第6章 曲线曲面

第6章曲线曲面

2011-2012(2)

曲线曲面

2001

O从卫星的轨道、导弹的弹道，到汽车和飞

机等的外形，直至日常生活中的图案和花

样设计，都离不了对曲线的描述和绘制。

以至于可以说，几乎没有一张设计图纸上

是没有曲线的。

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曲线曲面

O在我们遇到的各种各样的曲线中，归纳起

来，大概不外乎两类：

•一类是我们已经比较熟悉的，如圆、椭圆、双

曲线、正弦余弦、概率分布、摆线螺线等等。

这类曲线均可以用一个曲线方程式来表示，称

此类曲线为规则曲线。比如圆的方程可以写成

222

x+y=R等0

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曲线曲面

O曲线的分类

另有一类曲线，我们尚不能确切给出描述整个曲线的

方程，它们往往是由一些从实际中测量得到的一系列

离散数据点用曲线拟合方法来逼近的，称为不规则曲

线。

这些曲线一般采用分段的多项式参数方程来表示，由

此形成一条光滑连续的曲线称为样条曲线或简称样条。

常见的参数样条曲线有抛物样条曲线、Hermite插值

样条曲线、Bezier样条曲线和B样条曲线等。

本章将主要讨论参数样条曲线和曲面的绘制方法。

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曲线曲面

2001

O当曲线的数学表达方法确定以后，剩下的问题就是如何

把这些曲线绘制出来。

O要绘制一条指定的曲线函数的直接方法是用很多短直线

段来逼近曲线。

O绘出的曲线的光滑度和精确度取决于我们所选择的数据

点的精度和数量。点的数量越多，直线段越短，则连成

的曲线愈接近于理想曲线。

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曲线曲面

2001

。至于点的数量取多少，直线段取多长，则

取决于我们对所绘制曲线的精度要求和图

形输出设备的精度，但我们对所绘制曲线

的精度要求不能逾越图形输出设备所实际

具有的精度。

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2001o常见二次曲线的绘制

o抛物样条曲线

O三次参数样条曲线

oBezier曲线和B样条曲线

oBezier曲面和B样条曲面

o实验曲线的绘制方法

2011-2012(2)

常见二次曲线的绘制

gj|o椭圆绘图程序分析

椭圆的标准方程为：

x2/a2+y2/b2=0

其中，a和b分别为椭圆的长、短轴半径。

•但是，在实际的绘图工作中，人们不利用椭圆的标准

方程。因为，椭圆的自变量和函数值之间的变化率不

均匀；同时，椭圆又属于多值曲线，对于多值曲线，

利用标准方程还必须考虑分区间分段绘制。所以，为

了绘制出质量比较好的曲线，必须选择一种较为合适

的曲线数学表达式。

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常见二次曲线的绘制

产a0椭圆绘图程序分析

■•对于一条二次曲线，除了一般常用的标准方

f程外，还可以采用参数方程来表示：

Jx=f(t)

[y=g(t)

•其中，t为参变量。

2011-2012(2)

常见二次曲线的绘制

产斗。椭圆绘图程序分析

v•因此，可以用参数方程来取代椭圆的标准方程,

f把椭圆的表达式写成如下所示的参数方程形式：

x=acost

・,0<t<27i

y=bAsint

其中，t为参变量，它的取值范围从0到2m即

一个圆周。

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常见二次曲线的绘制

O椭圆绘图程序分析

•可以看出，这个参数的实际意义是椭圆上的点所

对应的中心角。

•这样，根据参数式，一旦确定一个t值，就可以

计算得到对应于该t值的位于该圆周上的一个确

定点（x,y）o

设当t取值为％时，可得：f步=acosti

Iyi=bsinti

这样就得到椭圆上的一个点（Xyyjo

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卜常见二次曲线的绘制

阚-------------

g]O椭圆绘图程序分析

I•然后，让参变量t增加一个增量使

代入彳寸：

G+Li+At,x=acosti+1

\yM=bsinti+1

于是，得到椭圆上另一个点(Xj+i，yi+1),连接两点

(xPyj和(xi+1,yi+1),就可以近似地认为绘制

了椭圆上的一段弧。

这种近似的精度就取决于增量A,的取值大小。

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常见二次曲线的绘制

O椭圆绘图程序分析

2011-2012(2)

o椭圆绘图程序

voidellipse(intxO,intyO,inta,intb,intdt)

2001

intx,y,n,i;

floattl,t=0.0;

tl=dt*0.01745;n=360/dt;

moveto(xO+a,yO);

for(i=l;i<n;i++)

{t=t+tl;

x=xO+a*cos(t);y=yO+b*sin(t);

lineto(x,y);}

lineto(xO+a,yO);

)

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常见二次曲线的绘制

2001

O椭圆绘图程序分析

•这个程序说明了绘制曲线的一般方法，用离

散的直线段代替了曲线。

•至于直线段长度的取值则决定于对曲线的精

度要求。

•显然，参变量的增量越小，则离散直线段的

长度越短，于是得到的曲线精度越高。

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k常见二次曲线的绘制

阚----------------

gIO椭圆绘图程序分析

•在计算各点坐标值(如yj时，还可以应用两角和的

9三角公式来简化程序中的运算步骤。

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

sin(a+p)=sinacosp+cosasinp

•因为，*+i=tj+At,所以：

costi+1=costjcosAt-sintjsinAt

sinti+1=sintjcosAt+costjsinAt

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常见二次曲线的绘制

O椭圆绘图程序分析

costi+1=costjcosAt-sintjsinAt

sinti+1=sintjcosAt+costjsinAt

从以上两式可以看出，si叫和cos*是上一次的计算结

果，而At是一个常量，所以，sinAt和cosAt就是常量。

•这样可以通过上一次的计算结果和常量通过普通的四

则运算求出当前的结果。利用这种递推的方法避免了

每次对新的角度求三角函数值的运算，提高了程序的

效率。

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o常见二次曲线的绘制

Vo抛物样条曲线

O三次参数样条曲线

oBezier曲线和B样条曲线

oBezier曲面和B样条曲面

o实验曲线的绘制方法

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抛物样条曲线

讶IO曲线生成的原理

■•假设有一系列离散的型值点，这些点的来源是某个领

域内的一■次测量。

•现在要求用一条光滑的曲线把这些点连接起来，绘成

曲线图形。

•显然，由于这些型值点是经过实际的测量得到的，因

此，带有某些随机性，不可能用现有的任何一种曲线

方程来描述这些由测量点决定的曲线图形。所以，必

须另外寻找一种生成这样曲线的方法。

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抛物样条曲线

O曲线生成的原理

•曲线的拟合是指在曲线的设计过程中，用插值或逼近

方法使生成的曲线达到某些设计要求，如在允许的范

围内贴近原始的型值点或控制点序列，或曲线看上去

很光滑等。

在拟合生成曲线的众多方法中，有时要选择一种简单

一些的曲线，作为拟合生成其他曲线的基本曲线，然

后，对这种基本曲线作一些适当的数学处理，来生成

完整的拟合曲线。

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抛物样条曲线

2001

O曲线生成的原理

•抛物样条曲线，就是选择抛物线这样一种较为

简单的二次曲线作为基本曲线，来拟合给定离

散型值点生成的曲线。

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曲线生成原理

。过3点定义一段抛物线

•由于离散点的要求，首先要解决由给定任意点

定义抛物线的问题。

设有不在同一直线上的三点：P1，P2,P3,现在

要求通过该给定的三点定义一条抛物线。

过三点的二次曲线

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曲线生成原理

。过3点定义一段抛物线

H•假如我们采用矢量表达式来表示参数化的二次

曲线，那么可以把抛物线的表达式写成如下的

一般形式为：

2

P(力=Ai+A2t+A3t(0W)(6-1)

抛物线是一条二次曲线，所以表达式中参数t的

最高次数为2,同时让参数1在0—1之间取值。

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曲线生成原理

停。过3点定义一段抛物线

P⑺=4+AJ+AJ2(00W1)(6-1)

这就是说，只要确定了式(6-1)中的三个系数:

4,4和4，那么就确定了抛物线的表达式，随之

.L乙J

抛物线的曲线图形也就可以确定。所以，我们的

工作是要通过设定一些已知条件来求出这三个系

数。

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曲线生成原理

过3点定义一段抛物线

・P⑺=4+旬+*2(0</<1)(6-1)

■要确定这三个系数(目前尚为未知数)，必须要有三个

独立的条件。我们可以给定这三个独立条件为：

该抛物线过尸1，尸2，尸3三个点，并且：

①抛物线段以尸1点为始点。即当参变量，=0时，曲线过

p占•

②抛物线段以鸟点为终点。即当参变量，=1时，曲线过

鸟点；

③当参变量，=0.5时，曲线过尸2点，且切矢量等于尸3-

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曲线生成原理

。过3点定义一段抛物线

P(力=A.+A4+AJ1(0&W1)(6-1)

JL/J，

在这三个设定的条件下，构造的抛物线段如图所示。

图中的数据是这样的：

4点为44的中点，APi=

PR抛物线在片点处与々0

相切，在4点处与相切,

曲线在4点处的切矢夕2与

片4平行。过3点定义的二次曲线

2011-2012(2)

曲线生成原理

眼o过3点定义一段抛物线

2

，P(力=A1+A2t+A3t(O<Z<1)(6-1)

，根据以上设定的条件，可以列出三个方程：

，=0:尸(0)=力1=尸1

t=i：p⑴工J+4=P](6-2)

尸

t=0.5;(0.5)=/]+0.5A2+0.2573=P?

解以上三个联立方程：

Ai=pi

尸3=4+42+4=尸1+4+4

••42=P3一尸1一力3

尸2=4+0.54+0.254

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曲线生成原理

o过3点定义一段抛物线

亦艮I7:4尸2=44］+142+43=4尸］+2（尸3—尸1~^3）+43=

2尸1+2尸3-4

.・.A3=2尸1+2尸3-4P2

以上式回代到4=尸3-尸1-4中，得：

力2=4尸2-尸3—3尸］

所以，通过解联立方程，得到的三个系数4,力2,4

分别为：

4=眉

力2=4尸2-03-3尸1(6-3)

4=2眉+2P3-4尸22011-2012(2)

曲线生成原理

o过3点定义一段抛物线

2

P(力=A1+A2t+A3t(0</<1)(6-1)

把求出的该三个系数的值，代入到抛物线的表达式(6・

1)中，可得：

2

P(t)=A1+A2t+A3t

=尸1+(4尸2-尸3-3%)，+(2尸1+2尸3-4尸2)产

=(2t2-3t+1)乙+(4,一4P)尸2+(2P-t)P3(6-4)

(0</<1)

2011-2012(2)

曲线生成原理

以。过3点定义一段抛物线

可把式（6-4）改写成矩阵形式为:

p

21

-4p25

2-

P(t)=[t11]0P(6

-O13

以上推导求出的算式，即为我们所要求的过不在一直线

上的三点：尸G1M）,尸2（%2的）和尸3（X3必）的抛物线方程。

这时根据参变量，的取值，我们就可以——计算出位于曲

线上的数据点，然后顺次连线绘出图形。

2011-2012(2)

曲线生成原理

O抛物线加权合成

由3点可以定义一条抛物线。设有一离散型值点列P,G=

1,2,…/),则可以按式(6-5)每经过相邻三点作一段抛物

线，由于有〃个型值点，所以像这样的抛物线段一共可

以作出〃-2条。如图所示。

产生〃-2段抛物线

2011-2012(2)

曲线生成原理

O抛物线加权合成

P(t)=(2t2-3,+1)尸1+(4,一4产)尸2+(2产一0尸3(6-4)

(0<^<1)

在这“2条抛物线段中，第，条抛物线段为经过Pj,Pi+1,尸升2三点,

所以它的表达式应为：

Si(Q=Q代3中1卑+(包-4中叱计］+(川7泗+2(0<^<1)(6-7)

同理，第计1条抛物线段为经Pj+j5+2和巴+3三点，所以它的表达

式为：

=2—>22

^/+1^/+1)(2^+13^+1+l)^l+1+(4/z+1—4ZZ+1)PZ+2+(2//+1—^+1)P/+3

(0<//+7<1)(6-8)

2011-2012(2)

曲线生成原理

厚u。抛物线加权合成

经过四点所画出的两条抛物线段so和E+i(4+i)的图形

如图所示：

一般说来，每两段曲线之间的搭接区间，两条抛物线是

不可能重合的。例如图中，»和与+1两条抛物线，它们在

巴.+1和尸升2两点之间为搭接区间，在这区间内，，和〉+1不

太有可能会自然地重合成一条曲线。

2011-2012(2)

曲线生成原理

o抛物线加权合成

显然，对于拟合曲线来说，整个型值点列必须只能用一

条光滑的曲线连接起来。为了做到这一点，在S和$+］这

样两条曲线的共同区间内，必须有一个办法让它们按照一

个一定的法则结合成一条曲线，这结合的办法就是加权合

r成。

在加权合成的过程中，我们首先要选择两个合适的权

函数。如果我们在这里选择的两个权函数分别为f(T)和

g(7),加权合成后的曲线为尸汁［⑺，贝4：

匕+1(。=八。£,«)+g(7)$+id+i)

2011-2012(2)

曲线生成原理

运qo抛物线加权合成

在抛物样条曲线中，我们选择的权函数/⑺和9⑺是简

单的一次函数，且它们之间存在有互补性。它们分别为：

八7)=l-Tg(T)=T(O<T<1)

这样，式：

尸"。=大。6«)+g⑺・S4%)即可改写为:

尸计1(。=(1一7)5«)+T，+i(&i)(6-9)

在表达式(6-9)中，包含了三个参变量，即：T、乙和

4+1。假如这三个参变量不加以统一，则接下去的工作是

无法进行的，所以我们首先要统一式中的参变量。

2011-2012(2)

曲线生成原理

2001O抛物线加权合成

对于曲线段S&),参变量号的取值范围为：0<^<1,但曲

线段s,&)与曲线段»+]6+])搭接的部分是原曲线段的后半

截，即是从点尸计]到匕+2之间的区间，在这个区间内，参变

量的取值范围应为：0.5</<1o

0

同理，对于曲线段S+1&+1),在点尸汁1到尸汁2之间的区间

内，其参变量％的取值范围应为：03汁石0.5。

在权函数｛7)和g(7)中，变量7的取值范围定为：

0<7<1

2011-2012(2)

曲线生成原理

O抛物线加权合成

5+1(。=(1一7)04)+7・，+](%1)(6-9)

为了统一式(6・9)中的三个参变量：7、4和4+i，我们选

择，作为统一后的参变量，把原有的三个参变量7、4和Ai

均化成唯一含有，的形式，并要给，规定一个合适的取值范

围。假如我们使，的取值范围为：0WW0.5,则上面的三个参

变量可统一形式为：

T=2t

£=0.5+t0</<0.5

*=t

2011-2012(2)

曲线生成原理

抛物线加权合成

产舄+1⑺=(1一7)电4)+「•“(％)(6-9)

W于是，原式(6・9)可根据新的参变量t改写成如下这样的

形式：

Pi+1(t)=(1-2。电。+0.5)+2rsi+1(。(6-10)

其中：

1-2，=川)

2,=g(T)

2

+0.5)=(2f-0Pz+(l-4f)P/+1+(2/+t)Pi+2

E+i⑺=(2产—3,+1)尸升1+(4，—4产)尸叶2+(2产T)K+3

2011-2012(2)

曲线生成原理

O抛物线加权合成

把以上四式代入式(6・10),展开、整理后可得：

2

=(—4尸+4t—t)R+(13Q—10f2+i)p+i

+(-12尸+8t2+。尸,+2+(4Q-2d)尸计3

(；=1,2,…，n-3)(0</<0.5)(6-11)

式(6.11)的实质是：表达了每相邻的四个点可以决定中

间的一段抛物样条曲线。见图所示。

2+1。)

i+2

尸i+1i+3

Pi4个点决定中间的一段样条曲线

2011-2012(2)

曲线生成原理

O抛物线加权合成

假如一个离散点列Pj具有〃个型值点，即j=L2,…，no

那么根据式(6-11),可以加权合成后生成〃-3段抛物样条曲

线。即式中的，的取值范围为：/=1-n-3o

舄+i⑺

4个点决定中间的一段样条曲线

2011-2012(2)

曲线生成原理

2011-2012(2)

曲线的讨论

口切O抛物样条曲线的端点条件

.上面已经说到，在全部点列Pj(i=L2,…，〃)中，我们只能

F得到〃-3段曲线。但〃个型值点之间应有个区段。亦即，按

照式(6-11)产生的曲线段不足以生成*1段曲线，因其点列的首、

尾两段曲线P〔P,和P-P”段，由于缺乏连续相邻的四点这样的条

1Ln—1n

件而无法产生。

为了要产生首尾两段曲线，一个直接的想法就是在原点列的

两端各加一个辅助点尸0和p〃+l,如图所示。

曲线的讨论

gO抛物样条曲线的端点条件

但是，余下的问题是这尸。和尸〃+［两点是如何加上去的，

它必须依据什么原则，这就是所谓的“端点条件”。在这

里，我们仅介绍常用的三种方法：

①已知两端的切矢P］和P,

②自由端条件

③形成封闭曲线

2011-2012(2)

曲线的讨论

总O抛物样条曲线的端点条件

*①已知两端的切矢P1和PJ

在前面我们已经说过，在由P「尸2、尸3三点所确定的抛物线

中，过心点曲线的切矢

p，=p_p、即・P=P-Pf

r2r31,rlr3r2

这样，在抛物样条曲线中，当条件给出了两端的切矢和

之后，根据上面的原理可得：

Pt=P2-P。・・・？。=舄一?‘I

P'〃=P〃+\-Pz・•・P〃+i=马-1+

即可以确定辅助点/和P〃+i的坐标位置。

这种端点的情况，一般适用于所求的曲线要和已经存在的曲

线或直线相连接。

2011-2012(2)

曲线的讨论

涔O抛物样条曲线的端点条件

V②自由端条件

f另一种补点的方法的原理比较简单，它让所补之点尸0和

尸〃+1与原两端点鸟和尸"分别重合，即：

Po=Pi

P"+产Pn

这样的补点方法称为自由端条件，这种方法一般适用于对

曲线的两端没有什么特殊的要求。

2011-2012(2)

曲线的讨论

^io抛物样条曲线的端点条件

③形成封闭曲线

为了在〃个型值点之间形成封闭曲线，那么就要生成〃段

曲线段，而不是原来的”-1段。所以在补点工作中要加三个

点，首先让首尾两点重合，然后各向前延长一点，即：

尸〃+1=尸1

Po=P"

尸〃+2=尸2

2011-2012(2)

曲线的讨论

O抛物样条曲线的性质

•无论用什么方法把离散的型值点连成曲线，总是希望所

得到的曲线是光滑的，这应该在所用的数学方法上予以

保证。

•那么，拿什么标准作为评价曲线光滑程度的指标呢？

•根据抛物样条曲线的推导过程，可以知道整条曲线是由

若干个曲线段组成的，每两个相邻的型值点之间形成一

段曲线，每相邻的两段曲线在型值点处相接，相邻两曲

线段的连接处称为“节点”。

2011-2012(2)

曲线的讨论

o抛物样条曲线的性质

•节点是两段曲线的过渡处，是决定整个曲线是否光滑的

关键之处。

，•所以，一般都是拿两段曲线在节点处的导数是否相等来

衡量曲线是否光滑，并以导数的阶次来评定光滑的程度。

r•假如在节点P处，相邻两个曲线段的一阶导数相等，那

么，就可以称该曲线为一阶（CQ连续。

如果在节点处，不仅两曲线的一阶导数相等，而且二阶

导数也相等，那么，就可以称该曲线二阶（C2）连续。

以此类推到更高阶次连续的意义。

2011-2012(2)

曲线的讨论

O抛物样条曲线的性质

•显然，连续的阶次越高，曲线越光滑。

•但太高的连续阶次会给设计工作和制造工作增加难度，

提高成本。

•所以，不必盲目地提高连续的阶次，只要能满足使用要

求就可以了。

•在实际的工程应用中，一般达到C2连续就足够了；对

于一般场合，达到O连续就可以了。

•下面，依据上述的判定方法和标准，来简单讨论抛物样

条曲线的连续性问题。

2011-2012(2)

曲线的讨论

O抛物样条曲线的性质

设两曲线段《.+1⑺和Pj+2«）在节点P处相连。在P点

处，尸汁1（。的参变量，=0.5,而曲线尸在2（。在P点处

的参变量，=0。两曲线对，微分求值得：

P'/+i«)=(-12f+8f-1)巴+(36d_20。Pj+i

2

+(—36P+16t+l)Pz+2+(12r-4t)Pi+3

=Pj+3—Pj+iD.5

f222

P/+At)=(-l2t+St-l)P.+1+(36r-200PM

+(—36?+16,+l)Pz+3+(12f-4t)Pi+4

=

々+3—Pj+1片0

2011-2012(2)

曲线的讨论

O抛物样条曲线的性质

•因此得出

尸品(0・5)=尸*(0)

说明抛物样条曲线可以达到C1连续。照此方法,

可以检验抛物样条曲线能否达到C2连续。

2011-2012(2)

Z抛物样条曲线的算法程序如下:

2001

voidparspl(intp[][2],intn,intk,inte)

{//P为型值点的坐标数组，n为型值点数，k为插值

数，即是把参变量，区间细分的份数。

intx,y,i,j,m;

floattl,t2,t3,t,a,b,c,d;

2011-2012(2)

if(e==l)〃自由端

{m=n；

2001p[0][0]=p[l][0]；p[0][l]=p[l][l]；

p[n+l][0]=p[n][0]；p[n+l][l]=p[n][l]；

}

else//画封闭曲线

{m=n+l；

p[0][0]=p[n][0]；p[0][l]=p[n][l]；

p[m][0]=p[l][0]；p[m][l]=p[l][l]；

p[m+l][0]=p[2][0]；p[m+l][l]=p[2][l]；

}

t=0.5/k；

moveto(p[l][0]9p[l][l])；

2011-2012(2)

for(i=0；i<m-l；i++)

{for(j=l；j<k；j++)

{=t3=t2*tl；

2001

a=4.0*t2—tl—4・0*t3；

b=LO—10.0*t2+12.0*t3；

c=tl+8.0*t2—12.0*t3；

d=4.0*t3—2・0*t2；

x=a*p[i][O]+b*p[i+l][O]+c*p[i+2][O]+d*p[i+3][0]；

y=a*p[i][l]+b*p[i+l][l]+c*p[i+2][l]+d*p[i+3][l]；

lineto(x9y)；//连接Pj+i和Pj+2之间的各插值点

)

lineto(p[i+2][0],p[i+2][l])；//连接Pj+2点

}

2011-2012(2)

2001o常见二次曲线的绘制

o抛物样条曲线

O三次参数样条曲线

oBezier曲线和B样条曲线

oBezier曲面和B样条曲面

o实验曲线的绘制方法

2011-2012(2)

三次参数样条曲线

背景

2001O

三次参数样条曲线，主要适用于船舶、飞机和汽车等外

形设计中的数学放样工作。

•在放样过程中，放样员为了在各指定的数据点之间产生

一条光滑的曲线，用称作“压块”的铅块来定位，然后

让一根富有弹性的细木条或塑料细长杆（称作样条）依

次——通过这些压块。

由这样一根细长的富有弹性的杆条所描绘出来的曲线应

该是光滑的。

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三次参数样条曲线

2001O曲线生成原理

•改变压块的数量和位置，让样条通过这些不同的压块

(即型值点)，就能产生不同形状的曲线。

•假如把实际的样条看成是一根弹性细杆，把压块看成是

支点，则从材料力学中的欧拉方程可以得至1如下关系式

M(x)=EI/R(x)

•式中：M㈤是弯矩，E是杨氏弹性模数，I是惯性距，

A㈤是曲率半径。

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三次参数样条曲线

O曲线生成原理

对于较小的曲率，即在小挠度的情况下，A㈤可用1/y”

来代替，于是可以得到

y"=M(x)/EI

弯矩方程M㈤是什么？假如把压块看成是简支点，那么,

在两个压块之间的样条段就可以看成是一根简支梁。

•如果把样条上的受力情况简化成集中载荷，那么，其弯

矩M刈就是简支点之间的线性函数。其形式为：

M(x)=ax+b

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三次参数样条曲线

O曲线生成原理

然后，把方程M(x)=Ely”积分两次，就可以得到一个

三次多项式。

这说明，实际上的样条曲线是由两个支点之间的三次多

项式所描述的。

而通过所有支点的样条曲线，就是由这一1段一段的三次

多项式曲线按照一定的要求连接起来的。

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三次参数样条曲线

O分段三次参数样条曲线的数学表达式

三次参数样条曲线由分段的三次多项式来描述。假如

我们设其参变量为八则分段三次参数样条曲线表达式的一

般形式可以写成：

尸（。=当++吗

B2tP+4/3（0<^W）（6-13）

其中的尸也尸似4）y（Qz（4）］,可以看作是参数样条曲

线上某一点的位置向量，4.是该点相应的参变量，它的三

个分量：x（4）,MX）,z（4）可以看作是点的坐标值。

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三次参数样条曲线

巡3o分段三次参数样条曲线的数学表达式

式(6-13)中的四个系数星，Bv鸟和居是待定的，即是说

方程中有四个未知数。

为了把式(6.13)具体化，必须确定这四个系数，显然，

这需要设定四个独立的条件。

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三次参数样条曲线

C分段三次参数样条曲线的数学表达式

这四个独立的条件是：

①整个曲线通过所有的型值点，而对于每个曲线段来说,

它通过两个相邻的型值点。

②把这两个点作为该段曲线的起点和终点，设为P］点和色

③并且假定曲线段在两端点处的切矢为已知，分别设为P\

和P%，因为曲线段和曲线段要相连。

④曲线的参变量，是在两个端点取值tl和t2之间变化，为了

简化计算，设定=

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三次参数样条曲线

茎a©分段三次参数样条曲线的数学表达式

尸1(r=0)

设定端点条件

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三次参数样条曲线

陷。分段三次参数样条曲线的数学表达式

在这样的前提下，对于每一个三次曲线段，就有了四个独立

条件，它们是：两个端点的位置向量及曲线在两端点处的切矢。

于是，根据这四个条件，就可以求出分段表达式(6-13)中的四

个系数。

P(t=O)=Pl=昂+4,+2P+吗,3=国

r2

^(t=0)=P\=B2+lB3t+3B4t=B2

P(t=tz)=P?=B[+B2t2+B3t^+

P(t=t2)=P'2=B?+2B3t2+3凡年

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k三次参数样条曲线

押囱。-分-段-三-次参-数-样-条-曲-线的-数-学-表-达式

W将BrB2代入可求得：

=3（尸2—舄）2PlP\

鸟-f2f2t2

，212l2

2(4尸2)

+P\+乌

2=t3t2t2

l22l2

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三次参数样条曲线

9。分段三次参数样条曲线的数学表达式

V现在，已经求出了4个系数，所以，分段三次参数样条

曲线的表达式就可以确定为：

P(t)=占+町+A/+鸟尸

3(尸2一尸1)

=尸］+尸+

f2

12

2(P「尸2)P\P’2

----------------------+-----------+-------

t3f2t2

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三次参数样条曲线

题:O分段三次参数样条曲线的数学表达式

(推导表达式的全过程是根据一般的情况进行的，仅设定曲线

概的两个端点位置和两端切向矢量，除此之外，没有附加任何

其他条件。所以，它可以推广到任何两个邻接型值点之间的曲

线段。

假设，其中的任一段曲线为舄⑺(i=l,2,…则舄⑺

的表达式为：

P/+P'~\

「3(P.+1-P)2P；+以」,2「2(-P,+1)I2+1.

PC)=P.+P't+————-

32

t.7+y1tZ.+l,tz.+l,

式中：0/4+i，i=l，2,…,n・L取4+i为分段曲线的弦长。

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三次参数样条曲线的表达式

O设定连接条件

对于任意两个相邻节点之间的样条曲线段，前面已经

推导出它的表达式。那么，对于必须通过所有型值点的整

条曲线该如何表达？是否可以分别求出各个分段曲线，然

后把它们首尾连接起来？

实际上的过程确实是这样，但是这种连接不是简单地

接起来就行的，而是必须有一个约束条件，以保证连接以

后的整条曲线是光滑的，即必须达到某阶的连续指标。因

为，该三次参数样条曲线是一条三次曲线，所以，一般假

设要求每段曲线在节点连接处需要达到二阶连续。

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三次参数样条曲线的表达式

O设定连接条件尸⑺=昌+即+而+B/

,假设给定了任意3个相邻的型值点尸1、尸2、尸3，以

及曲线在两端点处的切向矢量尸1和P,3o

为了满足设定的曲线段连接的约束条件，达到二阶连

续，那么，曲线段在节点尸2处的二阶导数尸”⑺必须相等。

而曲线的二阶导数表达式为：

H

P(t)=2B^6Bdt

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三次参数样条曲线的表达式

O

设定连接条件P"⑺=2B3+6B4t

V在曲线鸟尸2段，鸟点为终点，该处的参变量，=%因此：

n

P2=2B3+6B4t2

在曲线P2P3段，鸟点为始点，该处的参变量，=。，因此：

ff

P2=2B.

上面两个尸“2应该相等（但两式中的两个人是不相等的，它们

分属于两段不同的曲线段）。用系数用的表达式代入可得：

「3（尸「2/+匕〕「2（尸「尸2）7+匕1「3（舄-尸2）2P；+P1

2---------------------+6-----------+--------乙=2-----------------------

23222

_’2‘2I”2'2'3’3_

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三次参数样条曲线的表达式

用父3同乘两边并经归并整理可得：

匕尸J+2.3+%）尸2,+[2尸；=3「L（尸3-尸2）+—CP2-优）

_”3，2_

写成矩阵表达式：

「万门

「

上32（%+J）%]M尸2'I=3「—J（尸3一尸2）+。J（尸2一尸1）!

IItt

[Ri32

在上式中，除了P%以外，均为已知数。所以，解所列之方程，

便可求得曲线的内部节点尸2处的未知切向矢量P’2。另外，因为是

以保证两曲线段PlP2和P2P3连接时要达到二阶连续为约束条件来

推导的，这就必然使得曲线PiP2P3在02处的二阶连续成立。

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三次参数样条曲线的表达式

dO连续表达式

I同样，也可以把上式推广到一般的情况，即可应用于任意3

个相邻的型值点舄、舄+i、Pi+2,得到一般情况下的表达式如

下所示。

「％”J1

印+2（丁2+%）尸？=3-尸"2-尸Q+―尸二-PJ

_"i+2/■+1

因为，上式可以适用于任意3个相邻型值点之间组成的样条

曲线段，那么，对于整个由n个型值点决定的曲线，可以写出

n-2个如上式所示的方程式。因此，式中i的取值范围可以是从

1到n-2。

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三次参数样条曲线的表达式

2001O连续表达式

这n・2个方程式可以联合用如下所示的矩阵形式来表示

成一个线性方程组。

It2t\

3一（乙—乙）+—（P2-P.）

32（外+G1「81

「八G

尸』3—（P-尸3）+—（^3-02）

，42（。+，3）”3I4

?4%.

152&+Q）

「L%1

3,（乙-P3）+上（尸4-尸3）

M，4J

2区+。一）J」"；」

「r,t

3q（P“-Pj）+q（P“_「P,,_2）

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三次参数样条曲线的表达式

o连续表达式

上述线性方程组内包含了n・2个独立的方程，但其中

含有n个未知数，即尸’2，…，Pn。这些未知的切

向矢量在前面推导的过程中是假设为已知的，显然，这是

一个不定的线性方程组。

但是，如果事先给定整条曲线始、末两端点的切向矢

量Pi和尸二作为约束条件，那么，就只剩下了n・2个未知

数：尸’2，尸’3，…，尸11。n・2个独立的方程求解n・2个

未知数，故可确保该线性方程组有唯一解。于是，可以求

出所有节点处的切向矢量尸1(，=2,3,-,n-l)。

2011-2012(2)

三次参数样条曲线的表达式

利-----------------------------------------------

N©连续表达式

‘这样，每个三次曲线段的条件都得到了满足，这些曲

线段共有段，它们依次连接在一起，并且在连接处能

保证达到二阶连续。这样，就最终生成了整条三次参数样

条曲线。

2011-2012(2)

解题过程

O端点条件

f为了能够唯一地求解这个线性方程组，必须事先指定

始、末两端的切向矢量作为已知条件，从而可使方程组有

唯一解。

这种做法也就是确定端点条件，或者叫做“边界条

件”。下面，介绍两种常用的端点条件：夹紧端和自由端。

2011-2012(2)

解题过程

雪。夹紧端

由直接指定整个曲线的始、末两端点的切向矢量尸1和p;

来获得，从而使得线性方程组可以改写成如下的形式:

「1