2020-2021学年贵州省贵阳市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年贵州省贵阳市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知集合4={%|伍%工1,%eR},B={x\\x\<2,xEZ},则4八8=（）

A.{1,2}B.{-2,-1,0,1,2}

C.（0,2]D.[-2,2]

2.已知扇形的周长为8+n,圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）

A.8B.J3C.4D.2

3.已知向量为=(L%2),b—(—2,y2—2),若济3共线，则%y的最大值为（）

A.2V2B.V2C.1D.坦

2

4.cos72cos12°+sin720sinl20=()

A.cos84°B.sin84°c.0D1

…、『修一碱微+11a鬻嘻1既如』，燃。第一孑:於崂：..

5.已知演城，=”"满足对任意同串与渚B有",以忌‘显著御成立,那么摘

M白鳖既甯一通

的取值范围是（）

A.0寓B.a|]|C.（1,2）D.仙内磁

6.1£17170%0510。（1-V^tcm20。）的值为（）

A.—1B.1C.—2D.2

7.定义在R上的函数/"（%）=e因+InV^Tl，且f（久+t）>fO）在％£（-1,+8）上恒成立，则关于

久的方程/'（2久-1）=/（t）-e的根的个数叙述正确的是（）

A.有两个B.有一个

C.没有D.上述情况都有可能

8.设a=log。/,b=2.3-0-3,c=0.7-32,则a,b,c的大小关系是()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

9.已知a=Inn,b=log32,c=0.3/，则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

10.已知tana=3,贝ijtan(45。-a)=()

41

A.1B.0c-D.

5一2

二、单空题(本大题共4小题，共16.0分)

11.函数/XW=©2x+i+1的图象恒过定点.

12.若钎蟒jz，则g钝,他=__________.

:强声遇I他,1=靖；rj

13.设向量五=(sinl5。,cosl5。)，b=(cosl5°,sinl5°y则向量为+3与方一3的夹角为.

14.如果关于％的不等式忸-喇小忸-鬻阈四的解集不是空集，则实数Q的取值范围为.

三、多空题(本大题共1小题，共4.0分)

15.已知tcma=2,则邛\"°sa=,sin2a+sinacosa=.

sina+cosa

四、解答题(本大题共5小题，共40.0分)

16.已知函数/(无)=cos(2x-g)+2sin(x-?)sin(久+$

(I)求函数/(%)的最小正周期和图象的对称轴方程；

(口)求函数/(%)在区间［0,自上的值域.

17.已知函数0,且任意的0

S

(1)求凶、凶、叵］的值；

(2)试猜想0的解析式，并用数学归纳法给出证明.

18.已知在AaBC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,向量沅=(sinC-s讥4sinC-sinB)与元=

(b+c,a)共线.

(1)求角B的大小；

(〃)若6=2百，c=V6+V2-求△ABC的面积.

19.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，

在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%.

(1)从2015年起，经过x年的研发资金为y万元，写出y关于x的函数解析式;

(2)从哪一年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元？(参考数据：m1.12=0.05,lgl.3=0.11,

lg2=0.30)

20.已知记=2),n=(2cosx,cos2x),函数/'(%)=行•元，

(1)求函数/'(%)的值域；

(2)在△4BC中，角4,B,C和边a,b,c满足a=2,f(4)=2,sinB=2sinC,求边c.

参考答案及解析

L答案：A

解析：»：A={x\O<x<e},B=[-2,-1,0,1,2),

A={1,2}.

故选：A.

可求出集合4B,然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的单调性和定义域，绝对值不等式的解法，交集的运

算，考查了计算能力，属于基础题.

2.答案：C

解析：

本题重点考查了扇形的面积公式，属于基础题.设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，

求出半径，然后求出扇形的面积.

解：设扇形的半径为r,弧长为1,则

扇形的周长为，+2r=8,

二弧长为：ar=2r,

r=2,

根据扇形的面积公式，得

$=沏2=4,

故选C.

3.答案：D

解析：解：,•・向量为=(I,/),=(-2,y2-2),a,4共线,

•••y2—2—(―2)x2=0,

解得：—+%2=1,

2

=cosa,y=dlsina,

则%y=cosa-yflsina=^-sin2a<亨・

孙的最大值为争

故选：D.

由石共线，利用向量共线定理可得：2x2+y2=2,令x=cosa,y=y[2sina＞可得xy=当sin20c.

本题考查了向量共线定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

4.答案:D

解析：解：cos72cos12°+sin72°sinl2°=cos(72°—12°)=cos60°=

故选：D.

由已知利用两角差的余弦公式化简即可求解.

本题主要考查了两角差的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

5.答案：A

轨Wo.&*

由于里正?超常w,可知函数煲砌在度上为单调递函数，所以有

解析：试题分析:

।

；塞一：碰;静蚓,解得实数摘的范围为二.甯F国.故正确答案为a

上罢一加ba#排

'A¥

考点：1.函数的单调性;2.一次函数、指数函数的性质.

6.答案：B

解析：解：tan70°cosl0°(l—y/3tan20°')=—tan70°cosl0°(y/3tan20°—1)

cos20°V3sin20°

-s-i-n2-0-°-coslO°(i--c-o-s-2-0-°-----1))

cos20°,V311

=—2■--c-o-sl-O-°(—sin20°--cos20°)---——

sm20°i227COS20°

cos20°1

-2———cosl0°(sin20°cos30°—cos20°sin30°)---

sin20°

—2sinl00cosl00

sin200

1

故选：B.

先把切转化成弦，进而利用两角差的正弦公式和二倍角公式对原式进行化简整理，求得答案.

本题主要考查了三角函数恒等变换及化简求值.

7.答案：A

解析：解：由于函数/(x)=)利+InV*+1为偶函数,

且在(0,+8)上单调递增，如图所示.

，函数+t)=e'x+fl+lnj(%+t)2+1.

・・,/(%+t)>/(%)在％e(-1,+8)上恒成立,

函数y=f(x+t)在(一1,+8)上的图象位于y=f(x)

的图象的上方.

当％=—1时，/(X+t)=JT+tl+lnj(-l+t)2+l,

/(%)=JTI+ln7(-l)2+l,

由/(%+t)=/(%),

可得+lnj(—1+t)2+1=+lnj(—l)2+1,解得力=2.

故需把函数f(%)=?田+InV^不I的图象至少向左平移2个单位，

才可得到函数y=/(%+£)的图象，2,

•••/(t)-e>/(2)-e>1.

由于函数y=f(2x-1)的值域为［1,+8),

故函数y=f(2x-1)的图象和直线y=/«)-。有2个交点，

・,・关于1的方程f(2%-1)=/(t)-e的根有2个，

故选：A.

根据函数f(%)的奇偶性和单调性之间的关系，确定t的取值范围，然后根据函数/(%)和y=/«)-c的

关系，即可求出方程根的个数.

本题主要考查方程根的个数的判断，利用函数的单调性和奇偶性的关系判断珀勺取值范围是解决本题

的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想，综合性较强，属于中档题.

8.答案：B

解析：解：♦・•Q=logo.73<0,0<b=2.3-0,3<1,c=0.7-3,2>1.

­•c>b>a.

故选:B.

利用对数函数与指数函数的单调性即可得出.

本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题.

9.答案:A

解析：Inn>Ine=1,^=log3-j3<log32<log33=1,0.3丧<0,3,

a>b>c.

故选：A.

可以得出)兀>1,|</。明2<1,0.3低<0,3,从而可得出a,b,c的大小关系.

本题考查了对数函数和指数函数的单调性，对数的运算性质，增函数和减函数的定义，考查了计算

能力，属于基础题.

10.答案：D

解析：本题考查的是三角函数的公式。

]tana

有题意知：tan(45°-«)=~=12=_1；故选。。

1+tan«42

11.答案:(-|,2)

解析：

本题主要考查指数型函数的图象经过定点问题，属于基础题.

令指数等于零，可得函数的图象恒过定点的坐标.

解：•.・函数/'(XiMGyx+i+i,

令2%+1=0,得x=—

可得它的图象恒过定点2),

故答案为：(-|,2).

12.答案:—4

解析：试题分析：由睛W=案且:物*酸得硼=整点=管

**4

所以独倒逑,=%螂nT=黛@皑5鬻=—崛®峭=-4

§身岁_：1'

考点：指数与对数运算.

13.答案：90°

解析：解：3=(s讥15°,cosl5°),b=(cosl5°,sinl5°)，

••・方+b=(sml5°+cosl50,sinl50+cosl50)，

a—b=(sml5°—cosl50,cosl50—sml5°).

v(a+b)•(a-h)=sin215°—cos215°+cos215°—sin215°=0.

.•・向量为+石与五-石的夹角为90。.

故答案为：90°.

由已知向量的坐标求得向量1+石与五-3的坐标，再结合两向量的数量积为0得答案.

本题考查平面向量的坐标加减法运算，考查由数量积求夹角公式，是基础的计算题.

14.答案：：0融:臧：

解析：试题分析：依据绝对值的几何意义忸-喇宁忸-蜀表示数轴上表示X的点到10与20的距离

之和，借助数轴可知其和？£1胸，要满足忸-！:什忸-塞k逊的解集不是空集，所以陶泡鲍

考点：绝对值不等式

点评：本题还可以通过函数来求解，设,翼礴=归-测n■归-翔®，用I=僦，不等式有解即在,到国

图像下方有篦土族图像，画图得碱的范围

V¥

15.答案：—|

6

5

解析：

本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.

直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解.

解：由比1几0=2,

彳日si?ia-3cosatana-32-31

sina+cosatana+12+13

.siiCa-|-siiifuxjsnfaira-Ftaiin6

sin7a+sinacosa=7-5-------=

sin*a+catratan^a+15

故答案为：—p

16.答案：解：(1)・・,/(%)=cos(2%—9+2sin(%一9sin(%+f)

344

=^cos2x+^-sinlx+(sinx—cosx)(sinx+cosx)

=-cos2x+—sin2x—cos2x

22

=sin(2x—卜)

，周期7=争=兀.

由2%—m=kji+g(/cEZ),得：x=—+—(/cGZ)

6223

・•・函数图象的对称轴方程为久=4+强eZ)

(2)0<%0<2%<7T

<2%—-<-7T<sin(2x--)<1

66626

值域为

解析：(1)利用两角和与差的正弦、余弦公式，可将/⑺=cos(2x-$+2s讥(久一》sin(x+W)化为

/(%)=|cos2x+^-sin2x—cos2x>再利用辅助角公式整理为/(%)=sin(2x—^),从而可求得最小

正周期和图象的对称轴方程；

⑵由久e[0苧，可求得一三2%—泮"，利用正弦函数的图象与性质可求函数/(x)在区间[0方上

的值域.

本题考查两角和与差的正弦与余弦，关键在于掌握两角和与差的正弦与余弦公式并灵活运用，属于

中档题.

17.答案：⑴0(2)0

解析：试题分析：(1)S，

□

□4分(2)猜想：区6分

用数学归纳法证明如下：

①当九=1时，回，二猜想正确；7分

②假设当□

那么当□

所以，当S时，猜想正确；

由①②知，对0正确,13分

考点：本小题主要考查归纳推理和数学归纳法的应用.

点评：应用数学归纳法解决问题时，要注意从九=卜到n=k+1推导时，一定要用上归纳假设.

18.答案：解：(I)AABC中，向量记={sinC—sinA,sinC-sinB)与运=(b+c,a)共线，

・•・af^sinC-sinA)—(b+c)(sinC-sinB)=0,

由正弦定理得Q(C-a)-(h+c)(c-b)=0,

整理得M+c2—b2=qc,

由余弦定理得c”B=Wac_1

2ac2'

B=71

3

(〃)由正弦定理上=

sine'

徨.》csinB(V6+V2)--V6+V2

^sinC=------=------ki=-------'

b2V34

・••cosC=±V1—sin2C=土乃一R

当…”

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinB

V3V6-V2,1V6+V2V2

=-------------1-----------=一；

24242

・•.△ABC的面积为：

SRABC=\bcsinA=|x2V3x(V6+V2)xy=3+V3：

当cosC=—三时，

4

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

V3V2-V6,1V6+V2V6-V2

=—X--------1—x--------=--------，

24244

・•.△ABC的面积为：

S〉ABC=-besinA=-x2A/3X(V6+V2)x'.=V3；

224

综上，△ABC的面积为3+E或8.

解析：本题考查了平面向量与解三角形的应用问题，也考查了计算与转化能力，是综合题.

(I)平面向量的共线定理以及正弦、余弦定理，求出B的值；

(〃)由正弦定理求出s讥C、再由平方关系求出cosC,利用三角形内角和定理求出sirtA,再计算△ABC

的面积.

19.答案:解：(1)由题意得：y=130(1+12%)。

(2)设2016年为第一年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第葭年，

由题意可得：130(1+12%)n>200,

伍2T01.30.3-0.11

则几>