角形与△/劭相似.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题

的关键.

3、（1）见解析；（2）='（旧

【解析】

【分析】

（1）由矩形性质得/〃〃比；进而由平行线的性质得N4吩/为用再根据两角对应相等的两个三角形

相似；

（2）由少是a'的中点，求得班,再由勾股定理求得力其再由相似三角形的比例线段求得〃E

【详解】

解：（1）•.•四边形/仇力是矩形，

：.AD//BC,/庐90°,

：.£DAF=AAEB,

•:DF1AE,

:./AFD=NB=90°,

：.4ABEs丛DFA；

（2）•••£是比的中点，册4,

BB=2,

'：AB=6,

••=V^~+?—个序+分=2y!~Tb，

•.,四边形力版是矩形，

：.AD=B(=4,

'：XABES^DFA,

际4_6

y/70.

17fb~~5

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似.

4、(1)证明见详解；(2)AE=£l

4

【解析】

【分析】

(1)连接％,由等腰三角形的性质得出/加庐/以GZA=ZACO,可得出饰N/