高考数学一轮复习 阶段规范强化练8 立体几何-人教版高三数学试题

阶段规范强化练(八)立体几何一、选择题1．在空间内，可以确定一个平面的条件是()A．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．两两相交的三条直线【解析】对于A，交于不在一直线的三点，这三线可确定一个平面，正确；若两异面直线与第三线相交，则不能确定一个平面，B错；若三点在一直线上不能确定一平面，C错；若两两相交的直线交于一点，这三线也不一定能确定一平面，D错.故选A.【答案】A2．(2015·怀化模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是()A．①和③ B．②和③C．③和④ D．①和④【解析】②中平面α，β可能相交；④平面α，β可能相交，故选A.【答案】A3．(2016·吉林五校联考)某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为()图1A.eq\f(11\r(3),6) B.eq\r(3)C.eq\f(5\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)【解析】由三视图，可知该几何体可以看作由三棱柱ABC­EFG去掉三棱锥E­ACD得到的几何体，其中三棱柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长为2，底面三角形的底边为2，高为eq\r(3)，D为棱AB的中点，则几何体的体积V＝VABC­EFG－VE­ACD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×\r(3)))×2×eq\f(1,3)＝eq\f(5\r(3),3)，故选C.【答案】C4．(2016·玉溪模拟)三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝eq\r(3)，则该三棱锥外接球的表面积为()A．5πB.eq\r(2)πC．20πD．4π【解析】由题意可知球心为PB的中点.因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，所以AB＝eq\r(2).所以PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5).球的半径R＝eq\f(\r(5),2).所以此球的表面积为S＝4πR2＝5π.故选A.【答案】A5．在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC【解析】因为BC∥DF，所以A正确；易知PE⊥BC，AE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，所以B正确；因为BC⊥平面PAE，所以平面PAE⊥平面ABC，所以C正确，故选D.【答案】D6．如图2，E，F分别是三棱锥P­ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为()图2A．30°B.45°C．60°D．90°【解析】取AC中点G，连接EG，FG，则EG＝5，FG＝3，且∠EGF或其补角为异面直线AB与PC所成的角，因为cos∠EGF＝eq\f(25＋9－49,2×5×3)＝－eq\f(1,2)，所以∠EGF＝120°，故其补角为异面直线AB与PC所成的角且等于60°，故选C.【答案】C二、填空题7．(2016·齐齐哈尔模拟)已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为1的正方形，该棱锥的高为eq\r(2)，且点P，A，B，C，D都在半径为1的同一个球面上，则顶点P与底面ABCD的中心G之间的距离PG＝________.【解析】由题意可知ABCD是小圆，对角线长为eq\r(2)，四棱锥的高为eq\r(2)，点P，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的中心G与顶点P之间的距离为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(10),2).【答案】eq\f(\r(10),2)8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E­ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.【解析】因为AC⊥平面BDD1B1，故①正确；易得②正确；记正方体的体积为V，则VE­ABC＝eq\f(1,6)V为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．【答案】①②③三、解答题9．(2015·江西红色六校模拟)如图3，已知在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．图3(1)求证：平面EFG⊥平面PAD；(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M­EFG的体积．【解】(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又∵△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD，∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD.(2)∵EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，∴VM­EFG＝VD­EFG，取AD的中点H，连接GH，EH，则EF∥GH，∵EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，∴EF⊥EH.于是S△EFH＝eq\f(1,2)EF×EH＝2＝S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD＝EH，△EHD是正三角形，∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为eq\r(3)，因此，三棱锥M­EFG的体积VM­EFG＝VD­EFG＝eq\f(1,3)×S△EFG×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).10．如图4，ABC­A1B1C1是底面边长为2，高为eq\f(\r(3),2)的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1(0<λ<1)．(1)证明：PQ∥A1B1；(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．图4【解】(1)证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面APQB∩上底面A1B1C1＝PQ，截面APQB∩下底面ABC＝AB，所以PQ∥AB.又AB∥A1B1，∴PQ∥A1B1.(2)假设存在这样的λ满足题设，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接DE，由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ为等腰三角形，APQB为等腰梯形，∴CE⊥PQ，DE⊥PQ.∴∠CED为二面角A­PQ­C的平面角，连接C1E并延长交A1B1于F，由(1)得，eq\f(C1P,C1A1)＝eq\f(C1E,C1F)＝λ，C1A1＝2，C1F＝eq\r(3)，∴C1E＝eq\r(3)λ，EF