线性代数与概率论（第五版） 课件 1.3 行列式的展开

第三节行列式的展开1本节主要学习目标：[知识目标]

熟练掌握余子式与代数余子式概念及计算。

熟练掌握行列式展开定理[能力目标]

能运用行列式展开定理进行行列式计算。余子式与代数余子式定义第三节行列式的展开2定义1.4

则称剩余元素构成的n-1阶行列式为元素aij的余子式，记作Mij;

Aij=(-1)i+jMij注：n阶行列式共有n2个元素,每一个元素都有其

代数余子式,因此共有n2个代数余子式.例1第三节行列式的展开3

例1第三节行列式的展开4解：

=28+15+0-0-8-0=35

A23=(-1)2+3M23

代数余子式第三节行列式的展开5

容易求得第1行各元素的代数余子式代数余子式第三节行列式的展开6元素a11的代数余子式

元素a12的代数余子式

元素a13的代数余子式

代数余子式第三节行列式的展开7三阶行列式D的值与这些代数余子式之间有什么关系?

代数余子式第三节行列式的展开8这说明三阶行列式D的值等于第1行各元素与其代数余子式乘积之和,称为三阶行列式D按第1行展开。同理,经过类似推导,三阶行列式D可以按第2行或第3行展开,也可以按第1列或第2列或第3列展开总之,三阶行列式D等于任意一行(列)各元素与其代

数余子式乘积之和.代数余子式定理1.2n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其代数余子式乘积之和,即

=…代数余子式第三节行列式的展开10第三节行列式的展开10定理1.2（续）注：在计算n阶行列式时,只需选择应用定理1.2中

一个关系式就可以得到所求n阶行列式的值=…例2第三节行列式的展开11已知四阶行列式D中第2行的元素自左向右依次为4,3,2,1,它们的余子式分别为5,6,7,8,求四阶行列式D的值.解：根据行列式中元素aij的代数余子式Aij与余子式Mij之间的关系Aij=(-1)i+jMij容易得到四阶行列式D中第2行各元素的代数余子式.例2第三节行列式的展开12解：

A22=(-1)2+2M22=(-1)2+2×6=6

A21=(-1)2+1M21=(-1)2+1×5=-5

A23=(-1)2+3M23=(-1)2+3×7=-7

A24=(-1)2+4M24=(-1)2+4×8=8例2第三节行列式的展开13解：所以四阶行列式D按第2行展开,它的值为

=4×(-5)+3×6+2×(-7)+1×8=-8在具体计算行列式时,注意到零元素与其代数余子式乘积等于零,这一项可以不必考虑,于是应该按零元素比较多的一行(列)展开,以减少计算量.例3第三节行列式的展开14

解：（1）按第2列展开=0×A12+0×A22+(-1)×A32+0×A42=(-1)×A32=(-1)×(-1)3+2M32

例3第三节行列式的展开15解：（2）继续按第3列展开=0×A13+2×A23+0×A33=2×A23=2×(-1)2+3M23

=2×(-3)=-6例4第三节行列式的展开16

解：按第1行展开=1×A11+2×A12+0×A13+0×A14=1×A11+2×A12=1×(-1)1+1M11+2×(-1)1+2M12

例4第三节行列式的展开17解：注意到余子式M11为三角形行列式,其值等于主对角线上元素的乘积余子式M12中第2行与第1行的对应元素成比例,其值等于零因此行列式=40+0=40一般地,若行列式中零元素较少时,可以先应用§1.2行列式的性质将行列式中某一行(列)的元素尽可能多的化为零,然后按这一行(列)展开,化为计算低一阶的行列式,如此继续下去,直至化为三角形行列式或二阶行列式,求得结果例5第三节行列式的展开18

解：（1）第1行的-2倍加到第3行上去

例5第三节行列式的展开19解：（2）按第1列展开

（4）按第3列展开

（3）第3行的-2倍加到第1行上去

例6第三节行列式的展开20

解：（1）第2行的-1倍加到第1行上去

例6第三节行列式的展开21解：（2）第1列的-1倍加到第2列上去

（3）按第1行展开例6第三节行列式的展开22解：（4）按第1列展开

=(-x2)(-y2)=x