高考数学一轮复习 第七章 立体几何 分层限时跟踪练39-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(三十九)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．0【解析】①错，两直线可平行或异面；②两平面可相交，只需直线m平行于两平面的交线即可，故命题错误；③错，直线n可在平面内．【答案】D2．(2015·唐山模拟)对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是()A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若a∥b，b⊂α，则a∥αC．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥bD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α【解析】A．根据线面垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误．B.根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误．C.根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确．D.根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行，所以D错误．【答案】C3．(2015·新乡模拟)设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()A．③④ B．①③C．②③ D．①②【解析】根据空间中的直线、平面的位置关系的判断方法去筛选知②、③正确．【答案】C4．在三棱锥P­ABC中，点D在PA上，且PD＝eq\f(1,2)DA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积是()A．1 B．2C．4 D.eq\f(9,4)【解析】由于平面DEF∥底面ABC，因此DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，所以eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,AC)＝eq\f(EF,BC)，所以△DEF∽△ABC，所以eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，而S△ABC＝9，所以S△DEF＝1，故选A.【答案】A5．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①或② B．②或③C．①或③ D．①或②或③【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．【答案】C二、填空题6．如图7­4­6，四棱锥P­ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为．图7­4­6【解析】取PD的中点F，连接EF，AF，在△PCD中，EF綊eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.【答案】平行7．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件时，有平面D1BQ∥平面PAO【解析】如图，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.【答案】Q为CC1的中点8．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是．【解析】①如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥【答案】②③三、解答题9．如图7­4­7，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC图7­4­7(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【证明】(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知，EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.10．如图7­4­8，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.图7­4­8(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求四面体B­CDE的体积．【解】(1)证明：取BD的中点P，连接EP、FP，则PF为中位线，PFeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)DC，又∵EAeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)DC，∴EAeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))PF.故四边形AFPE是平行四边形，即AF∥EP.∵EP⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)∵BA⊥AC，平面ABC⊥平面ACDE且交于AC，∴BA⊥平面ACDE，即BA就是四面体B­CDE的高，BA＝AC＝2.∵DC＝AC＝2AE＝2，AE∥CD，∴S梯形ACDE＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，S△ACE＝eq\f(1,2)×AE×AC＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴S△CDE＝3－1＝2，∴VB­CDE＝eq\f(1,3)·BA·S△CDE＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3).eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()图7­4­9A．①③ B．②③C．①④ D．②④【解析】对图形①，平面MNP∥平面ABC，可得AB∥面MNP；对图形④，AB∥PN，故AB∥面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．【答案】C2．(2015·开原模拟)若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线()A．只有1条 B．只有2条C．只有4条 D．有无数条【解析】据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．【答案】A3．(2015·唐山统考)在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为．【解析】过点G作EF∥AC，分别交PA、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，FM＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.【答案】84．(2015·温州模拟)如图7­4­10，矩形ABCD中，E为边AB的中点，图7­4­10将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.【解析】取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq\f(1,2)A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以|MB|是定值，①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．【答案】①②④5．(2015·陕西二检)如图7­4­11，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，E为棱CC1图7­4­11(1)求证：B1D1⊥AE；(2)求证：AC∥平面B1DE.【证明】(1)如图，连接BD，则BD∥B1D1.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中点F，连接AF，CF，EF，则FC∥B1E，∴CF∥平面B1DE.∵E，F分别是CC1，BB1的中点，∴EF綊BC.又BCeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))AD，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up5(∥))AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED.∵AF⊄平面B1DE，ED⊂平面B1DE，∴AF∥平面B1DE.∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE.又AC⊂平面ACF，∴AC∥平面B1DE.6．(2015·云南昆明三中、玉溪一中高三统一考试)如图7­4­12，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2.图7­4­12(1)求证：平面AFC⊥平面CBF；(2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF？并说明理由．【解】(1)证明：因为平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，所以CB⊥平面ABEF，因为AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB，又AB为圆O