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1.乘积空间与紧致性举例2.乘积空间与紧致性主要内容1乘积空间与紧致性举例PARTONE例子例1：设

是一个拓扑空间，则

是紧致的，构造乘积拓扑

是

中的有界闭集是紧致空间.

类似地，

也是紧致空间.

一般地，记,则.例2：

是紧致的,构造二维环面

是紧致的.

类似地，构造

维环面

，

维环面

也紧致.例3：

维圆盘

与

维单位球面

紧致.

2乘积空间与紧致性PARTTWO定理2.7：

紧致,当且仅当

与

都紧致.注：可推广:若

紧致当且仅当紧致.证明：(必要性)若

紧致，因为投射

和

是连续满射，所以与都是紧致空间.(充分性)只要对乘积拓扑的拓扑基证明有限覆盖性即可.设是中形如的开覆盖.任取,由于紧致,所以作为的子空间紧致,故可找到的有限子族,覆盖.记,则也覆盖.由于是X的开覆盖并且紧致,故存在有限多个

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