西安市高新第一中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)

一、选择题1．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（）m．A．1 B． C． D．22．计算的值为（）A． B． C． D．3．4片叶子由曲线与曲线围成，则每片叶子的面积为（）A． B． C． D．4．已知是虚数单位，复数，若，则（）A． B． C． D．5．若曲线在点处的切线平行于轴，则（）A．B．C．D．6．设若，，则的值是()A．1 B．2 C．1 D．-27．已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为()A．8B．6C．4D．28．曲线，和直线围成的图形面积是（）A． B． C． D．9．如图，设是途中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．10．已知幂函数图像的一部分如下图，且过点，则图中阴影部分的面积等于（）A． B． C． D．11．由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（）A．3 B． C． D．12．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（）A． B． C． D．二、填空题13．已知曲线y=2x与直线14．若，，，则，，的大小关系为___．15．已知，则展开式中的系数为______.16．曲线与轴围成的封闭区域的面积为__________．17．计算＝_________________．18．计算由曲线所围成的封闭图形的面积__________．19．计算得__________．20．曲线与直线所围成的平面图形的面积为________.三、解答题21．已知函数.（1）若在上存在极值，求的取值范围；（2）当时，恒成立，比较与的大小.22．已知函数，且曲线在点处的切线与轴垂直．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求证．23．求曲线，，所围成图形的面积．24．求曲线和直线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．25．在11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求dx26．已知，（1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；（2）若当时，对任意恒成立，求实数的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解【详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得．所以物体在间的运动路程是．故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．B解析：B【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解.【详解】根据牛顿莱布尼茨公式.故选：B.【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．C解析：C【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积.【详解】如图所示：由，解得，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为.故答案选C【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力4．A解析：A【解析】因为，所以，由定积分公式，故，即，应选答案A。5．B解析：B【解析】因为,所以,选B.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.6．C解析：C【详解】，故选：C7．C解析：C【解析】由函数f(x)=x2+1的图像可知，a,b需满足b=2-2≤a≤0或8．D解析：D【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，由解得交点为（0，1），∴所求面积为：考点：定积分及其应用9．D解析：D【解析】试题分析：由题意，阴影部分由两部分组成，因为函数当时，所以阴影部分的面积为故选D．考点：利用定积分在曲边形的面积．10．B解析：B【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数图像过点，所以，解得，所以幂函数，则阴影部分的面积为，故选B.考点：幂函数的解析式；定积分的应用.11．A解析：A【解析】如图所示，曲边四边形OABC的面积为.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．12．C解析：C【详解】由，解得，解得，解得，所围成的平面图形的面积为，则，，故选C.二、填空题13．32-2ln2【分析】先确定交点坐标得到积分区间确定被积函数求出原函数即可求得结论【详解】解：由题意曲线y=2x与直线x+y=3的交点坐标为1221∴曲线y=2x与直线x+y=3所围成的封闭图形的面解析：3【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【详解】解：由题意，曲线y=2x与直线x+y=3的交点坐标为1,2∴曲线y=2x与直线x+y=3=故答案为：32【点睛】本题考查定积分知识的运用，确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，是解题的关键，属于中档题．14．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题解析：【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．15．32【分析】由定积分求出实数的值再利用二项式展开式的通项公式求解即可【详解】解：因为==2由展开式的通项为=即展开式中的系数为+=32故答案为32【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式属基础题解析：32【分析】由定积分求出实数的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可.【详解】解：因为==2,由展开式的通项为=,即展开式中的系数为+=32，故答案为32.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，属基础题.16．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积，故答案为2.17．【解析】解析：.【解析】.18．18【解析】因为或所以应填答案解析：18【解析】因为或，所以，应填答案。19．【解析】分析：根据定积分的定义分别和求和即可详解：表示以（00）为圆心以2为半径的半径故故答案为点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分(解析：.【解析】分析：根据定积分的定义分别和，求和即可.详解：表示以（0，0）为圆心，以2为半径的半径.故.故答案为.点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分．(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．20．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直解析：【解析】试题分析：联立,交点,,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对进行定积分，，有些麻烦，这里就转化为对进行定积分，要容易很多.三、解答题21．（1）（2）【解析】【试题分析】(1)函数在区间存在极值,即函数导函数满足,由此求得的取值范围.(2)当时，恒成立，则,分离常数得对恒成立.构造函数利用导数求得函数的最大值,由此求得的取值范围.构造函数,利用导数证得的最小值大于零,由此证得.【试题解析】解：（1）∵为上的减函数，∴，∴.（2）当时，恒成立，则，即对恒成立.设，，设，，∴在上递减，又，则当时，，；当时，，.∴，∴，即的取值范围为.设，则，∴在上递增，∴，∴.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值的问题,考查利用导数比较两个数的大小.要使函数在某个区间上有极值,必须使得函数在这个区间上导数有大于零,也有小于零的地方,本题中求导后导函数为区间上的减函数,故需左端点函数值大于零,右端点函数值小于零,由此求得参数的取值范围.22．(1)(2)见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出函数的切线，建立方程关系即可求b的值；（Ⅱ）求函数的导数，构造函数，利用函数最值和导数之间的关系进行证明即可．试题(Ⅰ），所以由题设知.（Ⅱ）由(Ⅰ）可得，故只需证，设，令，得.当时，，当时，，所以，所以，．23．平面图形的面积【详解】分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可；详解：由曲线，，可得的横坐标为1，由，可得的横坐标为3．∴所求面积为点睛：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题．24．.【分析】联立方程与，解得,直接利用定积分的几何意义求解即可.【详解】联立方程与，解得,所以所求旋转体的体积.【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.25．【分析】先求11展开式的通项公式，其中有2项有理项，确定概率，根据定积分的计算法则，先求出被积函数的原函数，再分别将积分上下限代入求差，即可求出结果.【详解】解：Tr＋1＝·(3)11－r·r＝·311－r·(－2)r·，r＝0,1，…，11，共12项其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为.【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式展开式的特定项问题、考查古典概型的概率公式，考查定积分的计算.解题关键是熟练应用二项式展开式的通项公式，找出符合条件的项数.26．（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数对t的范围进行分类讨论求最值.(2)本小题实质是在上恒成立，进一步转化为在上恒成立,然后构造函数利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根.试题（1）定义域为，，因为在上为单调函数，则方程在上无实根.故，则.（2），则，对一切恒成立.设，则