【不定积分的计算及其应用探究7300字（论文）】

不定积分的计算及其应用研究目录320331.引言 5301822.基本概念 5308402.1原函数的基本概念 521252.2积分的基本概念 6142383.不定积分的计算方法 7237883.1直接积分法 792673.2分步积分法 8302013.3换元法积分法 9251573.4有理化法 10120884.不定积分的计算与应用 10119804.1直接积分法计算不定积分 10268734.2分步积分法计算不定积分 1128564.3换元积分法计算不定积分 13364.4有理化法计算不定积分 15259894.5不定积分的应用 1791084.6定积分的性质 18115895.结论 1922856附录 2031720附录1： 2032264附录2： 2125070参考文献 22摘要：定积分的计算中，不定积分的计算是重要步骤之一，计算不定积分的关键是找到被积函数的原函数，且这种解题思路被广泛地应用于解决实际数学问题之中，如：计算曲边图形的面积、计算曲线经过旋转所构成三维立体图形的体积等问题。在这些问题的基础上，本文首先介绍原函数，不定积分，牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式、定积分等相关概念；在此基础上再介绍不定积分的几种计算方法，如：直接积分法、分步积分法、换元积分法、有理化法等，其中换元法包括了第一换元法和第二换元法。另外还介绍了通过牛顿莱布尼茨公式将不定积分与定积分联系起来；最后通过研究相关实际问题，阐述不定积分在计算内积函数的原函数时所需要注意的问题以及在实际问题当中的应用。关键词：不定积分；分步积分法；换元法；牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式引言微积分作为人类从初等数学跨越到高等数学的标志，在数学发展中起到了很大的作用。中国古代有“割圆术”，这完美体现了微积分的思想。到了现代微积分学中，研究者为了计算定积分的精确值又研究出了不定积分计算方法。作为定积分问题研究的基础，不定积分的计算起到了关键作用。如果没有不定积分的计算方法，那么定积分精确值的计算就难以实现。本文首先在文献[1]、[2]的基础上重述了不定积分、牛顿莱布尼茨公式、定积分的相关概念；其次，把文献[1]、[2]、[3]作为重要参考对象，对不定积分的计算方法进行深入讨论、分析以及在运用中所需要注意的问题；最后，利用牛顿莱布尼茨公式将不定积分和定积分联系起来，运用到解决现实生活或实际数学问题中。解决不定积分的计算问题的关键在于计算出原函数，虽然微分和积分互为逆运算，但是不定积分的计算方法不像微分计算那样有迹可循，有一定的计算法则和规律。对于不定积分的计算则需要根据不同的题型选用不同的方法，其技巧性更强，也需要大量的做题经验。2.基本概念2.1原函数的基本概念根据函数的定义，x是属于非空的集合A中任意的的一个元素，有一个对应关系F使元素x与另外一个集合B中的元素y对应，F:A→B记为F(x)=y，当对F(x)求导时，记为F'(x)=y定义1：[[1]刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁.数学分析讲义（第五版）上册[M].高等教育出版社,2008(5).]设函数fx在区间I有定义，存在函数Fx。若∀x∈I,有[1]刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁.数学分析讲义（第五版）上册[M].高等教育出版社,2008(5).则称函数Fx是fx在区间I的原函数，简称Fx例如我们常见的原函数有：1.∀x∈R，(cosx)'=−sinx，即cosx是−sinx的原函数；2.∀x∈−1，1，(arccosx)由上可见，若函数fx存在着原函数Fx(F'x=fx)，则函数Fx2.2积分的基本概念在定义了原函数之后，紧接着在此基础上可以定义不定积分，其次通过牛顿莱布尼茨公式将不定积分与定积分联系起来。定义2：[NOTEREF_Ref14010\h1]函数fx在区间I的所有的原函数Fx+C（∀C∈R）称为函数fx的不定积分，表示为；fx在平面直角坐标系中，若要计算一个曲边图形（函数表达式为f(x)）的面积时，通常是将这条曲线限制住（即给定一个闭区间[a,b]），随后再将所要求的目标图形无限分，分成n个近似的矩形，那么这个曲边图形的面积就是这n个矩形的面积之和。（即面积为）根据上述和定积分系统的定义，可以将定积分记为：aa和b是定积分的下限和上限，f(x)是被积函数，f(x)dx是被积表达式，x是积分变量。牛顿莱布尼茨公式不止可以计算定积分，而且理论上也将不定积分与定积分联系起来。下面给出牛顿莱布尼茨的定义：定义3[[2]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）上册[M].高等教育出版社,2010(7).[3]李伟.高等数学习题课教程[M].北京:天津大学出版社，2004.[4]陈文灯，黄先开，曹显兵，等．高等数学复习指导——思路、方法与技巧[M]．北京：清华大学出版社,2009（1）.[5]同济大学数学系.微积分（第三版）学习辅导与习题选解[M].高等教育出版社，2010(12).[6]隋振璋，丁亮，刘铭.数学分析选讲[M].科学出版社。2014（8）[7]韩茂安.数学研究与论文写作指导[M].科学出版社，2018(7).[8]WilliiamDunham(编)李伯民,汪军,张怀勇（译）.微积分的历程[M].人民邮电出版社,2010(8).[9]景慧丽,刘华.求不定积分易犯错误分析[J].高师理科学刊,2019,39(9).[10]丁倩倩，探究不定积分的计算方法.[J].贵州大学数学与统计学院，2019（6）[11]陈立莉.不定积分的几种计算方法[J].科技经济导刊,2019,27（10）.[12][2]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）上册[M].高等教育出版社,2010(7).[3]李伟.高等数学习题课教程[M].北京:天津大学出版社，2004.[4]陈文灯，黄先开，曹显兵，等．高等数学复习指导——思路、方法与技巧[M]．北京：清华大学出版社,2009（1）.[5]同济大学数学系.微积分（第三版）学习辅导与习题选解[M].高等教育出版社，2010(12).[6]隋振璋，丁亮，刘铭.数学分析选讲[M].科学出版社。2014（8）[7]韩茂安.数学研究与论文写作指导[M].科学出版社，2018(7).[8]WilliiamDunham(编)李伯民,汪军,张怀勇（译）.微积分的历程[M].人民邮电出版社,2010(8).[9]景慧丽,刘华.求不定积分易犯错误分析[J].高师理科学刊,2019,39(9).[10]丁倩倩，探究不定积分的计算方法.[J].贵州大学数学与统计学院，2019（6）[11]陈立莉.不定积分的几种计算方法[J].科技经济导刊,2019,27（10）.[12]章美月，刘海媛，金花.Mathematica数学软件与数学实验[M].中国矿业大学出版社，2013（6）.a或可记作a在有了相关基本概念之后，接下来就讨论、研究不定积分的具体求法。3.不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，本文主要以直接积分法、分步积分法、第一换元法、第二换元法、有理化法这五种常用的方法为例，进行深入的研究与探讨；其中第二换元积分法用于引出新的积分公式。为了不定积分计算的简便，下面引入积分的运算法则。定理1[NOTEREF_Ref14010\h1]:积分的运算法则((Fafxdx=af[fx3.1直接积分法直接积分法是可以直接通过记忆积分表（见附录1）和利用积分的运算法则直接计算出原函数，此方法适用于同一类函数与另一类函数和、差的形似，或对被积函数先经过恒等变形的形式简单的函数，直接积分法是不定积分中较为简单的计算方法。根据不定积分的定义，设一个函数为Q(x),且函数Q(x)有导数，其导数是q(x)（即Q'x=q(x)），当被积函数为q(x)，被积表达式就为qx若被积函数是一个和、差或者一个常数倍的形式是，可以先利用积分的运算法则，恒等变形为几个不定积分的形式，然后求出这几个不定积分的原函数。设有n个函数Qxnn=1,2,…,n，且这n个函数有导数，其导数是qxn(即Q'xn=qxnn=1,2,…,n)，当被积函数是sin2x+cos在进行了一系列化简后，不能进行计算的据可以考虑用其他方法。3.2分步积分法分步积分法一般适用于两类函数（幂函数、对数函数、指数函数、三角函数和反三角函数）的乘积的形式，通过分布积分公式变为易求的不定积分，是计算不定积分常用的方法之一，分步积分法起到了化繁为简的作用。在遇到可以用分步积分法求原函数时，会用到分布积分公式，而分步积分公式是利用乘积形式的复合函数求导法则推导出的。分步积分公式:设u和v都是x的可导函数。由乘积函数求导法则可得:(uv)移项u两边同时求不定积分u根据不定积分运算法则u或一般情况下计算原函数时，可以直接利用“(∗3.3换元法积分法换积分法有两种方法：第一换元法和第二换元发，两种换元积分法是由复合函数的求导法则的出的，它是求不定积分的经常使用的，是极为重要的求积分的方法，也常常在应用其他方法求不定积分时嵌套使用.3.3.1第一换元积分法第一换元法是将被积表达式“凑”成微分的形式，所以也叫“凑微分”法，形如x24−3x3定理2：[NOTEREF_Ref14010\h1]若函数u=φ(x)在区间[a,b]可导，且α≤φx≤β，∀u∈[a,b]f[φ(x)]根据定理可设u=4−3x3，刚好u'=−9x2，与x2有倍数的关系，所以x24−3x33.3.2第二换元积分法定理3[NOTEREF_Ref14010\h1]若函数x=φ(t)在区间[α,β]严格单调并且可导，a≤φt≤b，φ'(t)≠0，函数f(x)在区间G则原函数fx在区间a,bf相对第一换元而言第二换元法需要丰富的做题经验，也更有技巧性，因此如何换元成为解题的关键。通常情况下都是利用下面三种三角函数进行换元。(1)不定积分的被积函数含有a2−x2时，设(2)不定积分的被积函数含有x2+a2(3)不定积分的被积函数含有x2−a2时，设x=a因此可以得出新的积分表（见附录2）3.4有理化法有理化法指的是：[NOTEREF_Ref14010\h1]在有理函数的不定积分中，若为真分式（若为假分式，可化为多项式与真分式之和）分解为若干简单的部分分式之和，最后利用积分运算法则，逐个求出其原函数。有理函数的不定积分都是能计算出它的原函数的，但是需要掌握两积分表和初等函数的一些变形技巧，这种计算不定积分的方法也叫“有理化法”。例如，设分式为，其中（），，则原分式。当分式为被积函数，则不定积分为。若要用有理化法求其原函数则需要先将分式通过恒等变换，化为，最后根据积分运算法则化简（不定积分为）即可求出其原函数。4.不定积分的计算与应用4.1直接积分法计算不定积分直接积分法是一种较为简单的方法，通过观察可以直接利用积分公式和积分的运算法则快速计算出原函数。例1求

(5x==54.2分步积分法计算不定积分利用分步积分法计算不定积分，通常情况下，要将合适的被积函数令其为u，其原则是：反三角函数优先于对数函数，其次是幂函数，然后是三角函数，最后考虑指数函数。根据优先选择u的原则，一些看似复杂的被积函数，在计算过程中也迎刃而解。类似被积函数为lnx，把其不定积分可以看成1·lnxln例2求

x分析:根据选u函数的原则选取u=sinxx解:令

u=x,dv=sinxdx

因为

udv=uv−v将

u=x,dv=sinxdx,du=cos对分部积分公式还有一类题目，这类题目是不能直接得出原函数，而是要用到一定解方程的思想，将原函数的一部分与被积函数建立起联系。例3求

eαx被积函数是指数函数和三角函数乘积的形式,依旧可以使用分步积分法，首先根据选u函数的原则，令u=cosβx,dv=eαxdxe解:令

u=cosβx,dv=eI=eαx根据分部积分公式:udvI=根据积分运算法则:I“+”后面的式子也是一个指数函数和三角函数乘积的形式,为了得出最后的结果还得再运用一次分部积分公式，为了区别于前面，我们用其他大写字母表示.令

J=u=sinβx,dv=根据分部积分公式可得:将其代入上式I中得I移项化简得:I=4.3换元积分法计算不定积分4.3.1第一换元法计算不定积分在计算此类不定积分时，要灵活应用三角函数之间的转换，把复杂的不定积分换为简单的不定积分，再运用第一换元法求出其原函数。例4求

解：方法①:因为tan所以csc方法②:csc==同法还可得：sec4.3.2第二换元法计算不定积分当被积函数中出现了根式的情况如a2±x例5[NOTEREF_Ref22978\h2]

a2−x解：设

x=a根据定理3，得a=4.4有理化法计算不定积分在运用有理化法计算原函数时，将分式分解为部分分式之和是利用有理化法的关键，但是也不局限于死板硬套。与其他求法一样，还是要更具体题型选择合适的分解方法。成功分解后解题过程中也会出现和其他方法交叉使用的情况。例6求

dx解：设：1有 1≡得方程组：A+B=0解得：A=即dx附录1（公式3）1第一换元法：令u=1附录21=将上两式子代入原式得=其中C=a+b+c4.5不定积分的应用根据上述定义可将不定积分通过牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式与定积分联系起来，即可求出定积分的精确值。4.5.1定积分得计算计算定积分是同样需要题型选择合适得方法，下面以分步积分法为例计算定积分。例7求0解：根据分部积分公式，设u=x，dv=e−xdx，则du=1dx04.5.2曲边的面积在数学的学习中常常会遇到一些求曲边图形面积的问题。f(x)f(x)abyx图1如上图1所示，图中所出现的封闭区域为一个函数fx，及其区间段[a,b]所围成的面积，如果在没有学习定积分时，在解决以上问题的时候就会有一定的困难，如：求不出封闭区域面积的精确解，而只能求出的面积都是近似值。但是在掌握了定积分之后，我们就可以利用定积分来求出的曲边图形的面积。根据定积分性质可得曲边梯形面积公式：

例7设fx=x分析：所围面积，ℎx与fx；gx与fx分别列方程求出上限和下限，代入面积公式，被积函数是解：根据题意可设ℎxx得:x=0或x=−1同理可得gx=fx，所以fxS=S=|S=|(4.6定积分的性质在计算定积分时，可以通过观察积分的上下限和被积表达式是否可以让计算过程变得简便，同时计算更