期末高频考点第07讲 异面直线、线面角与二面角-2021-2022学年高一数学下学期《考点·题型·密卷》期末精讲精练高效复习专题（人教A版2019必修第二册）

期末高频考点第07讲：异面直线、线面角与二面角高频考点梳理考点一、异面直线所成的角①两条异面直线所成的角θ∈（0，π2②当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。考点二、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。（2）范围：斜线与平面所成的角θ的范围是0≤θ≤90°（3）求法：作出斜线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。考点三：二面角技巧一、定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例：在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝eq\r(3)，求二面角V－AB－C的大小.解取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴VD⊥AB且VD＝eq\r(3)，同理CD⊥AB，CD＝eq\r(3)，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.技巧二、三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.例：如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.解取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，垂足为点D，由已知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.设SA＝AB＝2，则SB＝BC＝2eq\r(2)，AD＝eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，SC＝4.由题意得AE＝eq\r(3)，Rt△ADE中，sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值为eq\f(\r(6),3).技巧三、垂面法作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.例：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.解∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2eq\r(2).∵AB⊥BC，∴AC＝2eq\r(3)，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.高频题型归纳题型一：异面直线所成的角1．（2021·甘肃武威·高一期末）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角（）A．90° B．60°C．45° D．30°2．（2021·内蒙古·集宁二中高一期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=4，CD=3，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．3．（2021·山东青岛·高一期末）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．题型二：线面角4．（2021·广东广州·高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，､分别为棱､的中点，则与平面所成角的正切值是（）A． B． C． D．5．（2021·江苏·南京市第一中学高一期末）在正三棱柱中，若，则与平面所成角为（

）A． B． C． D．6．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）如图，圆O所在平面，是圆O的直径，是圆周上一点其中，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．题型三：二面角7．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）如图，是以为直径的半圆上一点，垂直于圆所在的平面．（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．8．（2021·河北·衡水市第十四中学高一期末）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．9．（2021·浙江宁波·高一期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，．（Ⅰ）判断点在的位置并说明理由；（Ⅱ）记直线与平面的交点为，求的值；（Ⅲ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的平面角的正切值．题型四：点面距离问题10．（2022·陕西·虢镇中学高一期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点.(1)求证：PB//平面AEC；(2)求D到平面AEC的距离.11．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，平面ABCD，点E是棱PC上的一点.(1)证明：平面平面PBC；(2)是否存在一点E，使得平面BDE？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；(3)若三棱锥的体积是，求点D到平面PAB的距离.12．（2021·山东青岛·高一期末）在如图所示的空间几何体中，平面平面，△与△均是等边三角形，，和平面所成的角为．过点作平面的垂线，垂足在的平分线上．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正切值．专题强化精练一、单选题13．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）如图，在正三棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°14．（2022·福建·泉州五中高一期中）在长方体中，，，点、分别是棱、的中点，、、平面，直线平面，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．15．（2021·广东广州·高一期末）如图，在正四面体中，是底而内一点，则在平面内过点且与直线所成角为的直线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条16．（2021·天津·高一期末）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．17．（2021·江西抚州·高一期末（理））如图，在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．18．（2021·安徽阜阳·高一期末）在正方体中，点为线段上一点，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．19．（2021·山东威海·高一期末）在正方体中，，，分别为，，的中点，为底面上一动点，且直线平面，则与平面所成角的正切值的取值范围为（

）A． B．C． D．20．（2021·江苏·南京市中华中学高一期末）如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则下列说法错误的是（

）A．平面B．C．直线与所成角的正切值为D．平面截四棱锥所得的上下两部分几何体的体积之比为二、多选题21．（2022·河北深州市中学高一期末）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的是（

）A．B．是等边三角形C．与所成的角为D．与平面所成的角为22．（2021·湖南永州·高一期末）如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使面B．二面角的平面角大小为C．的最小值是D．到平面的距离最大值是23．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（

）A．直线与是平行直线B．直线与所成的角为60°C．直线与平面所成的角为45°D．平面截正方体所得的截面面积为24．（2021·河北石家庄·高一期末）已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（

）A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B．无论点在上怎么运动，都有C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且D．当点在上运动时，直线与所成角可以是25．（2021·江苏常州·高一期末）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（

）A． B．C．与成60°角 D．与平面所成角为45°26．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（

）A．棱台的侧面积为B．棱台的高为C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为三、填空题27．（2021·广东茂名·高一期末）如图，正三棱柱的棱长均为2，点M是侧棱的中点，过与平面垂直的平面与侧面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为__________．28．（2021·河北·衡水市第十四中学高一期末）如图，已知二面角，，，，，且，，则二面角的余弦值为______．29．（2021·浙江金华·高一期末）在四棱台中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱上的动点，若二面角与二面角的大小相等．则的长为______．30．（2021·江苏徐州·高一期末）如图，等边三角形SAB为该圆锥的轴截面，点C为母线SB的中点，D为的中点，则异面直线SA与CD所成角为__________．31．（2021·广东深圳·高一期末）如图，在边长为的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为____________.32．（2021·吉林·长春市实验中学高一期末）如图，二面角为，，，，，，，，，平面，则直线与平面所成的角为______．解答题33．（2022·河北深州市中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.34．（2022·西藏·拉萨中学高一期末）三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，O、M分别为、的中点.(1)求证：平面平面；(2)求点B到平面的距离.35．（2021·广东广州·高一期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上一点．(1)证明：平面平面；(2)若为的中点，求二面角的余弦值．36．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）如图，在三棱台中，底面是边长为的正三角形，，，，面面，面面.（1）证明：面；（2）求与面所成角的余弦值.37．（2021·河北张家口·高一期末）在梯形中，，E是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接，，使得平面平面.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成的角；（3）求点A到平面的距离.38．（2021·山东青岛·高一期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点，为边上的一个点．（1）求证：平面平面；（2）记平面平面，求直线与直线所成的角；（3）若为上的动点，与平面所成角的正切值的最大值为，求平面与平面所成的锐二面角的正切值．39．（2021·广东广州·高一期末）如图，垂直于所在的平面，为的直径，，，，，点为线段上一动点.（1）证明：平面平面；（2）当点移动到点时，求与平面所成角的正弦值.40．（2021·云南·罗平县第二中学高一期末）如图，在多面体ABCDE中，四边形BCDE是矩形，△ADE为等腰直角三角形，且∠ADE=90°，=AD=，BE=2．（1）求证：BE⊥AD；（2）线段CD上存在点P，使得二面角P-AE-D的大小为，求三棱锥的体积.41．（2021·浙江温州·高一期末）如图1，是直角三角形，是直角，，是的中点，的平分线交于点，现沿将折成二面角，如图2.（1）若折成直二面角，求的长度；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：1．B【解析】【分析】将原图还原到正方体中，连接SC，AS，可确定（或其补角）是PB与AC所成的角.【详解】因为ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，可将原图还原到正方体中，连接SC，AS，则PB平行于SC，如图所示.∴（或其补角）是PB与AC所成的角，∵为正三角形，∴，∴PB与AC所成角为.故选：B.2．B【解析】【分析】如图所示，设，，，的中点分别为，，，，所以异面直线与所成角即直线与所成的夹角，求出，，，结合余弦定理求出的余弦值，从而可得答案.【详解】解：如图所示，设，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，则，，所以异面直线与所成角即直线与所成的夹角，即或其补角，因为，所以，则，因为平面，所以，所以，则，因为，所以平面，又平面，所以，则，在中，由余弦定理可得：，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为.故选：B．3．C【解析】【分析】作出线线角，由此计算出线线角的余弦值.【详解】设等边三角形的边长为，设的中点为，作出图象如下图所示，由于是的中点，所以，则或其补角是异面直线和所成角，由于为弧的中点，所以，而，所以平面，所以，在中，.故选：C4．D【解析】【分析】利用面，可得就是与平面所成的角，解三角形即可．【详解】解：连接，∵面，∴就是与平面所成的角..故选：D.5．A【解析】【分析】取的中点，设，连接、，证明出平面，可得知与平面所成角为，计算出、的长，可计算出，即可求得的值，即为所求.【详解】取的中点，连接、，设，则，因为为等边三角形，为的中点，则，在正三棱柱中，平面，平面，，，平面，所以，与平面所成角为，平面，，易知，，所以，，故.故选：A.6．A【解析】【分析】首先证明平面，然后可得与平面所成角为，然后可得答案.【详解】因为平面，平面，所以因为，，所以平面所以与平面所成角为因为，所以，所以故选：A7．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证得，直径所对的圆周角为直角证得，再线面垂直的判定定理可证；（2）数形结合，证得即为二面角的平面角，然后在三角形中，利用边角关系求解即可.【详解】解析：（1）因为垂直于圆所在的平面，所以平面，因为平面，所以，因为是以为直径的半圆上一点，所以，又，平面，所以平面（2）连接，在半圆中，因为，所以，又因为是的中点，所以，在内过点作，垂足为点，连接，则面BCD，则为在面的投影，因为，所以，所以即为二面角的平面角，其中，由得，算得，，所以，故二面角的余弦值为．8．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）应用勾股定理求，由线面垂直的性质知，即可求，结合已知及勾股逆定理知，根据线面垂直的判定有面，最后由线线平行及面面垂直的判定即可证平面平面；（2）过作，若是中点，连接，由线面垂直判定有面，可知是二面角的平面角，则二面角为，再根据已知求的余弦值，即可得二面角的余弦值．【详解】（1）由题意，设，则，，，∴，又平面，面，∴，则在△中，，在△中，，则，又面，有，又，故有面，又，分别为，的中点，即，∴面，又面，则平面平面；（2）过作，易知为中点，若是中点，连接，∴，，，故面，即是二面角的平面角，∴由图知：二面角为，易知，则面，面，所以，在△中，，，则，∴，则二面角的余弦值为.9．（Ⅰ）为中点，理由见解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）或.【解析】【分析】（Ⅰ）连结交于，连结，利用直线与平面平行的性质，证得，结合为中点，即可得到为中点；（2）连结，得到，根据点为重心，即可求解；（3）作出异面直线与所成角，取中点，连接，令，由异面直线与所成角的余弦值列出方程，求得的值，过作交于，连结，得到就是所求二面角的平面角，即可求解.【详解】（Ⅰ）连结交于，连结，因为平面，平面，平面平面，则，又因为为中点，所以为中点．（Ⅱ）如图所示，连结，则，因为为的中点，为的中点，所以点为重心，由三角形重心的性质，可得．（Ⅲ）取中点，连结，，取中点，连结，，可得．取中点，连结，，可知，所以或其补角就是异面直线与所成角，如图所示，因为平面平面，平面平面，．所以平面，因此平面．令，，由，且为的中点，可得，在中，可得,由余弦定理，可得，在直角中，，又由分别是的中点，可得，所以，解得，解得或，即或．过作交于，连结，可得平面，所以，所以就是所求二面角的平面角，如图所示，在直角中，可得或．10．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接交于，连接，则可得，再由E是PD的中点，则可利用三角形中位线定理可得∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由已知条件可证明，都为直角三角形，所以可求出，从而可求出的面积，然后利用等体积法可求出D到平面AEC的距离.(1)连接交于，连接，因为四边形为平行四边形，所以，因为点E是PD的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，(2)因为∥，，所以，，因为平面，平面，所以，因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，在直角中，，同理，在等腰中，,取的中点，连接，则∥，，因为平面，所以平面，，设D到平面AEC的距离为，由，得,所以，得，所以D到平面AEC的距离为11．(1)证明见解析；(2)存在，，证明见解析；(3)【解析】【分析】（1）由线面垂直性质知；取的中点，由长度和平行关系可证得四边形是平行四边形，进而利用勾股定理证得，由线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论；（2）由三角形相似，则只需即可根据平行线分线段成比例得到，由线面平行的判定知平面，从而确定存在.（3）利用三棱锥的体积公式及等体积法求出点D到平面PAB的距离即可.(1)平面，平面，．设，则，，．取的中点，连结，则，，又．四边形是平行四边形，，，则，．，平面，平面．平面，平面平面．(2)当点为边上靠近点的三等分点时（即）时，平面．理由如下：连结交于点，连结，，．，，，．平面，平面，平面．(3)因为，，所以,故,又，解得，因为,所以平面PAD，所以,设点D到平面PAB的距离，由，解得.即点D到平面PAB的距离为.12．（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，，易知面，根据面面垂直的性质有面、面，则，由已知可得，则为平行四边形，即可证平面.（2）利用等体积法，求到平面的距离；（3）过作于，连接，由线面垂直的性质及判定得，结合二面角的定义知为二面角的平面角，进而求其正切值.【详解】（1）取中点，连接，，由题意，为的平分线，且，，即在上，连接，∴面，∵面面，面面，∴面，同理，面，又面，∴，又和面所成的角为，即，∴，则为平行四边形，故∴平面（2）设点到平面的距离为，由，∴，即，解得（3）在面内，过作于，连接，∵平面，平面，∴，又，∴平面，又平面，∴，即为二面角的平面角，在中，，在中，，在中，，故二面角的正切值为.13．C【解析】【分析】取BC的中点E，∠DFE即为所求，结合条件即求.【详解】如图取BC的中点E，连接EF，DE，则EF∥AB，∠DFE即为所求，设，在正三棱锥中，，故，∴，∴，即异面直线与所成角的大小为.故选：C.14．B【解析】【分析】利用平行定理对直线进行平移、从而实现在三角形内求解角度．【详解】如图，连接并延长，交线段的延长线于点，连接交于点．则易知．连接，因为，所以异面直线与所成的角为．在中，易得，，，则．故选：B．15．C【解析】【分析】由正四面体各个面都是正三角形，得到在平面内过点有两条直线与成的直线，进而求得答案.【详解】由题意，正四面体各个面都是正三角形，所以在平面内过点有两条直线与成的直线，如图所示，在平面内过点与直线成的直线仅有2条.故选：C.16．A【解析】【分析】根据三棱柱的体积求出棱长，设到平面的距离为，利用以及棱锥的体积公式即可求解.【详解】直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，因为体积为，所以，解得：，设点到平面的距离为，因为，，所以中，边上的高为，则，取的中点，连接，则，因为面，面，所以，因为，所以面，在中，，由，即，即，解得：，故点到平面的距离为，故选：A.17．C【解析】【分析】连接，则直线与所成角即直线与所成角，再根据条件得到为直角三角形，设出长度，即可求解.【详解】解：如图所示：连接，由题意得：，故平面，又平面，故，设，则，，故，，直线与所成角即直线与所成角，，故直线与所成角的余弦值为.故选：C.18．C【解析】【分析】将正方体展开，可知所以当为线段的中点时，最小值，结合正方体的特点，直线与平面所成角为，正切值为，即可得到答案.【详解】将正方体中的正沿翻折至与点共面，如图所示，因为，所以当为线段的中点时，最小值．连接，字正方体中，平面，可得，所以直线与平面所成角为．设正方体的棱长为，则，又点为的中点，所以，．故选：C19．B【解析】【分析】由题意知面在正方体上的截面为且为中点，根据正方体、线面平行的性质，有在上，即与平面所成角为，进而可求其正切值的范围.【详解】由题意，如上图示，面在正方体上的截面为且为中点，∵平面，而面面，∴面，又为底面上一动点，则在上，∴与平面所成角为，当与重合时，最小，此时，当与重合时，最大，此时；∴.故选：B20．C【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A，由线面垂直的性质判断B，求出异面直线所成角的正切值判断C，作出交线，根据组合体体积公式计算体积后判断D．【详解】因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，而平面，平面，所以平面，A正确；平面，平面，所以，所以，B正确；直线与所成角即，在中，C错；取中点，因为是中点，则，所以，即为直线，连接，是矩形，，则，是的中位线，所以，所以，是的中线，，，所以，从而，所以．D正确．故选：C．21．ABC【解析】【分析】对于A，根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的判定定理，再利用线面垂直的性质定理即可求解；对于B，根据直角三角形斜边的中线定理及面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及勾股定理即可求；对于C,根据直角三角形斜边的中线定理及三角形的中位线定理，再结合异面直线所成角的定义即可求解；对于D，根据B选项及线面角的定义，结合等腰直线三角形即可求解.【详解】如图所示对于A，取的中点，连接，折叠后是等腰直角三角形，，，又,所以平面，平面，所以，故A项正确；对于B，设折叠前正方形的边长为，则，，由平面平面，因为是的中点，是等腰直角三角形，所以，又平面平面，平面，所以平面,平面，所以,所以，所以是等边三角形，故B项正确；对于C，设折叠前正方形的边长为，则取的中点的中点，连接，，所以所以是直线与所成的角（或补角），在中，，所以是等边三角形，所以，所以与所成的角为，故C项正确；对于D，由B选项知，平面,是直线在平面内的射影，所以是直线与平面所成的角，因为是的中点，是等腰直角三角形，所以，，所以是等腰直角三角形；即，所以与平面所成的角为，故项错误.故选：ABC.22．AC【解析】【分析】对于A，当与重合时可得结论，对于B，二面角就是二面角，从而可求出结果，对于C，如图沿棱展开面为面，利用两点之间线段最短判断，对于D，当与重合时，点到面的距离最大，从而可求得结果【详解】对于A，当与重合时，，根据线面平行的判定，可得使面，故正确；对于B，二面角就是二面角，其平面角大小为.故错；对于C，如图沿棱展开面为面，使点，，，，，共面，则的最小值为，故正确；对于D，当与重合时，垂直平面，此时点到面距离最大值为，故错.故选：AC.23．BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可判断A、B、C，作出平面截正方体所得的截面即可求出面积判断D.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，．∵，分别为棱，的中点，∴、，则，，∴和不共线，故A错误；∵，，∴，∴，∴直线与所成的角为，故B正确．由于平面的一个法向量为，，∴，直线与平面所成的角为，故C正确；连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，∵棱长为2，∴，，，∴等腰梯形的高为，∴，故D错误，故选：BC．24．AB【解析】【分析】构造线面角，由已知线段的等量关系求的值即可判断是否正确；利用线面垂直的性质，可证明，即可判断是否正确；由重心的性质有可知是否正确；由直线的平行关系构造线线角为，结合动点分析角度范围，即可判断是否正确．【详解】解：直三棱柱中，，，对于：当点运动到的中点是，取为中点，连接，，如下所示：即平面，所以直线与平面所成的角的正切值，，因为，，所以，故正确；对于：连接，与交于点，并连接，如下图所示：由题意知，为正方形，即有面，所以，又，所以面，面，故，同理可证：，又，所以面，又面，即有，故正确；对于：点运动到的中点时，即在中，均为中线，所以为中线的交点，即为的重心，所以根据重心的性质有，故错误；对于：由于，直线与直线所成的角为与所成的角，即，结合下图分析知，点在上运动时，当在或上是，最大为，当在的中点时，最小为，所以不可能是，故错误．故选：．25．BCD【解析】【分析】由正方体的平面展开图还原原正方体，再由正方体的结构特征结合空间角的概念逐个分析判断即可【详解】由正方体的平面展开图还原原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，与异面垂直，所以A错误，，而为在平面上的射影，所以，所以B正确，连接，由∥，，可得四边形为平行四边形，则∥，所以或其补角为异面直线与所成的角，连接，可得为等边三角形，得与成60°角，所以C正确，因为平面，所以为与平面所成角为，所以D正确，故选：BCD26．AC【解析】【分析】由题意作正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，从而得到侧面的高与棱台的高，从而求得．【详解】由题意作右图正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，在等腰梯形中，，，，则，，故棱台的侧面积为，故正确，又三棱台为正三棱台，所以为棱台的高，在中，，，在△中，，故错误，棱台的侧棱与底面所成角为，，故正确，棱台的侧面与底面所成锐二面角为，，故错误，故选：．27．【解析】【分析】取，的中点E，F，根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理证明平面平面，由此确定直线l，再确定直线l与直线所成角，解三角形求其大小.【详解】依题意，分别取，的中点E，F，连接，，，，．因为正三棱柱的棱长均为2，所以四边形为正方形，由点M是侧棱的中点，得．因为平面，所以，，所以平面，所以平面平面，所以过点与平面垂直的平面与侧面的交线l即为．又因为，可得直线l与直线所成角即与所成的角，在中，，，，，所以直线l与直线所成角的余弦值为．28．【解析】【分析】过作，过作，且交于，利用线面垂直的判定知面，即是二面角的平面角，且面，再利用勾股定理、余弦定理求二面角余弦值即可.【详解】过作，过作，且交于，由，易知为矩形，即，，又且，∴面，则是二面角的平面角，易得面，又面，即，而，，∴△中，，∴△中，，.故答案为：29．【解析】【分析】如图作辅助线，可得为二面角的平面角，为二面角的平面角，再根据题意可得，设，建立关于x的方程，解出即可.【详解】由平面，知，又，则平面，过P作，过H作，则平面，平面，过N作，则为二面角的平面角，为二面角的平面角，又，，则，，由题知，，设，则，，，则，解得故答案为：30．【解析】【分析】取AB中点O，连接OC，OD，证明为异面直线SA与CD所成角即可得解.【详解】取AB中点O，连接OC，OD，SO，如图：因点C为母线SB的中点，则CO//SA，于是有异面直线SA与CD所成角是或其补角，又正为圆锥SO的轴截面，D为的中点，则，从而得平面，平面，则，因，平面，则平面，又平面，因此有，而，于是得，所以异面直线SA与CD所成角为.故答案为：31．【解析】【分析】如图，取中点，连接、，利用，即可得就是直线与平面所成的角，解即可．【详解】如图，取中点，连接、，则，∵平面，平面，，平面，，就是直线与平面所成的角，，．故答案为：．32．【解析】【分析】由二面角的平面角的定义得为已知二面角的平面角，并根据面面垂直的性质得为直线与平面所成的角，在中求得此角即可．【详解】因为平面，平面，所以，所以为已知二面角的平面角，即，平面，，所以平面，平面，因此在平面上的射影是，所以是直线与平面所成的角．设，则，又，，所以，，中，，，是三角形内角，所以．故答案为：．33．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；（2）根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解.(1)在矩形中，所以，平面平面平面，，在中，为中点，，，即，又平面平面，平面，又平面平面平面；(2)由（1）知，，平面平面，又平面，平面，又平面，又平面，，平面平面平面，平面，由（1）知为中点，所以到平面距离为，设到平面的距离为，由，即，解得，设直线与平面所成的角为，则则.所以直线与平面所成角的正弦值为.34．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.(2)在三棱锥中，利用等体积法即可求出点B到平面的距离.(1)因，为的中点，则，又平面平面，平面平面，平面，因此有平面，而平面，所以平面平面.(2)在三棱锥中，，且，则，，连接BM，如图，因O、M分别为、的中点，则MO为正的中位线，面积为，设点B到平面的距离为h，由(1)知，平面，可得，又，则的面积，由得：，即，解得：，所以点到平面的距离为.35．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）设，取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，分析可知二面角的平面角为，计算出三边边长，由此可求得的余弦值，即可得解.(1)证明：平面，平面，，四边形为正方形，则，，平面，平面，，，为的中点，则，，平面，平面，平面平面.(2)解：设，取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，、分别为、的中点，则且，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角为，在中，，，，所以，，则，所以，，故，因此，二面角的余弦值为.36．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取、中点、连、，得到，证得面，得到，，从而证得面；（2）连接，以为原点，所在直线为轴建立坐标系，求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】（1）如图所示，取、中点、连、，因为底面是正三角形，可得，又因面面，且面面，面，所以面，又由面，所以，.同理可证：，设，且平面，所以面.（2）连接，由，可得，所以平面，以为原点，所在直线为轴如图所示建立坐标系，可得，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，可得，，所以，则，又由，则，设与面所成角为，则，所以，即与面所成角的余弦值为.37．（1）证明见解析；（2）90°；（3）.【解析】【分析】（1）由，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）由，得异面直线与所成角就是直线与所成角，分别求出的三条边长即可得出答案；（3），利用等体积法即可得出答案.【详解】（1）证明：由题意知，平面，平面，平面.（2）由（1）知，异面直线与所成角就是直线与所成角，，，四边形是平行四边形，，，，原图中，，，在中，由余弦定理得，，折叠后，，，，连接，在中，由余弦定理得，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，在中，，在中，，，异面直线与所成角为90°.（3）由（2）知，，，，、平面，平面，.，设点A到平面的距离为，，，.38．（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析