高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 分层限时跟踪练6-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(六)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题1．(2015·贵阳一模)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝e－xC．y＝lgeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)) D．y＝－x2＋1【解析】由函数奇偶性的定义，得幂函数y＝eq\f(1,x)是奇函数，y＝ln|x|与y＝－x2＋1是偶函数，y＝e－x既不是奇函数也不是偶函数；又函数y＝ln|x|在(0，＋∞)上递增，二次函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上递减，故选D.【答案】D2．(2015·郴州二模)已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝()A．－7 B．7C．－5 D．5【解析】根据函数y＝f(x)＋x是偶函数，得f(－2)＋(－2)＝f(2)＋2，则f(－2)＝f(2)＋4＝7，故选B.【答案】B3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)【解析】函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0))的图象如图所示，由图象知只有D正确．【答案】D4．(2015·福州模拟)已知偶函数f(x)满足：当x1，x2∈(0，＋∞)时，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立．设a＝f(－4)，b＝f(1)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a【解析】设x1＜x2，则x1－x2＜0，f(x1)－f(x2)＜0，即函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，得f(1)＜f(3)＜f(4)；又f(x)是偶函数，则f(－4)＝f(4)，故选C.【答案】C5．(2015·威海模拟)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2－x)>0的解集为()A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4} D．{x|0<x<4}【解析】由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)·(ax＋b)，(2a－b)·x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝则f(x)＝a(x－2)(x＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0.f(2－x)>0，即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.【答案】C二、填空题6．函数f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x3)为奇函数，则a＝________.【解析】由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.【答案】－17．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式eq\f(fx＋f－x,x)＞0的解集为______________．【解析】因为f(x)为偶函数，所以不等式eq\f(fx＋f－x,x)＞0，等价于eq\f(fx,x)＞0.①当x＞0时，eq\f(fx,x)＞0等价于f(x)＞0，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0.所以f(x)＞0的解集为{x|0＜x＜2}．②当x＜0时，eq\f(fx,x)＞0等价于f(x)＜0，又f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝f(2)＝0.所以f(x)＜0的解集为{x|x＜－2}．综上可知，不等式eq\f(fx＋f－x,x)＞0的解集为{x|x＜－2或0＜x＜2}．【答案】{x|x＜－2或0＜x＜2}8．(2015·燕山模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．其中判断正确的序号是________．【解析】f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)在[－1,0]上是增函数，得f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．因此可得①②⑤正确．【答案】①②⑤三、解答题9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝eq\r(x)(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．【解】(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.当x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－eq\r(－x).故x∈[－1,0)时，f(x)＝－eq\r(－x).x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－eq\r(－x－4).从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－eq\r(－x－4).10．已知函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．【解】(1)当a＝0时，f(x)＝x2，由f(－x)＝f(x)可知，函数是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0)．∵f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－1，∴f(a)≠f(－a)，又a≠0，∴f(a)≠－f(a)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述：a＝0时，f(x)为偶函数；a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)由f(1)＝2可知1＋a＝2，即a＝1，所以f(x)＝x2＋eq\f(1,x).由f′(x)＝2x－eq\f(1,x2)可知，当x≥2时，f′(x)＞0恒成立，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．已知函数f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝eq\f(2,3)，则f(－a)＝()A.eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)【解析】根据题意，f(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋eq\f(x,x2＋1)，而h(x)＝eq\f(x,x2＋1)是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，故选C.【答案】C2．(2015·蚌埠模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，满足f(3＋x)＝f(3－x)，当x∈(0,3)时，f(x)＝2x，则当x∈(－6，－3)时，f(x)等于()A．2x＋6 B．－2x－6C．2x－6 D．－2x＋6【解析】由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，当x∈(－6，－3)时，x＋6∈(0,3)，由f(3＋x)＝f(3－x)，得f(x)＝－f(－x)＝－f[3－(3＋x)]＝－f[3＋(3＋x)]＝－f(6＋x)＝－26＋x，故选D.【答案】D3．函数f(x)＝log2(x＋eq\r(x2＋1))(x∈R)与g(x)＝lg|x－2|分别为________和________函数(填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”)．【解析】易知f(x)的定义域为R.∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋eq\r(－x2＋1)]＋log2(x＋eq\r(x2＋1))＝log21＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．对于g(x)，由|x－2|＞0，得x≠2.∴g(x)的定义域为{x|x≠2}．∵g(x)的定义域关于原点不对称，∴g(x)为非奇非偶函数．【答案】奇函数非奇非偶4．(2015·遂宁三模)已知定义在R上的函数f(x)满足eq\f(1,fx＋1)＝f(x)，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，－1＜x≤0，,－1，0＜x≤1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))))＝________.【解析】由eq\f(1,fx＋1)＝f(x)，得f(x＋2)＝eq\f(1,fx＋1)＝f(x)，即f(x)是以2为周期的函数，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))))＝f(1)＝－1.【答案】－15．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2013)＋f(－2016)的值．【解】(1)因为当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(0)＝0，又对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，故f(2)＝0.(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2013)＋f(－2016)＝f(2013)＋f(2016)＝f(1)＋f(0)．f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2013)＋f(－2016)＝1.6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若