奥数训练-位值原理

¥5-7T.位值原理

即吹账簿目掘

1.利用位值原理的定义进行拆分

2.巧用方程解位值原理的题

位值原理

当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我

们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅

人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们

必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这

就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个

数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数

字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左

边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在

就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就

是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表

示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位

值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef=aX100000+6X10000+cX1000+dX100+eX10+£

3.解位值一共有三大法宝：(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式

(2)利用十进制的展开形式，列等式解答

(3)把整个数字整体的考虑设为x,列方程解答

朋第上做题潟窗

模块一、简单的位值原理拆分

【例11一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100o这个两位数的各位数字的和

是。

［例2］李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的

年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是?（注：老师年龄都在20岁以上）

【例3］把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98.如

果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是.

【例4］几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于

16,如果十位数字加1,则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大

陆是在公元年。

［例5］小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和.问：他今年多少岁？

【例6］将一个数A的小数点向右移动两位，得到数Bo那么B+A是B-A的倍。（结

果写成分数形式）

【例7］一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位

数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。

【例8］一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是

7,试求它们的差。

［例9］三位数％比三位数仍〃小99,若a,b,c彼此不同，贝!最大是

【例10】一个三位数abc与它的反序数而的和等于888,这样的三位数有个。

【例111将2,3,4,5,6,7,8,9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组

成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是

【巩固】用1,2,3,4,5,7,8,9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是

【例12］在下面的等式中，相同的字母表示同一数字，若46cd=口997,那么口中应

填。

【例13］某三位数"c和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差;

【巩固】7与应的差被9除，商等于与的差；

【巩固】7与应的和被11除，商等于与的和。

［例14］xy,zw各表示一个两位数，若孙+zw=139,则x+y+z+w=。

【例15】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数.如果原来的两位

数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？

【例16】一个两位数的中间加上一个0,得到的三位数比原来两位数的8倍小1,原来的两位数

是O

【例17】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008,则所有这样的四位数之和为多少.

【巩固】已知必cd+必c+ab+a=137O,求。灰'd.

【例18】abed,abc,ab,a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足

abed—abc—ab—a=1787,则这四位数或。

【例19】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数）,

新数比原数大8802.求原来的四位数.

【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数.现有一个四位数码互不相

同，且没有0的四位数它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大4338.求这

个四位数.

【例20]如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这

个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9X9+(9+9)=99。可以证明，

所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。

【例21】聪聪和明明做猜数游戏，聪聪让明明任意写出一个四位数，明明就写了明年的年号

2008,聪聪让明明用这个四位数减去它各个数位上的数的和，明明得到

2008-(2+0+0+8)=1998,聪聪又让明明将所得的数随便圈掉一个数，将剩下的数说

出来，明明圈掉了8,告诉聪聪剩下的三个数是1,9,9o聪聪一下就猜出圈掉的是8,

明明感到莫名其妙，于是又做了一遍这个游戏，最后剩下的三个数是6,3,7,这次明

明圈掉的数是多少，聪明你猜出来了么？

【例22】设八位数A=%具有如下性质：的是A中数码0的个数，%是4中数码1的个

数，……，%是人中数码7的个数，则4ZQ+Q]+做+CL-]—o

%+%+%=，该八位数A=o

模块二、复杂的位值原理拆分

【例23】有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554,

那么这3个数字分别是多少？

【巩固】有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886,求所有这样的6个三

位数中最小的三位数的最小值.

【例24】从1〜9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数

之和是3330,则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？

【例25】用1,9,7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多

少？

[例26]a,b,c分别是09中不同的数码，用a,b,c共可组成六个三位数，如果其中五个三

位数之和是2234,那么另一个三位数是几？

【例27】在两位自然数的十位与个位中间插入0〜9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数,

有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这

样的三位数。

【例28】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看

到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处

两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这

个三位数首末两个数字交换所得的三位数。

【例29】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加

写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3,则可得到一个

四位数.将这两个三位数和一个四位数相加等于3600.求原来的两位数.

【例30］将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4x3x2x1=24）.将这24

个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二

个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000~4000之

间.求这24个四位数中最大的那个.

【例31】记四位数痂为X,由它的四个数字a",c,d组成的最小的四位数记为X*,如果

X-X*=999,那么这样的四位数X共有个.

【例32】9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是looo,looi,1002,“吆❷❷❷.小明发现

他的考号是8210,而他的朋友小强的考号是2180.他们两人的考号由相同的数字组成

（顺序不一样），差为2010的倍数.那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为

2010的倍数）共有对.

【例33］有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12,各个数位上的数字之积是30,所有

这样的三位数的和是多少？

【例34】一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和，求这个三位数是多少？

模块三、巧用方程解位值原理

【例35］有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写

在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414,求原来的两位

数yltr.。

【巩固】有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在

它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999,求原来的三位数。

【例36］如果q6x7=a06,那么ab等于几？

【例37】已知1+2+3++n5>2）的和的个位数为3,十位数为0,则〃的最小值是

【例38］把7位数2ABCDEF变成7位数ABCDEF2,已知新7位数比原7位数大3591333,聪

明的宝贝来求求：（1）原7位数是几，（2）如果把汉罡拼暨母顺序编为1〜26号，且

以所求得原7位数的前四个数字组成的两个两位数万和死所对应的拼音字母拼成一

个汉字，再以后三个数字〃，E,户分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两

个汉字组成的词。

【巩固】把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个四位数的右端也得到一个五

位数,已知这两个五位数的差是22122,求这个四位数。

【例39］如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加All11,这里/表示一个看不清的数