著名机构八年级数学秋季班讲义第15讲：举例证明（二）

几何证明(二)

内容分析

命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命

题、公理、定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改

写出已知命题和举例证明.通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线

和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基

础.

知识结构

模块一：证明垂直

知识精讲

1、证明垂直：

证明两直线垂直的一般方法为：

(1)通过夹角是90°；

(2)垂直的传递性：

(3)等腰三角形底边上三线合一.

例题解析

【例1】以下依据不能得到两直线垂直的是（）.

A.夹角是90度；

B.邻补角的角平分线互相垂直；

C.等腰三角形底边上的中线垂直于底边；

D.同旁内角的角平分线互相垂直.

【难度】★

【答案】D

【解析】D正确答案为平行线同旁内角的角平分线互相垂直

【总结】主要考查证明垂直的方法.

【例2】如图，AB=AC,。是8c上一点，当或时，ADLBC.

【难度】★

【答案】BD=DC；ZBAD=ZCAD.

【解析】等腰三角形的底边上的高线、顶角的角平分线

和底边上的中线三线合一.

【总结】考察等腰三角形的三线合一的性质.

【例3】如例2图，在△ABC中，AD1BC,。是中点，则下列结论不正确的

是（）.

A.SABD=\ACD；

B.NB=NC；

C.AL）是N8AC的平分线；

D.AABC是等边三角形.

【难度】★

【答案】D

【解析】由5.AS可知两个三角形全等，则可得A、B、C正确.

【总结】考察三角形全等的判定.

【例4】如图，在△ABC中，NABC=45°,在高A。上截取O”=DC,联结BH并延长交

AC于点E,求证：

(1)BH=AC；

(2)BHLAC.

【难度】★★

【答案】略.

【解析】(1)VZABC=45°,ADVBC,：.AD=BD.

VAD=BD,ABDH=ZADC,DH=DC,

：./\BDH^/\ADC,：.BH=AC,ZHBD=ZDAC.

(2)VZDAC+ZC=90°,Z.ZHBD+ZC=90°,

NBEC=180P-(NHBD+ZC)=9(T,

J.BHVAC.

【总结】考察全等三角形的判定及其性质，注意等腰直角三角形的性质的运用.

【例5】如图，点。、E、F在BC上，NB=NC,N1=N2,BD=EC,F是。E的中点.

求证：AF1BC.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】VZB=ZC,Z1=Z2,BD=EC,

：.△A8DZ"CE（AAS）,

AD=AE.

是£>E的中点,

：.AF1BC.

【总结】考察三角形全等的判定以及等腰三角形的三线合一.

【例6】如图，己知△ABC中，AB^AC,BD、C尸分别是AC、AB边上的高，BD与CF交

于点0,延长A0交BC于点E,求证：AEVEC.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】；AB=AC,NBAD=NCAF,ZADB=ZAFC=90Q

：./\ACF^/\ABD

：.ZABO=ZACO

"：AB^AC,：.NABC=NACB

ZOBC=NOCB,；.OB=OC

VAB=AC,ZABO=ZACO,0B=0C

：./\ABO^/\ACO

：.NBAE=NCAE

'：AB=AC,

：.AE±EC.

【总结】考察三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的三线合一.

【例7】如图，己知△48。、"CE都是等腰直角三角形,ND4B=NE4C=90。，判断BE和

CQ的位置及长度关系，并证明.

【难度】★★★

【答案】BE=CD,BE1DC；证明过程见解析.

【解析】：N£)A8=/EAC=90。，

ADAB+ABAC=AEAC+ABAC,

即ZDAC=ZBAE

"：AB=AD,ZDAC=ZBAE,AE=AC

：.XBAEQXDAC

：.BE=CD,NADC=NABE

'：ZADC+ZCDA+ZDBA=90°,

NA8E+NCDA+ADBA=90°,B|JBEA.DC.

【总结】考察全等三角形的判定.两个等腰直角三角形共直角顶点则可产生全等三角形.

【例8】如图，三角形ABC中，AC=BC,NAC8=90°,A。是8c边的中线，CE1.AD,

BF1BC,CF与A以8尸分别相交于点E、F,联结。E,求证：Z1=Z2.

【难度】★★★C

【答案】见解析.

【解析】；NBCF+NACF=9()°,ZACF+ZCAD=90°/\\

/\1(*

2BCF=NCAD

；NBCF=NCAD,AC=BC,ZACD=ZCBF

△CAO名△BCF,；.Z1=ZF,CD=BF4

:CD=BD,：.BD=BF

'：AC=BC,ZACB=90°,NC8A=45°

,?ZCBF=90°,NFBE=45°

DB=BF,NDBE=NFBE,BE=BE,：.N2=ZF

:Z1=ZF,Z1=Z2

【总结】考察全等三角形判定以及等腰直角三角形的性质.

模块二：证明边、角关系

知识精讲

证明边角关系的常用方法：

（1）利用等腰三角形的性质；

（2）利用三角形全等的性质得出边或者角的关系，得出要求解的边角关系;

（3）利用两次全等得出结论.

例题解析

【例9】具备下列条件的两个三角形中，一定全等的是（）.

A.有一边对应相等的等腰三角形；

B.有两边对应相等的等腰三角形；

C.有一边相等的等边三角形；

D.有两边对应相等的两个直角三角形.

【难度】★

【答案】C

【解析】A、B、D不确定是否是对应边.

【总结】考察全等三角形的判定方法.

【例10］如图，AiABC丝△ADE,若/BAE=120°,ABAD=40°，则NB+/C=.

【难度］★―

【答案］100°/

【解析】：若/R4E=120°,ZBAD=40°,///

AZD-4E=120°-40o=80°.//

,/AABC^/\ADE,：.NBAC=ZDAE=80°BZ________］c

：.ZB+ZC=180P-ZBAC=180P-80°=100p.［/

【总结】考察全等三角形的性质及三角形的内角和.0

【例11]如图，P是N8AC平分线AO上的一点，PELAB于点E,PFJLAC于点F,下列

结论中不正确的是（）.

A.PE=PF-,

B.AE=AF；

C.△APEg/XAP尸;

D.AP=PE+PF.

【难度】★★

【答案】D

（解析]由A.A.S可知：4EP94AFP,

则可知A、B、C正确.则可知。不正确.

【总结】考察全等三角形的判定.

【例12]己知，如图，E是等腰△A8C的腰AC上任意一点，DELBC,垂足为。，延长

DE交BA的延长线于点F.

求证：为等腰三角形.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】:△ABC是等腰三角形，

：DELBC,：.NF+NB=90°,

：.ZF=ZDEC,又,/NDEC=

：.ZF=ZAEF,

：.AE=AF,即△4EF为等腰三角形.

【总结】考察角度之间关系的转换以及等腰三角形的性质和判定.

【例13]已知，如图E是四边形ABCQ的边AO上的一点，且aABC和aCQE都是等边

三角形，求证：BE=AD.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】•/NACB=ZECD=60°,

：.ZACB+ZACE=NECD+ZACE,即ZBCE

VAC=BC,NBCE=NACD,EC=CD

△ACD四△8C£（S.AS）,：.BE=AD

【总结】考察三角形全等的判定以及等边三角形的性质.

【例14】已知，如图，在△ABC中，NDEF=NB=NC,点。、E、F分别在边AB、BC、

4c上，5.BD=CE.A

求证：DE=EF.

【难度】★★

【答案】见解析.

［解析］,/NDEC=N8+NBDE,NDEC=NDEF+NFEC,

ZDEF=ZB,NBDE=NFEC

'：4BDE=NFEC,NB=NC,BD=CE

：.△BE。丝△CFE（AS.4）,DE=EF

【总结】本题主要考察三角形的外角性质以及三角形全等的判定.

【例15]己知：如图，点E在△ABC的边4c上，且乙4EB=NABC.

（1）求证：ZABE=ZC;

(2)若NBAE的平分线A尸交B尸于点F,FD〃BC交AC于点D,设A8=5,AC=8,

求0c的长.

【难度】★★

【答案】（1）见解析；（2）3.

【解析】（1）VZBAC+ZABE+ZAEB=180°,

ZBAC+ZC+ZABC=180P,AAEB=AABC

：.NABE=NC.

（2）VFD//BC,：.ZC=ZADF

由（1）可得：NABE=NC,：.ZABE=ZADF

VZBAF=ZDAF,ZABE=ZADF,AF=AF

：./\ABFg△AMAAS）,AAD=AB=5,

：.DC=AC-AD=AC-AB=3.

【总结】考察三角形全等的判定和性质的综合运用.

【例16]已知：如图，△ABC是等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA

上任意一点，且BM=CN,直线BN与M4的延长线交于点Q,求N8QM的大小.

【难度】★★

【答案】60°.

【解析】•:BM=CN,ZABM=NBCN=60,AB=BC

：.^ABM丝△C8N(SAS)

，ZM=NN

：.NBQM=NN+ZNAQ=ZM+ZCAM=ZACB=60°.

【总结】考察三角形全等的判定和性质以及三角形的外角的

性质的综合运用.

【例17】在△ABC中，ZABC=ZCfBDJ_AC于£),求证：ZA=2ZDBC.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】过A作4E1_8C,垂足为£

VZC+ZDBC=90°,ZC+ZEAC=90°,

：.4DBC=4EAC.VZABC=ZC,：.AB=AC

•/AE±BCf：.NA=2NE4C，NA=2ZDBC.

【总结】考察等腰三角形的性质的运用.

【例18]已知，如图，在△ABC中，ZB=2ZC,AQ平分NBAC

求证：AB+BD=AC.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】在AC上截取一点E,使得AE=A8,联结

VAB=AE9/BAD=/CAD,AD=AD

：.AABD^AAEDiS.A.S)

:•ZB=ZAED,BD=DE

9：ZB=2ZC,：.NAED=2ZC

•/ZAED=ZC+NEDC,:.ZC=乙EDC,:.ED=EC

•：BD=DE,：.BD=EC

VAC=AE+ECtAE=AB,ED=EC

：.AB+BD=AC.

【总结】考察截长补短辅助线的添法以及三角形外角性质和三角形全等的性质的综合运用.

【例19］己知，在直角△4BC中，A8=4C,NB4C=90°，直线AE是经过点4的任一直线，

BO_LAE于点。，CE_LAE于点E,若BDWCE,试问：

A

(1)4。与CE的大小关系如何?并证明；/V

(2)DE、BD、CE的数量关系如何?并证明.V\

【难度］/

【答案］(1)相等，证明见解析；\

(2)DE=BD-CE,证明见解析.B------------------------------V~4c

【解析】(1)；N8AE+NEAC=90。，ZEAC+ZECA=90°

：.ZBAE=ZECA.,：ZBAE=ZECA,ZAEC=NADB,AB=AC

：./XADBdCEA(AAS),AD=CE.

(2)DE=BD-CE.

由(1)可得：BD=AE,VBD=AE,AD=CE,AE-AD=DE,

：.DE=BD-CE

【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用.

【例20］已知A、C、E在同一直线上，△ABC和△COE都是等边三角形，M、N分别是

A。、8E的中点，求证：△CMN是等边三角形.

【难度】★★★

【答案】见解析.

【解析】•/ZACB=ZECD=60°,

AACB+ZBCD=NECD+NBCD,

即ZBCE=ZACD.

VAC=BC,NBCE=NACD,EC=CD

:.AACD沿△BCE(S.AS),：.BE^AD,Z1=Z2

N分别是AO、BE的中点，BE=AD,：.AM=BN.

VAC=BC,N1=Z2,AM=BN,：./\ACM^ABOV(S.AS),

，CM=CN,Z3=Z4

*/Z3+NMCB=60°,；.Z4+NMCB=60°,即NMCN=60°

CM=CN,：./XCMN是等边三角形.

【总结】考察三角形全等三角形判定和性质以及等边三角形的性质与判定的综合运用.

【例21]如图，在A4BC中，AB=AC,NBAC=108。，点。在4c上且BC=AB+C。.

求证：8。平分N45C.

【难度】★★★

【答案】见解析

［解析］在BC上截取一点E使得BE=AB,联结ED、AE.

'：AB=AC,ZBAC=108°,7.ZABC=ZC=36°.

VBC=AB+CD,AB=BE,：.CD=EC,______________

BEC

-：ZC=36°,NCDE=NCED=72°

ZDEB=180°-ZBAC=108o,；.NBAC=ZDEB

"：AB=BE,：.ZBAE=ZBEA

：.ABAC-ZBAE=ZDEB-ZBAE,即NZME=/DE4，：.AD=DE.

VAB=BE,AD=DE,BD=BD,:.AABD//\EB队S.S.S）.

：.NABD=ZCBD,即BD平分NABC.

【总结】考察截长补短辅助线的做法以及三角形全等判定的综合运用.

【例22］如图，已知A8=AC,ZA=100°,B。平分N4BC.求证：BC=BD+AD.

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】在BC上截取一点E使得BE=BD,

截取一点F使得BF=A8,联结ED、DF.

VAB=AC,ZBAC=100°,，NABC=NC=40°,

BD平分ZABC,ZABD=NDBE=20°

BD=BE,NBED=NBDE=80°

:ZBED=NC+ZEDC,7.NEDC=40°,NEDC=NC,/.DE=EC

,:AB=BF,ZABD=ZDBF，BD=BD，：.^ABD^/\FBD（S.A.S）

：.ZBAC=ZBFD=\0VP,AD=DF,：.Z£>FE=180p-100p=80°.

:ZB£D=80°,ZDEF^ZBED,：­DE=DF

'：DE=EC,：.DF=EC

"：AD=DF,；.AD=CE

VBC=BE+CE,BD=BE,AD=CE

：.BC=BD+AD

【总结】本题综合性较强,主要考查截长补短辅助线的添加以及等腰三角形性质的综合运用.

【例23]己知：如图，△ABC是等腰直角三角形，乙4cB=90°,△AOB是等边三角形,

点C在△AO3的内部，OELAC交直线AC于点E.

（1）求证：DE=CE；

（2）若点C在△AOB外部，OE=CE的关系是否成立?如不成立，请说明理由；如

成立，请证明.

【难度】★★★

【答案】见解析.

【解析】（1）联结。C并延长交AB于F.

•；AD=DB,DC=DC,AC=CB

：.△ADgXBDC

：.ZADF^ZBDF

：.DFLAB

：.NFCB=45°

：.NDCE=18*NFCB-ZECB=45°

DEICE

：.NDCE=NEDC=45°

：.DE=CE

（2）证明方法同（1）一样.

【总结】考察全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质的综合运用.

模块三：文字题的证明

⑥）知识精讲

文字题的证明解决的步骤是：

（1）已知（条件）.不要漏写、多写，尽量多用几何符号表示;

（2）求证（结论）.不能写错，画图要精准；

（3）证明.

例题解析

【例24】求证：三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】如图，己知△ABC中，。为8c的中点，过C作AO的垂线，垂足为尸，过8作

【例25】求证：等腰三角形的顶点到两腰中线的距离相等.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】如图，己知△4BC中，AB=AC,。为AC的中点，E为AB的中点，过A作CE的

垂线，垂足为N,过A作BD的垂线，垂足为

求证：AM=AN

证明：VAB=AC,AD^AE,NBAC=NBAC

：./\ABD^/\ACE,，ZABD=ZACE

VAB=AC,ZANC=ZAMB,ZABD=ZACE

：./\ABMg/XACN,：.AM=AN

【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用.

【例26】求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离和等于一腰上的高.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】如图，已知448C中，AB=AC,。为4c上一点，DFA.AC,CG±AB,

【例27】求证：有两角及夹边上的高对应相等的两个三角形全等.

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】如图，在AABC和△OEF中，ZB=ZE,ZA=ZD,CM是AB边上的高，NF是

OE■边上的高，且CM=NF.

求证：△ABC9XDEF.

证明：；NB=ZE,NCMB=NFNE=90,CM=NF

：.XBMgXENF,；.BM=EN

同理可证：XMAC9XDNF,：.AM=DN

；.BA=ED,VZB=ZE,ZA=ZD

ABAC@AEDF.

【总结】本题主要考察全等三角形的判定.

随堂检测

【习题1】如图，在△48C中，NB=/C,下列结论正确的是（）.A

A.\ABD=\ACDB.AB=AC/

C.AD是△AC。的高D.ZVIBC是等边三角形/

【难度】★/

【答案】B/

【解析】因为N8=/C,所以AB=4C,由于不知点D是否为中点，/

因此其余选项都不对.BL

【总结】考察等腰三角形的等角对等边的性质的运用.

【习题2】如习题1图所示AB=4C,O为8c上一点，若A£>_LBC,则

ABAD=.

【难度】★

【答案】OC,ACAD

【解析】等腰三角形三线合一性质可得答案.

【总结】考察等腰三角形三线合一性质.

【习题3】已知：如图，B是CE的中点，AO=BC,AB=QC.OE交AB于点F,求证：AF=BF.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】AB=DC,BD=BD

：.△ABDeACDB

：.NADB=ZCBD,AD//BC

ZA^ZABE

BE=BC,AD=BC,：.AD=BE

VZA=ZABE,AD=BE,ZAFD^ABFE

：./\AFD^/\BFE,：.AF=BF.

【总结】考察全等三角形的判定和性质以及平行线的性质与判定的综合运用.

【习题4】/XABC中，AB=AC,E在BC上，。在AE上（不与A重合），则下列说法中正确

的有（）.

①若E为8C的中点，则有8O=C£）;

②若BD=CD,则E为BC中点；

③若AE_LBC,则有B£>=CQ；

④若BD=CD,则AE_L8C.

A.1B.2C.3D.4

【难度】★★

【答案】D

【解析】可由等腰三角形的三线合一及全等三角形的性质得四个选项全对.

【总结】本题主要考察等腰三角形的三线合一的性质.

【习题5】如图，NACB=90°,AC=BC,。为AB上一点，AE_LCZ）于点E,交CD的延

长线于点凡且CF=AE.求证：BFLDC.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】VZBCF+AACE=90°,ZEAC+ZACE=90°,

：.NBCF=ZC4E.

'：AC=BC,NBCF=NCAE,CF=AE,

：.ABCF^AACE

NBFC=NAEC=90°,即BF±DC.

【总结】考察全等三角形的判定和性质以及证明两直线垂直的方法.

【习题6］如图，在△ABC中，AO平分N8AC,DE〃AC,过点E作EF_LAQ于点O,交

8C的延长线于点F,联结AF,求证：AF=DF.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】；A£＞平分/BAC,DE〃AC,:•DE=AE

'：EF±AD,：.ZAEF^AFED

VZAEF^ZFED,DE^AE,FE=FE

：./\DEF^^AEF,：.AF=DF.

【总结】考察全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的三线合一.

【习题7】己知：如图，ND=NE,DN=CN=EM=AM,求证：点B是AC的中点.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】•:ND=NE,ZDBE^ZEBD,DN=ME,

：.△DBN94EBM,；.NEMB=ZDNB,BN=

：.ZAMB=NCNB

VAM=CN,NAMB=ZCNB,BM=BN,

：.AB=BC,即点B是AC的中点.

【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用.

【习题8】有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】如图，在△ABC和△/)£/中，AB=DE,AC=DF,M为BC的中点，N为EF

的中点，且AM=N£>.

求证：/\ABC^/\DEF.

证明：分别延长AM、DV到点P和点。，使=

QN=DN,连接CP、FQ.

为8c的中点，BM=CM.

"：PM^AM,NAMB=ZPMC,

，AMB=PMC.

：.AB=PC,ZBAM=ZP.

同理，可证：DENwQFN,

DE=QF,ZEDN=NQ.

；AB=DE,AM=ND：.PC=QF,AP=DQ.

又,：AC=DF,：.fAPC^DQF,：.ZPAC=ZQDF,NP=NQ.

：.ZBAM=NEDN,/.ABAC=ZEDF

VAB=DE,AC=DF,：./\ABC^/\DEF.

【总结】本题一方面考察中线倍长辅助线的添加，另一方面考查全等三角形的判定和性质的

综合运用.

【习题9】已知，如图，在△ABC中，ADA.BC,AB+BD=CD,求证：ZB=2ZC.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】在C。上截取一点E使得。七二。8,联结

♦；BD=DE,ZADB=ZADE,AD=DA

：./\ADB^/\ADE

：.AB=AE,ZB=ZAEB

'：AB+BD=CD,DE=DB,CE+ED=CD,

:.CE=AB,•:AB=AE,:.CE=AE

：.NC=NCAE.

ZAEB=ZC+/CAE=2ZC

'/ZB=ZA£B,・•・/B=2ZC.

【总结】考察截长补短的辅助线的添法以及三角形外角性质的综合运用.

【习题10]如图，已知AB=AC,3。平分NABC且8C=A8+CO,求证：ZA=108.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】在8C上截取一点七使得联结ED

•:AB=BE,ZABD=ZDBE,BD=BD

：.△ABD也△E3/XS.AS)

・・・ZA=ZBED

・；BC=AB+CD,AB=BE，

：.CD=EC

设NC=2x,ZCDE=ZCED=9O-x

NO£B=1800-NCEO=90+x,ZBAC=ZDEB=90+x

VAB=ACf：.ZABC=Z.C=2x

NABC+ZBAC+ZC=18(f,

A2x+2x+90+x=18(F,贝ljx=18。

ZBAC=90°+18°=108°

【总结】考察截长补短辅助线的添法以及三角形内角和的综合运用.

【习题11]如图，在△4BC中，己知AC=8C,NACB=90°，。是8c边上一点，

BFVBC,CE与AS、8F分别相交于点E、F,联结QE,且有/1=N2.

求证：力是BC的中点.

【难度】★★★

【答案】见解析.

【解析】VZBCF+ZACF=90°,ZACF+ZCAD=90°,

：.NBCF=ACAD.

•：NBCF=ZCAD,AC=BC,ZACD=ZCBF=90,

：.ACAD^ABCF,

/.Z1=ZF.CD=BF

VZ1=Z2，AZ2=ZF

；AC=8C,ZACB=90°,ZCBA=45°

,/NCBF=90°,NFBE=45°

•/Z2=ZF,NDBE=NFBE,BE=BE,

；.△OBE丝△FBE,DB=BF

•：CD=BF,CD=BD,即。是8c的中点.

【总结】本题综合性较强，要多次利用全等证明线段相等.

【习题12]已知：如图，AABC的高AO所在的直线与高BE所在的直线相交于点F

(1)如图1,若△ABC为锐角三角形，且NABC=45。，过点尸作FG〃8C、交直线

48于点G,求证：FG+DC=AD；

(2)如图2,若/ABC=135。，过点F作FG〃BC、交直线A8于点G,FG、DC.

4。之间的数量关系是,并证明.

【难度】★★★

【答案】（1）见解析；（2）AD+CD=FG；证明见解析.

［解析［（1）VZABC=45°,AD±BC

：.NABC=NBAD=45°,AD=BD

,:FG〃BC,：.ZGAF=ZAGF=45°,：.AF=GF

VZC+ZFB£>=90°,ZC+ZC4D=90°,

ZFBD=ZCAD

,：ZFBD=ACAD,NFDB=ZCDA,AD=BD

：.△BFD94ACD：.CD=FD,

VAF=GF,CD=FD,AD=AF+DF,：.FG+DC^AD.

(2)AD^CD=FG.

VZABC=135°,ADIBC

：.ZABD=ABAD=45°,AD=BD

YFG〃BC,・•・NGA尸=NAG尸=45。，

・♦・AF=GF

VZFA£+ZDFB=90°,ZC+ZFAE=90°

：.ZC=NDFB

ZC=ZDFB,ZFDB=ZCDA,AD=BD

：./\BFD^/\ACD

：.CD=FD

VAF=GFfCD=FD,AD+DF=AF

：.AD+CD=FG.

【总结】考察全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形性质的综合运用.

课后作业

【作业1】以下命题的逆命题是真命题的是（）.

A.等边三角形的三个角相等；

B.同角的补角相等；

C.在三角形中，钝角作对的边长最长；

D.同位角相等.

【难度】★

【答案】A

【解析】A的逆命题为：三个内角相等的三角形为等边三角形，为真命题；

B的逆命题为：两个角的补角相等，则这两个角为同一个角，为假命题;

C的逆命题为：在三角形中，边长最长的边所对的角为钝角，为假命题;

D的逆命题为：两个相等的角为同位角，为假命题.

【总结】考察逆命题的概念以及对真假命题的判定.

【作业2】已知：在△ABC中，8。是AC上的中线，BD=-AC.

2

求证：AABC是直角三角形.

【难度】★

【答案】见解析.

【解析】是AC上的中线，BD^-AC.：.AD=BD,BD=CD

2

，NA=NABD,ZC=NDBC.

NA+NABD+ZC+ZDBC=180P

NAB。+NO8c=90°,即NABC=90°

...△ABC是直角三角形.

【总结】本题主要考察三角形内角和的运用，另外这个命题也可以在作为判定一个三角形是

直角三角形的方法.

【作业3】已知：如图，AC=BD,AB=CD.求证：OB=OC.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】联结4D.

"：AD=AD,AC^BD,AB=CD,：.

：.2B=NC,VZB=ZC,ZAOB=ZCOD,AB=

△ABO多△OCO,/.OB=OC.

【总结】考察三角形全等的判定和性质的综合运用.

【作业4】等腰AABC中，AB=AC,取腰4c上一点E,取AB的反向延长线上的一点。,

使AE=A。，联结QE交BC于F.

求证：DFLBC.

【难度】★★

【答案】见解析.

"：AB=AC,；.NB=NC,\'AE=AD,：.ZD=ZAED.

'：ZFEC=NAEO,ZD=Z.FEC,

•；NBFD=18&-ND-NB,NEFC=18(F—NC-NFEC,：.NBFD=ZEFC.

,/ZfiFD+Z£FC=180°,/.NBFD=90°,即DF±BC.

【总结】考察等腰三角形的性质的综合运用.

【作业5】己知，如图，AE^AC,BE=BD,ZEAD^ZCAD.求证：NABC=2NC.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】；AE=AC,AD=AD,ZEAD^ZCAD.

二△AED学△AC。，ZC=ZE

,:BE=BD,

：.ZE=ZBDE

：.NABC=NE+NBDE=2ZE

,/ZC=ZE,

NABC=2NC.

【总结】考察三角形的外角性质和三角形全等的判定和性质的综合运用.

【作业6】求证：等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】如图，己知△48C中，AB=AC,。为8C延长线上一点，DE±AB,DFA.AC,

CG1AB,

求证：DE-DF=CG.

证明：联结4。

,；SAABD=3.AB，DE，S^ACD=—•AC-DF,

S^ABC=^'ABCG

：.-ABDE--ACDF=-ABCG

222

VAB=AC,：.DE-DF=CG.

【总结】本题主要考察利用面积相等证明线段相等，这是一种

常见的证明方法，注意归纳总结.

【作业7】如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=108。，点。在4c上且8。平分NABC.

求i正：BC=AB+CD.

【难度】★★

【答案】见解析.

［解析］在BC上截取一点E使得BE=AB,联结ED、AE

"：AB=AC,ZBAC=108°,

，NA8C=NC=36°

,:AB=BE，ZABD=ZEBD，BD=BD

：./\ABD%△EBD(SAS),NDEB=ABAC=108°

:.Z.CED=72°,,/ZC=36°,ZCDE=NCED=72°.

CD=CE,•：BC=EB+CE,AB=BE,CD=CE

：.BC=AB+CD.

【总结】考察截长补短辅助线的做法以及三角形内角和和等腰三角形性质的综合运用.

【作业8】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AOJ_BC,点。在线段上，延长C。交

AB于点Q,延长8。交AC于点P,求证：OP=OQ.

【难度】★★

【答案】见解析.

[1vZODB=AODC,BD=CD,OD=OD

：./\OBD^/\OCD,：.ZOBD=ZOCD.

VAB=AC,：.ZABC=ZACB

：.ZABP=ZACQ

VZABP=ZACQ,ZQAC=ZPAB,AB=AC

：./XAPB^/XAQC,：.AQ=AP.

\'AB=AC,AD1.BC,

：.ZQAO=ZPAO

VAQ=AP,ZQAO=ZPAO,OA=OA

：./XAPO^/XAQO

OQ=OP.

【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用.

【作业9】如图，CE、BD分别是△ABC的边4B、AC上的高，点P在8。的延长线上,

BP=AC,点。在CE上，CQ=AB.

求证：(1)AP=AQ；