第 4 章 幂函数、指数函数与对数函数 知识点解读与例析（2）-2021-2022学年高一上学期数学沪教版(2020)必修第一册期末复习VIP

【学生版】《第4章幂函数、指数函数与对数函数》知识点解读与例析(2)知识点4、函数图像关于数轴对称例4、已知函数；（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）画出函数的图像；【提示】【答案】【解析】【说明】关于数轴对称的推广及其几个重要的结论：（一）函数图像本身的对称性（自身对称）1、函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称；2、函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称。3、函数满足的充要条件是图像关于直线对称。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）1、曲线与关于轴对称；2、曲线与关于轴对称；3、曲线与关于直线对称；4、曲线关于直线对称曲线为；5、曲线关于直线对称曲线为；6、曲线关于直线对称曲线为；7、曲线关于点对称曲线为。知识点5、幂函数的严格增（减）性例5、已知，若，则下列各式中正确的是（）A． B．C． D．【提示】【答案】【解析】【说明】知识点6、幂函数图像通过定点：；例6、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则（）A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1知识点7、函数图像的平移变换例7、函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与的图像关于轴对称，则_________4.2指数函数知识点8、指数函数的定义例8、若函数是指数函数，则（）A． B． C．或 D．且知识点9、指数函数的性质例9、求函数的定义域、值域知识点10、指数函数的单调性例10、已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3.（1）若a＝－1，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)的最大值为3，求a的值．知识点11、指数函数的图像特征例11、函数的图像恒过定点__________.【附】指数函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点；(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)；(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势；4.3对数函数4.3.1对数函数的定义与图像；4.3.2对数函数的性质（1）；4.3.2对数函数的性质（2）知识点12、对数函数例12、若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.知识点13、反函数例13、函数y＝f(x)的图像是过点(4，－1)的直线，其反函数的图像过点(－3，－2)，求函数f(x)的表达式知识点14、定理：当，时，；例14、已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a知识点15、对数函数性质例15、已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1；（1）求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的最小值为－4，求a的值；知识点16、对数函数的图像特征例16、（1）如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图像，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？（2）函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图像大致为（）【教师版】《第4章幂函数、指数函数与对数函数》知识点解读与例析(2)知识点4、函数图像关于数轴对称例4、已知函数；（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）画出函数的图像；【提示】注意：函数的奇偶性及其图像特征；（1）根据对数函数的性质得到不等式，解得即可；（2）根据奇偶性的定义判断即可；（3）先作出时，的图象，再由偶函数的图像关于轴对称的性质作出时，的图像，由此能画出函数的图像；【答案】（1）；（2）是偶函数；（3）图像见解析；【解析】（1）因为，所以，，解得．所以，函数的定义域为．（2）因为，，所以，函数是偶函数；（3）由（2）知当时，，当时，，且，所以，先作出时，的图象，再由偶函数的图像关于轴对称的性质作出时，的图像，由此能画出函数的图像，如右图所示：【说明】关于数轴对称的推广及其几个重要的结论：（一）函数图像本身的对称性（自身对称）1、函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称；2、函数满足（为常数）的充要条件是的图像关于直线对称。3、函数满足的充要条件是图像关于直线对称。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）1、曲线与关于轴对称；2、曲线与关于轴对称；3、曲线与关于直线对称；4、曲线关于直线对称曲线为；5、曲线关于直线对称曲线为；6、曲线关于直线对称曲线为；7、曲线关于点对称曲线为。知识点5、幂函数的严格增（减）性例5、已知，若，则下列各式中正确的是（）A． B．C． D．【提示】确定函数在上单调递减，得到函数值的大小关系；【答案】B；【解析】在上单调递减，，故，故；故选：B；【说明】当指数固定，幂函数的单调性性质如下：（1）若，则幂函数的图像通过原点，并且在区间上增函数．（2）若，则幂函数在区间上减函数，在第一象限内，当从右边趋向原点时，图像在轴右方且无线地逼近轴；当趋于时，图像在轴上方且无限地逼近轴；知识点6、幂函数图像通过定点：；例6、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则（）A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞1【提示】注意：幂函数图像经过定点的图像特征【答案】B；【解析】选B.在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”；如图，0＜m＜1，n＜－1；【说明】幂函数的性质：在区间上都有定义，并且图像都经过（1,1）；知识点7、函数图像的平移变换例7、函数的图像向右平移1个单位长度，所得图像与的图像关于轴对称，则_________【提示】注意：图像平移对解析式的影响；由对称变换和平移变换依次写出函数的解析式即可；【答案】【解析】根据题意，与函数的图象关于轴对称的函数为，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为，故答案为：.【说明】常见的图像变化：①一般地，函数（a、b为正数）的图象可由函数的图象变换得到；将的图象向左或向右平移a个单位长度可得到函数的图象，再向上或向下平移b个单位长度可得到函数的图象（记忆口诀：左加右减，上加下减）；②含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换。一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称；③的图象与的图象关于y轴对称，的图象与的图象关于x轴对称；4.2指数函数知识点8、指数函数的定义例8、若函数是指数函数，则（）A． B． C．或 D．且【提示】注意：理解指数函数的定义；【答案】B；【解析】由指数函数的定义，得，解得；故选：B【说明】判断一个函数是指数函数的方法：（1）需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．（2）看是否具备指数函数解析式具有的三个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1；知识点9、指数函数的性质例9、求函数的定义域、值域【提示】注意：利用指数函数的性质进行转化；【解析】要使函数有意义，则x应满足32x－1－eq\f(1,9)≥0，即32x－1≥3－2；因为，y＝3x在R上是增函数，所以，2x－1≥－2，解得x≥－eq\f(1,2)；故所求函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))；当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))时，32x－1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，＋∞))，所以，32x－1－eq\f(1,9)∈[0，＋∞)．则，原函数的值域为[0，＋∞)；【说明】函数y＝af(x)定义域、值域的求法：（1）定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．（2）值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域；【注意】（1）通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集；（2）当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论；知识点10、指数函数的单调性例10、已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3.（1）若a＝－1，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)的最大值为3，求a的值．【提示】注意：转化为若干个初等函数；【解析】（1）当a＝－1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)；（2）令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x)，由于f(x)的最大值为3，所以g(x)的最小值为－1，当a＝0时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－4x＋3，无最大值；当a≠0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(3a－4,a)＝－1))，解得a＝1，所以当f(x)的最大值为3时，a的值为1；【说明】对于指数型函数单调性的一些方法技巧：（1）求形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的单调性的特点：①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域；②当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（2）一般地，在复合函数y＝f(g(x))中，若函数u＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且函数y＝f(u)在区间(g(a)，g(b))或在区间(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在区间(a，b)上的单调性见下表：u＝g(x)增增减减y＝f(u)增减增减y＝f(g(x))增减减增由此可得，复合函数单调性的规律是：同增异减．知识点11、指数函数的图像特征例11、函数的图像恒过定点__________.【提示】利用指数函数恒过点(0,1)性质解题；【答案】【解析】因为，所以，函数的图像恒过定点，故答案为；；【说明】本题是利用指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过定点(0,1)的性质解决y＝ag(x)＋k(k为常数)的恒过定点的问题，此类问题常见解法如下：分别将g(x)，y－k看作整体，令g(x)＝0，y－k＝1，求出(x，y)值即为所求定点．【附】指数函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点；(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)；(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势；4.3对数函数4.3.1对数函数的定义与图像；4.3.2对数函数的性质（1）；4.3.2对数函数的性质（2）知识点12、对数函数例12、若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.【提示】理解与明确对数函数的定义；【答案】1；【解析】a2－a＋1＝1，解得a＝0或1，又a＋1＞0，且a＋1≠1，所以，a＝1；【说明】判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：①系数为1.②底数为大于0且不等于1的常数．③对数的真数仅有自变量x；知识点13、反函数例13、函数y＝f(x)的图像是过点(4，－1)的直线，其反函数的图像过点(－3，－2)，求函数f(x)的表达式【提示】注意：原函数与反函数图像间关系；【答案】由题意，设所求的函数为f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为f(x)的图像过(4，－1)，∴4k＋b＝－1，①又∵f－1(x)的图像过点(－3，－2)，∴－2k＋b＝－3，②解①②可得：k＝eq\f(1,3)，b＝－eq\f(7,3)，从而f(x)＝eq\f(1,3)x－eq\f(7,3)；【解析】本题主要考查了互为反函数的函数图像间的关系及性质；知识点14、定理：当，时，；例14、已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a【提示】注意：指数、对数函数的图像特征与“特殊值”在比较大小中的“巧用”；【答案】D；【解析】由题知，a＝log45＞1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a；【说明】在比较不同低的指数与对数时，注意发挥“0”、“1”的中介作用；知识点15、对数函数性质例15、已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1；（1）求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的最小值为－4，求a的值；【提示】注意：利用对数函数的性质；【解析】（1）要使函数有意义，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＞0，,x＋3＞0，))解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)；（2）函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4；因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4－eq\f(1,4)＝eq\f(\r(2),2)；【说明】特别注意：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数