高考数学二轮复习 专题十一 概率、统计 第1讲 概率、统计考题溯源变式 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题十一概率、统计第1讲概率、统计考题溯源教材变式理真题示例(2014·高考课标全国卷Ⅱ，12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：(2014·高考课标全国卷Ⅱ，5分)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B．0.75C.0.6D．0.45对应教材(必修3P90例)有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表摄氏温度/℃－504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数.(选修2－3P53例1)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．题材评说以教材题为题源是命题的主要手段.变换问题的背景与数据、其实质内涵不变是试题命制的最佳途径，重视教材问题内涵的学习是稳超胜券的有力保证.[教材变式训练]一、选择题[变式1](必修3P127例3改编)同时掷两枚质地均匀的骰子，其点数之和大于10的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,18)解析：选B.记：“点数之和大于10”为事件A.同时掷两枚骰子出现的基本事件n＝6×6＝36(个)．其中事件A包含了(5，6)，(6，5)，(6，6)共3个．由古典概型知P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).[变式2](必修3P70改编)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分如茎叶图所示．下列结论错误的是()A．乙运动员得分的中位数是36B．甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性差C．甲运动员得分的平均分为27分D．乙运动员的得分有eq\f(6,13)集中在茎3上解析：选C.从茎叶图知，A，D是正确的，乙运动员的得分较集中，甲运动员得分较分散，故B是正确的，甲运动员的平均分为eq\f(290,11)<27.故选C.[变式3](必修3P127例3，必修5P8探究与发现复合改编)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)解析：选A.抛掷骰子所得点数的情况有36种，要使△ABC有两个解，需满足的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>bsinA,b>a))，因为A＝30°，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b<2a,b>a))，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).[变式4](必修3P104例4改编)如图在矩形ABCD内任取一个点P，则点P取自阴影部分的概率为()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)解析：选C.S阴影＝∫eq\o\al(0,－1)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(0,－1)＝eq\f(1,3).矩形ABCD的面积S＝AD×AB＝2×1＝2.∴所求的概率为P＝eq\f(\f(1,3),2)＝eq\f(1,6).[变式5](必修3P137例2改编)某人订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，他离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，则他在离开家前能得到报纸的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)解析：选D.设送报人到达的时间为x，他离开家的时间为y.(x，y)可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，这是一个正方形区域，面积为SΩ＝1×1＝1.事件A表示他在离开家前能得到报纸，所构成的区域为A＝{(x，y)|y≥x，6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，即图中的阴影部分，面积为SA＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8).所以P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(7,8).[变式6](必修3P73改编)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n的值为()A．100 B．1000C．90 D．900解析：选A.支出在[50，60)元的频率为1－(0.1＋0.24＋0.36)＝0.3.∴样本容量n＝eq\f(30,0.3)＝100.二、填空题[变式7](必修3P126改编)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率为________．解析：依题意得P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，事件A，B中至少有一件发生的概率等于1－P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)[变式8](选修2－3P59A组T2改编)盒中仅有4个白球，5个黑球，从中任取2个球，则取出的2个球至少有一个球是黑球的概率是________．解析：P＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(20＋10,36)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)三、解答题[变式9](必修3P95B组T3改编)某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.单价x(万元)88.28.48.88.69销量y(件)908483758068(1)①求回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，(其中已算出eq\o(b,\s\up6(^))＝－20)；②谈谈商品定价对市场的影响．(2)估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线．若该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？解：(1)①依题意：eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.8＋8.6＋9)＝8.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.又eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝80＋20×8.5＝250，∴回归直线的方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.②由于eq\o(b,\s\up6(^))＝－20<0，则x，y负相关，故随定价的增加，销量不断降低．(2)设科研所所得利润为W，设定价为x，∴W＝(x－4.5)(－20x＋250)＝－20x2＋340x－1125，∴当x＝eq\f(340,40)＝8.5时，Wmax＝320.故当定价为8.5元时，W取得最大值．[变式10](选修2－3P97练习改编)甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)频数34815分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频数15x32乙校：分组[70，80)[80，90)[90，100)[100，110)频数1289分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]频数1010y3(1)计算x，y的值；(2)若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.甲校乙校总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d临界值表P(K2≥k0)0.100.050.010k02.7063.8416.635