反比例函数集体备课教案

第十七章反比例函数一、课程学习目标：理解反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式(k是常数，k≠0)，能判定一个给定的函数是否为反比例函数；会用描点法画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数并据此理解反比例函数(k是常数，k≠0)的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数性质分析和解决一些简单的实际问题.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法.教学重点：反比例函数的概念、图象和性质教学难点：对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握二、本章知识结构框图：三、内容安排本章的反比例函数的内容属于“数与代数”领域，是在学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，反比例函数是最基本的函数之一.本章工分两节.第17.1节的内容是反比例函数的概念、反比例函数的图象和性质.本节还在选学栏目“信息与技术应用”中安排了“探索反比例函数的性质”一文，内容是用信息技术考察反比例函数(k是常数，k≠0)的图象在常数k变化的情况下，函数图象的位置如何变化.第17.2节的内容是如何用反比例函数解决现实世界中的实际问题，或如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象.本章主要涉及到如下四个现实世界中的反比例函数：当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力室动力臂的反比例函数；电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.四、课时安排：（共8课时）17.1反比例函数（3课时）17.2实际问题与反比例函数（4课时）数学活动及小结（1课时）五、学法及教法建议：1.做好与已学内容的衔接教科书已经在第14章给出了函数的一般概念以及自变量、函数值的等概念，学生对函数已经形成初步的认识.反过来进一步深化对函数内涵的理解和掌握.从学生初次接触函数所蕴含的“变化与对应”思想至此，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏.因此学好本章的关键是处理好新旧知识的联系，尽量减少学生接受新知识的困难.例如，在引进反比例函数的概念时，要适当复习第14章的函数，自变量，函数值，函数图象，正比例函数，一次函数等相关的定义或概念，为反比例函数的学习做好铺垫作用，这样，学生就能够比较顺利地接受和掌握反比例函数的概念和性质.2.强调正比例函数与反比例函数的对比在复习第14章的基础上引进本章内容.对于反比例函数(k是常数，k≠0)，可以将其与正比例函数(k是常数，k≠0)从如下几方面进行对比：两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？在常数k相同的情况下，当自变量x变化时两种函数的函数值y的变化趋势有什么区别？x的取值范围有何不同？常数k的符号改变对两种函数图象所处象限的影响有何异同？回答如下表正比例函数反比例函数解析式自变量取值范围一切实数x≠0函数值取值范围一切实数y≠0图象直线双曲线图象位置k＞0，一、三象限；k＜0，二、四象限k＞0，一、三象限k＜0，二、四象限增减性k＞0，y随x的增大而增大k＜0，y随x的增大而减小k＞0，在每个象限y随x的增大而减小k＜0，在每个象限y随x的增大而增大对于这些问题，不要急于给出答案，应该注意鼓励学生积极探究，在这样的氛围中，学生的数学思维和兴趣将被激发出来，这样对于所学内容的掌握也就牢固了.3.把突出函数中蕴含的重要数学思想作为本章的主要线索从数学自身的发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴含的数学思想方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都是十分有益的.在本章的教学和学习中，一方面要注意具体题目的分析和求解过程，另一方面更要注意一些重要的数学思想（如变化与对应的数学思想和数形结合思想）的传授与渗透.我们知道函数的定义不是唯一的，从不同的理解角度出发可以给出函数的不同的定义.教科书在第14章已经给出了函数的定义，这样的定义突出了数学中的变化与对应的数学思想，其内涵主要有两个：首先，两个变量相互联系，一个变量变化时两一个变量也发生变化；其次，函数值与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的.无论从一次函数到反比例函数，再到以后的二次函数，甚至高中的其他各类函数，都是函数的某种具体形式，都为进一步深刻领会函数的内涵提供了一个平台.随之学习的函数类型增多，学生对函数内涵的理解也会逐步提高.所以，对函数内涵的理解是一个渐进的过程，需要较长的时间.对于一个具体的反比例函数来说，它有其自身的独特性质，但其中蕴含的变化与对应的数学思想则是具有普遍性的.在教学时，尤其要注意这种数学思想的渗透方面下工夫.通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合思想是数学中最重要的思想之一，而这种数形结合的数学思想早在学习数轴、平面直角坐标系时就已经学习到了.结合本章内容可以对数形结合的思想方法顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势.教学中，可以安排较多的通过图象分析函数解析式、通过函数解析式分析图象的题目，从而既体现数形结合思想，也体现转化的数学思想，深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用.突出变化与对应的思想、数形结合思想和转化思想是本章的重要任务，充分发挥教科书中“思考”栏目应有的作用，对实现上述任务是大有裨益的.4.密切反比例函数与现实生活的联系从日常生活、参加生产和进一步学习的需要看，关于（反比例）函数的知识是非常重要的.例如，在讨论社会问题、经济问题时，越来越多地运用数学思想方法，函数的内容在其中占有相当的地位.又如，计算机日渐普及，学习、使用计算机是需要函数图象的有关知识的.正是由于函数知识的重要性，在高中将更多、更深入地学习和研究函数.反比例函数式一种反映现实世界中数量关系的模型，与现实世界有密切的联系，教科书对本章内容采取了如下的步骤：实际问题实际问题反比例函数的概念反比例函数的性质从中可以看出与实际联系的重要性.本章引用了大量的现实世界中的实际问题，尤其是专门安排一节来说明反比例函数的实际应用，一方面说明在现实世界反比例函数大量存在，也说明如何用反比例函数的知识分析和解决实际问题，教学时用努力联系实际，可以发挥学生的集体智慧找出现实生活中的反比例函数.本章的“阅读与思考”栏目提供了大量的、学生身边的反比例函数的例子，可以使学生进一步体会函数的重要性，提高学生灵活地分析解决问题的能力.5.突破知识的难点和重点本章的教学重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具，教科书中给出了大量的、具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融汇贯通.本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握.教学时在这方面要投入更多的精力.尽管本章中反比例函数的知识还是比较初级的，但是这些知识却是后续的函数知识的基础.因此，教学中对本章基础知识和基本技能的要求不能降低.要适时安排适当难度的习题，使学生对基础知识形成深刻的印象、对基本技能达到熟练的程度.六、典型题和学生易错题分析1、反比例函数的定义：中，的次数为-1.举例（2007年曲阜市）若函数是反比例函数，则的值为（）.A．B.C.或D.且学生解答时可能只考虑到的指数，a=±1而选D，但他们忽视了反比例函数表达式成立的条件，即比例系数，所以，故只取.所以选B.2、列反比例函数解析式时注意自变量取值范围举例水池内有12的水，如果排水管每小时排的水，经过y小时就可以把水排完.求y与x的函数关系式学生很容易理解y与x成反比例函数关系，所以得出，但他们忽略了这是实际问题，自变量x的取值范围是，所以正确的解法应该是.在教学过程中，要教会学生养成求解析式后写自变量取值范围的习惯.画反比例函数图象时要注意的地方由于学生是首次接触双曲线这种函数图象，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和直观的认识.画函数的图象时需要向学生强调以下几方面①反比例函数的图象是光滑的曲线；②图象与x轴y轴不相交，但无限接近；③同一反比例函数的图象是中心对称图象，所以列表时要取对称点.反比例函数的性质(ⅰ)k的符号决定反比例函数图象的位置和函数的增减性举例已知反比例函数，分别根据下列条件求字母k的取值范围函数图象位于一、三象限；每一个象限内，y随x的增大而增大.根据反比例函数的性质，当比例系数4-k＞0时，图象位于一三象限；当比例系数4-k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大.所以（1）因为双曲线在一三象限，所以4-k＞0，所以k＜0.（2）因为在每个象限内，y随x的增大而增大，所以4-k＜0，所以k＞0.在教学过程中，要教学生学会这方面的转化.(ⅱ)|k|在几何问题中的作用举例已知反比例函数的图象上任一点B，过B作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C,A那么四边形OCBA的面积为__________这个矩形的长和宽分别是B点的坐标的绝对值，设B（x,y），则矩形的面积为|x||y|=|xy|=|k|,所以矩形的面积是6.反比例函数图象上任一点作坐标的轴垂线段，垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积等于比例系数k绝对值，这个点不随着点的变化而变化.变式一：一个反比例函数在第二象限的图象如图，若A是图像上任一点，AM⊥于x轴与M,O是原点，△AOM的面积=7，那么这个反比例函数的解析式是____________作AN⊥y轴于N，因为,即，所以k=±14，又因为图象在第二象限，所以k=-14，所以.学生在解答时，很容易忽略对函数图象在第二象限的考虑，认为k=±14.变式二：（2008福州）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则1.5．5、反比例函数图象上点的比较大小举例若A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，且0<x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）.A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．大小不确定反比例函数图象上的点比较大小有如下的方法①取特殊值法；②图象法；③性质法；④函数的增减性法.因为本题的x1，x2在同一象限，可用特殊值法.选C.变式二：若A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，且，则y1与y2的大小关系是（）.A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．大小不确定根据题意可知x1在第三象限，在第二象限，由图象法可知选A.变式三：若A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，且，则y1与y2的大小关系是（）.A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．大小不确定当时，在每个象限内，随的增大而减小.注意“在每个象限内”指的是两点必须在同一象限内，才有性质“随的增大而减小”，而不在一个象限内的点，则不满足此性质.由于题目没有指明A（x1，y1），B（x2，y2）是否在同一象限内，虽然有，但却不能确定y1与y2的大小关系.故正确应该选D.学生较容易认为∵，∴随的增大而减小.又∵，∴.故错选C.一题多变在大题中对反比例函数的考查，一般是与一次函数结合，并且变出多种问题.yxB123312A（1，3）举例（2009肇庆）如图，已知一次函数（myxB123312A（1，3）（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围．解：（1）由题意，得，解得，所以一次函数的解析式为．由题意，得，解得，所以反比例函数的解析式为．由题意，得，解得．当时，，所以交点．（2）由图象可知，当或时，函数值．变式：（2009年兰州）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及△的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.求反比例函数和一次函数的解析式时，一般是用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再利用已知条件求一次函数的解析式.解：（1）在函数的图象上．反比例函数的解析式为：．点在函数的图象上∴，∴ 经过，，∴∴一次函数的解析式为（2）是直线与轴的交点，∴当时，∴点，∴，∴（3）（4）17.1.1反比例函数的意义思考：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？这些函数有什么共同特点？（1）京沪线铁路全长1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h），随此次列车的全程运行问题t（单位：h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为1000矩形草坪，草坪的长ym随宽xm的变化而变化；（3）已知北京市的总面积为1.68×104，人均占有的土地面积S/人，随全市总人口n人的变化而变化.上述三个问题的函数解析式分别为：、、上述问题中的函数关系式都有的形式，其中k为常数．一般地，形如（k为常数，且k≠0）的函数称为反比例函数.（inverseprorportionalfunction）注意在中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以x的取值范围x≠0．探究在上面的三个问题中，两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别的两个量是否成反比例函数关系的关键．例1已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6．（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值．【分析】（1）由题意，可设，把x=2，y=6代入即可求得k，进而求得y关于x的函数关系式．（2）在（1）所求得的函数关系式中，把x=4代入即可求得y的值．解：（1）设设求函数解析式为，把x=2，y=6代入得，解得k=12，所以解析式为；（2）将x=4代入，得，所以当x=4时，y=3．练习：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数解析式表示？一个游泳池的容积为2000，注满游泳池所用的时间t(单位：h)，随注水速度v（单位：）的变化而变化；某长方体的体积为1000，长方体的高h（单位：cm）随底面积S（单位：）的变化而变化；一个物体中100牛，物体对地面的压强P随物体与地面接触面积S的变化而变化.下列哪个等式中的y是x的反比例函数？、、、已知y与成反比例，并且当x=3时y=4.写出y和x之间的函数解析式；求当x=1.5时y的值.补充练习（学探诊）一、填空题1．一般的，形如____________的函数称为反比例函数，其中x是______，y是______．自变量x的取值范围是______．2．写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别．(1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12000元，首付4000元，以后每月付y元，x个月全部付清，则y与x的关系式为____________，是______函数．(2)某种灯的使用寿命为1000小时，它的使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为__________________，是______函数．(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a、h、S．当a＝10时，S与h的关系式为____________，是____________函数；当S＝18时，a与h的关系式为____________，是____________函数．(4)某工人承包运输粮食的总数是w吨，每天运x吨，共运了y天，则y与x的关系式为______，是______函数．3．和⑧y＝3x－1中，是y关于x的反比例函数的有：____________(填序号)．4．若函数(m是常数)是反比例函数，则m＝____________，解析式为___________．5．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为____________．二、选择题6．已知函数，当x＝1时，y＝－3，那么这个函数的解析式是()．(A) (B) (C) (D)7．已知y与x成反比例，当x＝3时，y＝4，那么y＝3时，x的值等于()．(A)4 (B)－4 (C)3 (D)－3三、解答题8．已知y与x成反比例，当x＝2时，y＝3．(1)求y与x的函数关系式；(2)当y＝－时，求x的值．综合、运用、诊断一、填空题9．若函数(k为常数)是反比例函数，则k的值是______，解析式为_________________________．10．已知y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，那么y是z的______函数．二、选择题11．某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数关系式为()．(A)y＝100x (B) (C) (D)y＝100－x12．下列数表中分别给出了变量y与变量x之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是()．三、解答题13．已知圆柱的体积公式V＝S·h．(1)若圆柱体积V一定，则圆柱的高h(cm)与底面积S(cm2)之间是______函数关系；(2)如果S＝3cm2时，h＝16cm，求：①h(cm)与S(cm2)之间的函数关系式；②S＝4cm2时h的值以及h＝4cm时S的值．拓展、探究、思考14．已知y与2x－3成反比例，且时，y＝－2，求y与x的函数关系式．15．已知函数y＝y1－y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式．17.1.2反比例函数的图象和性质我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，那么反比例函数（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？我们用描点法来画出反比例函数的图象，并利用图象对反比例函数的性质加以研究例2.画出反比例函数和的图象．解：列表x…-6-5-4-3-2-1123456…-1-1.5-2-63111.236-1.5（请把表中空白处填好）描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．思考反比例函数和的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？做一做把和的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳反比例函数和的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．此外，的图象和的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．练习在平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象．思考观察和的图象及和的图象.（1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？猜想反比例函数（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？【归纳】（1）反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小．（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．练习：1.请指出下面的图象中哪一个是反比例函数的图象ABCD2.如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象？A.B.C.D.例3.已知反比例函数的图象经过点A（2,6）这个函数的图象位于哪个象限？y随x的增大如何变化？点B（3,4），C,D(2，5)是否在这个函数的图象上？例4.图17.1-2是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？在这个函数图象的某一支上任取点A（a,b）和点B（a’,b’）,如果b和b’有怎样的大小关系？练习已知一个反比例函数的图象经过点A(3，-4).这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？点B（-3,4），C（-2,6），D(3，4)是否在这个函数图象上？右图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？在这个函数图象的某一支上任取点A(a，b)和点B（a’,b’）,如果a<a’,那么b和b’有怎样的大小关系？补充练习：习题17.1写出下列函数解析式，并指出它们格式什么函数？体积是常数V时，圆柱的底面积S与高h的关系；柳树乡共有耕地S公顷，该乡人均耕地面积y与全乡总人口x的关系.指出下列函数中哪一个是反比例函数，并指出其k的值.A.B.C.D.3.填空（1）已知反比例函数的图象如图所示，则k________0，在图象的每一支上，y随x的增大而_____；（2）已知反比例函数的图象如图所示，则k________0，在图象的每一支上，y随x的增大而_____;（3）点（1,3）在反比例函数的图象上，则k________0，在图象的每一支上，y随x的增大而_____.（2）4.如果y与x的反比例函数，那么x也是y的反比例函数吗？5.如果y是x的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y与x具有怎样的函数关系？6.如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，且x≠0，那么y与x具有怎样的函数关系？7.正比例函数y=x的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）当x=-3时，反比例函数y的值;（2）当-3<x<-1时，反比例函数y的取值范围.8.指出下列图象中，哪些是y=kx与（k≠0）在同一个平面直角坐标系中的图象.ABCD9.已知反比例函数的图象的一支位于第一象限.（1）图象的另一支位于哪个象限？常数w的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支位上任取点A(a,b)和点B（a’,,b’）.如果b>b’，那么a与a’有怎样的大小关系？一、填空题1．反比例函数(k为常数，k≠0)的图象是______；当k＞0时，双曲线的两支分别位于______象限，在每个象限内y值随x值的增大而______；当k＜0时，双曲线的两支分别位于______象限，在每个象限内y值随x值的增大而______．2．如果函数y＝2xk＋1的图象是双曲线，那么k＝______．3．已知正比例函数y＝kx，y随x的增大而减小，那么反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而______．4．如果点(1，－2)在双曲线上，那么该双曲线在第______象限．5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是____________．二、选择题6．反比例函数的图象大致是图中的()．7．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是()．(A)y＝x (B) (C) (D)y＝2x8．下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是()．(A) (B) (C) (D)9．反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是()．(A)±1 (B)小于的实数 (C)－1 (D)110．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有()．(A)y1＜0＜y2 (B)y2＜0＜y1 (C)y1＜y2＜0 (D)y2＜y1＜0三、解答题11．作出反比例函数的图象，并根据图象解答下列问题：(1)当x＝4时，求y的值；(2)当y＝－2时，求x的值；(3)当y＞2时，求x的范围．综合、运用、诊断一、填空题12．已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象在第______象限．13．已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数的图象交于点(－1，－1)，则此一次函数的解析式为____________，反比例函数的解析式为____________．二、选择题14．若反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是()．(A)k＜0 (B)k＞0 (C)k≤0 (D)k≥015．若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则()．(A)y1＜y2＜y3 (B)y2＜y1＜y3 (C)y3＜y2＜y1 (D)y1＜y3＜y216．对于函数，下列结论中，错误的是()．(A)当x＞0时，y随x的增大而增大(B)当x＜0时，y随x的增大而减小(C)x＝1时的函数值小于x＝－1时的函数值(D)在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大17．一次函数y＝kx＋b与反比例函数的图象如图所示，则下列说法正确的是()．(A)它们的函数值y随着x的增大而增大(B)它们的函数值y随着x的增大而减小(C)k＜0(D)它们的自变量x的取值为全体实数三、解答题18．作出反比例函数的图象，结合图象回答：(1)当x＝2时，y的值；(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．拓展、探究、思考19．已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A(－2，1)，B(1，n)两点．(1)求反比例函数的解析式和B点的坐标；(2)在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象的示意图，并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?(3)直接写出将一次函数的图象向右平移1个单位长度后所得函数图象的解析式．测试3反比例函数的图象和性质(二)学习要求会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．课堂学习检测一、填空题1．若反比例函数与一次函数y＝3x＋b都经过点(1，4)，则kb＝______．2．反比例函数的图象一定经过点(－2，______)．3．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线上，则y1、y2中较小的是______．4．函数y1＝x(x≥0)，(x＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；②当x＞2时，y2＞y1；③当x＝1时，BC＝3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是____________．二、选择题5．当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是()．(A) (B) (C) (D)6．如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则()．(A)S＝2 (B)S＝4(C)2＜S＜4 (D)S＞47．若反比例函数的图象经过点(a，－a)，则a的值为()．(A) (B) (C) (D)±2三、解答题8．如图，反比例函数的图象与直线y＝x－2交于点A，且A点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式．综合、运用、诊断一、填空题9．已知关于x的一次函数y＝－2x＋m和反比例函数的图象都经过点A(－2，1)，则m＝______，n＝______．10．直线y＝2x与双曲线有一交点(2，4)，则它们的另一交点为______．11．点A(2，1)在反比例函数的图象上，当1＜x＜4时，y的取值范围是__________．二、选择题12．已知y＝(a－1)xa是反比例函数，则它的图象在()．(A)第一、三象限 (B)第二、四象限(C)第一、二象限 (D)第三、四象限13．在反比例函的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值可以是()．(A)－1 (B)0 (C)1 (D)214．如图，点P在反比例函数(x＞0)的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点P′．则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是()(A) (B)(C) (D)15．如图，点A、B是函数y＝x与的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为()．(A)S＞2 (B)1＜S＜2(C)1 (D)2三、解答题16．如图，已知一次函数y1＝x＋m(m为常数)的图象与反比例函数(k为常数，k≠0)的图象相交于点A(1，3)．(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标；(2)观察图象，写出使函数值y1≥y2的自变量x的取值范围．拓展、探究、思考17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠C＝90°，点D在第一象限，OC＝3，DC＝4，反比例函数的图象经过OD的中点A．(1)求该反比例函数的解析式；(2)若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．18．已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)．(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；(3)在(2)中的一次函数图象与x轴、y轴分别交于C、D，求四边形OABC的面积．测试4反比例函数的图象和性质(三)学习要求进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质；会解决与一次函数和反比例函数有关的问题．课堂学习检测一、填空题1．正比例函数y＝k1x与反比例函数交于A、B两点，若A点坐标是(1，2)，则B点坐标是______．2．观察函数的图象，当x＝2时，y＝______；当x＜2时，y的取值范围是______；当y≥－1时，x的取值范围是______．3．如果双曲线经过点，那么直线y＝(k－1)x一定经过点(2，______)．4．在同一坐标系中，正比例函数y＝－3x与反比例函数的图象有______个交点．5．如果点(－t，－2t)在双曲线上，那么k______0，双曲线在第______象限．二、选择题6．如图，点B、P在函数的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是()．(A)长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等(B)点B的坐标为(4，4)(C)的图象关于过O、B的直线对称(D)长方形FOEP和正方形COAB面积相等7．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是()．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4三、解答题8．已知点A(m，2)、B(2，n)都在反比例函数的图象上．(1)求m、n的值；(2)若直线y＝mx－n与x轴交于点C，求C关于y轴对称点C′的坐标．9．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数的图象的一个交点为A(a，2)，求k的值．综合、运用、诊断一、填空题10．如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是______．11．如图，在直角坐标系中，直线y＝6－x与函数的图象交于A，B，设A(x1，y1)，那么长为x1，宽为y1的矩形的面积和周长分别是______．12．已知函数y＝kx(k≠0)与的图象交于A，B两点，若过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为____________．13．在同一直角坐标系中，若函数y＝k1x(k1≠0)的图象与的图象没有公共点，则k1k2______0．(填“＞”、“＜”或“＝”)二、选择题14．若m＜－1，则函数①，②y＝－mx＋1，③y＝mx，④y＝(m＋1)x中，y随x增大而增大的是()．(A)①④ (B)② (C)①② (D)③④15．在同一坐标系中，y＝(m－1)x与的图象的大致位置不可能的是()．三、解答题16．如图，A、B两点在函数的图象上．(1)求m的值及直线AB的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数．17．如图，等腰直角△POA的直角顶点P在反比例函数的图象上，A点在x轴正半轴上，求A点坐标．拓展、探究、思考18．如图，函数在第一象限的图象上有一点C(1，5)，过点C的直线y＝－kx＋b(k＞0)与x轴交于点A(a，0)．(1)写出a关于k的函数关系式；(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9时，求△COA的面积．19．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A(－3，1)、B(2，n)两点，直线AB分别交x轴、y轴于D、C两点．(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的值．17.2实际问题与反比例函数例1.市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)．例2.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完成后恰好用了8天时间.轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间（单位：天）之间有怎样的函数关系？由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为：阻力×阻力臂=动力×动力臂例3小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛和0.5米动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？思考：用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？电学知识告诉我们，用电器的输出功率P（瓦）、两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧）有如下关系：PR=U.这个关系也可写为P=________,或R=____________.例4一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110~220欧，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如图所示.输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？这个用电器输出功率的范围多大？思考：结合例4，想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？练习：如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升（1升=1立方分米）的圆锥形漏斗漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？如果漏斗口的面积为100平方厘米，则漏斗的深为多少？一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用6小时到达目的地.当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？如果该司机必须在4小时之内回到甲地，则返程时的速度不能低于多少？新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼梯外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为.所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2:2:1，则需要三种瓷砖各多少块？习题17.2请举出一个生活中应用反比例函数的事例某农业大学计划修建一块面积为的长方形试验田试验田的长y（单位：m）与宽（单位：m）的函数解析式是什么？如果把试验田的长与宽的比定为：2:1，则试验田的长与宽分别为多少？小燕家用购电卡购买了1000度电，那么这些点所够使用的天数m与小燕家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系式？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？已知经过闭合电路的电流I与电路的电阻R是反比例函数，请填写下表（精确到0.01）I/安12345R/欧202530658090在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ是体积V的反比例函数，它的图象如图所示求密度ρ（单位：）与体积v（单位：）之间的函数关系式；求当时二氧化碳的密度ρ.红星粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）有怎样的函数关系？粮库有职工60名，每天最多可入库300吨玉米，预计玉米入库最快可在几天内完成？粮库的职工连续工作两天后，天气预报说在未来的几天很可能会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，需要增加多少人帮忙才能完成任务？某汽车油箱的容积为70升，小王把油箱注满后准备驾驶汽车从县城到300千米外的省城接客人，在接到客人后立即按原路返回，请回答下列问题：油箱注满油后，汽车能够行驶的总路程a（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）之间有怎样的函数关系？小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返程时由于下雨，小王降低了车速，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍，如果小王一直以此速度行驶，油箱里的油是否能都回到县城，至少还需要多少油？复习题17用式子表示下列函数：三角形的面积是12，它的底边a（单位：cm）是这个底边上的高（单位：cm）函数；圆锥的体积是50，它的高h（单位：cm）是底面积S（单位：）的函数.填空：对于函数，当x>0时，y______0,这部分图象在第______象限；对于函数，当x<0时，y______0,这部分图象在第______象限.填空：函数的图象在第______象限，在每一个象限内，y随x的增大而__________;函数的图象在第______象限，在每一个象限内，y随x的增大而__________.下面哪个等式中的y是x的反比例函数？（1）（2）（3）（4）5.在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围.6.如图，一块砖的A,B,C三个面的面积比是4：2:1，如果把砖的B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的A面和C面分别向下放在地上，地面所受压强分别为多大？已知某品牌显示器的寿命大约为小时这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？如果平均每天工作10小时，则这种显示器大约可使用多长时间？两个不同的反比例函数的图象是否会相交，为什么？在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数没有交点，请确定两个常数的乘积的取值范围.指出下列函数的图象（1）（2）（3）（4）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石总量为，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.运输公司平均每天的工作量v（单位：）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方，则公司完成全部运输任务需要多长时间？当公司以问题（2）中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？学探诊习题一、填空题1．一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是______，自变量x2．若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是______(不考虑x的取值范围)．二、选择题3．某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是()．4．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是()．(A)小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系(B)长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系(C)压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系(D)一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系5．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：体积x/ml10080604020压强y/kPa6075100150300则可以反映y与x之间的关系的式子是()．(A)y＝3000x (B)y＝6000x (C) (D)综合、运用、诊断一、填空题6．甲、乙两地间的公路长为300km，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为v(km/h)，到达时所用的时间为t(h)，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为______．7．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布y(m2)与半径R(m)的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)__________________．二、选择题8．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是()．三、解答题9．一个长方体的体积是100cm3，它的长是y(cm)，宽是5cm，高是x(cm)．(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；(2)画出(1)中函数的图象；(3)当高是3cm时，求长．测试6实际问题与反比例函数(二)学习要求根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题．课堂学习检测一、填空题1．一定质量的氧气，密度是体积V的反比例函数，当V＝8m3时，＝1.5kg/m3，则与2．由电学欧姆定律知，电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R＝20时，电流强度I＝0.25A(1)电压U＝______V；(2)I与R的函数关系式为______；(3)当R＝12.5时的电流强度I＝______A；(4)当I＝0.5A时，电阻R＝______．3．如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V/m3·h－1与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数图象．(1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______m3；(2)此函数的解析式为____________；(3)若要在6h内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______m3；(4)如果每小时的排水量是5m3二、解答题4．一定质量的二氧化碳，当它的体积V＝4m3时，它的密度p＝2.25kg/m3(1)求V与的函数关系式；(2)求当V＝6m3(3)结合函数图象回答：当V≤6m3综合、运用、诊断一、选择题5．下列各选项中，两个变量之间是反比例函数关系的有()．(1)小张用10元钱去买铅笔，购买的铅笔数量y(支)与铅笔单价x(元/支)之间的关系(2)一个长方体的体积为50cm3，宽为2cm，它的长y(cm)与高x(cm)之间的关系(3)(4)一个圆柱体，体积为100cm3，它的高h(cm)与底面半径R(cm)之间的关系(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二、解答题6．一个气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出这一函数的解析式；(2)当气体体积为1m3(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少?7．一个闭合电路中，当电压为6V时，回答下列问题：(1)写出电路中的电流强度I(A)与电阻R()之间的函数关系式；(2)画出该函数的图象；(3)如果一个用电器的电阻为5，其最大允许通过的电流强度为1A，那么把这个用电器接在这个闭合电路中，会不会被烧?试通过计算说明理由．拓展、探究、思考三、解答题8．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45