九年级数学上册试题 第三节《相似三角形》-沪教版（含答案）

第三节《相似三角形》一、解答题1．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．2．已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线于点F．（1）求证：；（2）如果，求证：线段是线段、的比例中项．3．已知：如图，在四边形中，，、相交于点，（1）求证：；（2）如果，求证：．4．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且．求证：（1）；（2）．5．已知：如图，四边形是菱形，点、分别在边、上，联结、交对角线于、两点，且．（1）求证：；（2）若，求证：．6．某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形中，，过对角线交点O的直线与两底分别交于点M、N，则；②如图2．在梯形中，，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的，请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明：（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段、同时平分，请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔水笔完成作图，不要涂改）7．RtABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB．（1）求证：．（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH⊥AB．8．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD2=AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）．9．如图，点是菱形的对角线上一点，联结并延长，交于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）如果，，求的长．10．已知：如图，、分别是的边、上的点，且，连接、相交于点．（1）求证：；（2）如果，求证：．11．如图，点E为边BC上一点，过点C作，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且．（1）求证：；（2）如果，求证：．12．如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，（1）求证：；（2）求证：．13．如图，在四边形中，联结．点在边上，且与交于点．（1）求证：；（2）当时，求证：．14．如图，在中，点、在边上，点在边上，，，、交于点，．（1）求证：；（2）当时，求证：．15．如图，已知矩形的边在的边上，顶点G，F分别在边，上．的高交于点I．（1）求证：；（2）设（n为正实数），求证：．16．已知：如图，，，，，点、分别为垂足．（1）求证：；（2）连结，如果，求证：．17．如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AC．过点A作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交于点G．(1)求证：△ACG≌△DOA；(2)求证：．18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．（1）求证：（2）过E做EG⊥AB，延长EG至点F，使FG=EG，若∠B=30°，求证：四边形AFEC是菱形．19．已知：如图，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BF⊥DE，垂足为点F，且EF•BD＝BE•BF．（1）求证：∠ADE＝∠BDE；（2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BG＝BC＋AE．20．如图，在▱ABCD中，点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于点E和F，联结DG．（1）求证：AE2＝EF•EG；（2）如果∠ABD＝∠AGD，求证：四边形ABGD是等腰梯形．21．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果OE⊥CD，求证：CE•OF＝CF•OE．22．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，．求证：（1）四边形ABCD为矩形；（2）BE•DQ＝FQ•PE．23．如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD平分∠ABC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB．（1）求证：四边形ABGD是菱形；（2）联结EG，求证：BG•EG＝BC•EF．24．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，∠AED＝∠B．（1）求证：CE•AD＝DE2；（2）求证：．25．如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分∠ABC，求证：AB＝3BC．26．已知：如图，在梯形中，，，是的中点，的延长线交边于点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证四边形是菱形．27．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AE⊥BD，垂足为E，联结CE，作EF⊥CE，交边AB于点F．（1）求证：△AEF∽△BEC；（2）若AB＝BC，求证：AF＝AD．28．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．（1）求证：CF•CA＝CB•CE；（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．29．如图，在梯形中，，过点A作，垂足为点E，过点E作，垂足为点F，联结，且平分．（1）求证：；（2）联结，与交于点G，当时，求证．答案一、解答题1．证明（1）∵∠ACB=90°，CH⊥AB，∴∠CHA=90°=∠ACB，∴∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH，∴，∵，∴，∵∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°，∴，∴；（2）∵△ACE与△ACD同高，∴，∵△ACD与△ABD同高，∴，∵CD=CE，∴，∵△ACE∽△ABD，∴，∴，∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．2．证明：（1）如图，延长AF交BC于点G，∵，，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AD=GC．∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．3．证明：（1）∵两个三角形有一公共角∠BAC∴．（2）为等腰三角形为等腰三角形．4．证明：（1）∵∴∵∠BFD=∠AFE∴△AFE∽△BFD∴∠FDB=∠AEF，∴180°-∠FDB=180°-∠AEF，即（2）∵∴180°-∠ADC-∠C=180°-∠BED-∠C即∠DAC=∠EBC∵BE=CE,∴∠C=∠DAC=∠EBC∵AD=AB，∴∠ADB=∠ABD∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠ABD=∠ABE+∠EBC，∴∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC∵∠AEB=∠C+∠EBC∴∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC∴△AEF∽△CBA，∴∴∵∠C=∠DAC∴CD=AD∵AB=AD∴AB=CD∴．5．证明：（1）∵四边形是菱形；∴；∴；∵，；又∵；∴；∴∽；∴，即；∴；（2）∵四边形是菱形；∴，；∴；∵；∴，∴；∴，即．6．解：（1）已知：四边形ABCD为梯形，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF∥CD，分别交AD、BC于E、F，求证：OE=OF证明：∵AB∥CD∴△AOB∽△COD∴∴∵EF∥CD∴△AEO∽△ADC，△BFO∽△BCD∴，∴∴OE=OF；（2）连接DA、CB并延长交于点P，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长，分别交AB、CD于M、N，如下图所示，PN即为所求，证明如下由①知：，由②知：∴∴∴CN=DN∴∴AM=BM∴PN平分线段、．7．证明：（1）∵CA=CD，∴∠A=∠CDA．∵∠ACD=90°，∴∠A+∠B=90°．∵DE⊥AB，∴∠CDA+∠CDE=90°，∴∠B=∠CDE．∵∠DCE=∠BCD，∴△DCE∽△BCD，∴．∵CD=CA，∴，∴；（2）∵，∠ACE=∠BCA，∴△CAE∽△CBA，∴∠CEA=∠CAB．∵∠ACB=90°，∴∠CEA+∠CAE=90°．∵M为AE的中点，∠ACE=90°，∴CM=AM，∴∠CAE=∠ACM．∵∠CEA=∠CAB，∴∠CAB+∠ACM=90°，∴∠AHC=90°，∴CH⊥AB．8．证明：（1），，是公共角，，，，，，，；（2），，，，，，．9．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴，，，∴，，∴，，∴，∵，∴；（2）如图，连接OC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．10．证明：（1）∵，，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵∴，又∵，∴，∴，∴，∴．11．（1），，,,在和中，，，，，；（2）又,∴．12．解：（1）∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴，∴；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∵，∴∠AEB=∠DCE，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．13．解：（1）∵∠B=∠DCB，且，即∴∴∵∴∠ACB=∠CAD∴（2）∵∴∠ADE=∠CED在△ADF和△DEC中，∴△ADF≌△DEC∴AF=DC又∵∠CDF=∠CAD，∠FCD=∠ACD∴∴，即∴14．（1）∵，∴∠CGE=∠CAB，∠CEG=∠CBA，∴△CGE∽△CAB，∴，∴即，∵BF=AG∴，∵，∴∠DBC=∠DCB，即∠FBE=∠GCE，∴，（2）∵，∴∠BAE=∠AEG，又∵，∴∠BAE=∠C，又∵∠ABE=∠CBA共用，∴△ABE∽△CBA，∴，∠BEA=∠BAC，∴，由（1），∴∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE，∵，∴∠ABC=∠GEC，∠BAC=∠EGC，∴∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC，∴AC=BC，GC=EC，∴AG=BE，．．

15．解：（1）证明：∵四边形DEFG为矩形，的高交于点I，∴GD=EF,,又∵∠B=∠B,∠C=∠C，∴，∴,,∴，∴；（2）证明：∵四边形DEFG为矩形，∴，，∴，∴△AGF∽△ABC，∵AH为△ABC的高，∴∠AIF=∠AHC=90°，,即,∵，∴四边形IHEF为矩形，∴EF=IH，∵，∴，∴．16．证明（1）∴，又∵AE、DF分别是与对应边上的高，（2）如图，连结EF，，∴，，∴，∴∴17．证明：(1)在菱形ABCD中，AD=CD，AC⊥BD，OB=OD．∴∠DAC=∠DCA，∠AOD=90°．∵AE⊥CD，CG⊥AC，∴∠DCA+∠GCE=90°，∠G+∠GCE=90°．∴∠G=∠DCA．∴∠G=∠DAC．∵BD=2AC，BD=2OD，∴AC=OD．在△ACG和△DOA中，∵∠ACG=∠AOD，∠G=∠DAC，AC=OD，∴△ACG≌△DOA．(2)∵AE⊥CD，BD⊥AC，∴∠DOC=∠DEF=90°．又∵∠CDO=∠FDE，∴△CDO∽△FDE．∴．即得．∵△ACG≌△DOA，∴AG=AD=CD．又∵，∴．18．解：（1）∵AC平分∠BCD∴∠DCA=∠BCD又∵AC⊥AB，AD⊥AE∴∠DAC+∠EAC=90°，∠EAC+∠EAB=90°∴∠DAC=∠EAB∵E是BC的中点∴CE=BE=AE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠EAB=∠ABC∴∠DAC=∠ABC∴∴∴（2）∵E是BC的中点，AC⊥AB∴CE=BE=AE=（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∵∠B=30°∴∵∴又∵AC⊥AB，EG⊥AB∴AC∥EF∵E是BC的中点∴G是AB的中点（中位线定理）∴又∵FG=EG∴∴，AC∥EF∴四边形AFEC是平行四边形∴AF=CE又∵CE=AC∴AF=EF=EC=AC∴四边形AFEC是菱形．19．（1）∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，在Rt△BEF中，sin∠EBF＝，在Rt△DBF中，sin∠BDE＝，∵EF•BD＝BE•BF，∴＝，∴sin∠EBF＝sin∠BDE，∴∠EBF＝∠BDE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAE＝90°＝∠BFD，∴∠EBF＋∠BEF＝∠ADE＋∠AED＝90°，∵∠BEF＝∠AED，∴∠EBF＝∠ADE，∴∠ADE＝∠BDE；（2）如图，延长BF交DA的延长线于H，∵∠ADE＝∠BDE，∠DFH＝∠DFB＝90°，DF＝DF，∴△DFH≌△DFB（ASA），∴HF＝BF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，AD＝AB＝BC，∴∠G＝∠ADE，∠GBF＝∠H，在△GBF和△DHF中，，∴△GBF≌△DHF（AAS），∴BG＝DH＝AD＋AH＝BC＋AH，在△DAE和△BAH中，，∴△DAE≌△BAH（ASA），∴AH＝AE，∴BG＝BC＋AE．20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE．∴，．∴．∴AE2＝EF•EG．（2）∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．∵∠ABD＝∠AGD，∴∠CDB＝∠AGD．∵∠DEF＝∠GED，∴△DEF∽GED．∴．∴DE2＝EF•EG．由（1）知：AE2＝EF•EG．∴DE＝AE．在△ABE和△DEG中，∴△ABE≌△DEG（AAS）．∴AB＝DG．∵AD∥BG，∴四边形ABGD是等腰梯形．21．解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝∠BAC，∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）如图，过点O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠OCB＝∠OCD，又∵OF⊥CD，OH⊥BC，∴OF＝OH，∵∠E＝∠E，∠EFC＝∠EHO＝90°，∴△CEF∽△OEH，∴＝，∴CE•OH＝CF•OE∴CE•OF＝CF•OE．22．证明：（1）∵四边形ADFE是菱形，∴AF⊥DE，∴∠EPF＝90°，∵，∠PFE＝∠AFB，∴△ABF∽△EPF，∴∠ABE＝∠EPF＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝EF，∴EC+CF＝BE+CE，∴BE＝CF，∵∠DPF＝∠QCF＝90°，∠CQF＝∠PQD，∴△DPQ∽△FCQ，∴，∴，∴BE•DQ＝FQ•PE．23．证明：（1）∵AD//BC，∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°，∵∠DGB＝∠DAB，∴∠ABG＝∠ADG，∴四边形ABGD是平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠GBD，∵AD//BG，∴∠ADB＝∠ABD＝∠GBD，∴AB＝AD，∴四边形ABGD是菱形；（2）如图，连接EG，∵四边形ABGD是菱形，∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE，在△ABE和△GBE中，，∴△ABE≌△GBE（SAS），∴EG＝AE，∵AD//BC，∴△ADE∽△CBE，∴，∵DF//AB，∴，∴，∵AD＝BG，AE＝EG，∴，∴BG•EG＝BC•EF．24．证明：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C，AB＝DC，∠ADE＝∠DEC，∵∠AED＝∠B，∴∠C＝∠AED，∴△ADE∽△DEC，∴，∴CE•AD＝DE2；（2）∵△ADE∽△DEC，∴，∴，∴．．25．（1）证明：∵四边形CBDE是平行四边形，∴DE∥BC，∵∠ABC＝90°，∴∠AFD＝90°，∴DF⊥AB，又∵D为AC的中点，∴AD＝BD，∴AF＝BF，即EF垂直平分AB；（2）证明：延长ED交AB于点F，由（1）知，EF垂直平分AB，