初三奥数竞赛常用公式

全国初中数学竞赛试题

一、选择题

1.设aVb<0,a2+b2=4ab,则叱的值为【】

a-b

A、旧B>76C、2D、3

2.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a?+

b2+c2—ab—be—ca的值为【】

A、0B、1C、2D、3

3.如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G,

u四边形AGCD等

S矩形4BC»

4.设a、b、c为实数，x=a2—2b+—,y=b2—2c+—,z=c2—2a+—,则x、

333

y、z中至少有一个值【】

A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于0

5.设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根治、x2,且土

<l<x2,那么a的取值范围是【】

2222

A、--<a<—B、a>—C^a<D、--<a<0

755711

6.AiA2A3…Ag是一个正九边形，AiA2=a,AiA3=b,则AA等于1]

A、7«2+b~B>7«2+ab+b2C、；(a+6)D、a+b

二、填空题

7.设Xi、X2是关于x的一元二次方程x?+ax+a=2的两个实数根，则(X1—2x2)(x-

2—2xJ的最大值为o

8.已知a、b为抛物线y=(x—c)(x—c—d)—2与x轴交点的横坐标，a<b,

贝U|a-c|+|c-4的值为°

9.如图，在AABC中，NABC=60°,点P是aABC内的一点，使得NAPB=NBPC

=ZCPA,且PA=8,PC=6,则PB=

10.如图，大圆0的直径AB=acm,分别以0A、0B为直径作。01、002；并在

。。与和。的空隙间作两个等圆和。这些圆互相内切或外切，则

2

四边形O1O2O3O4的面积为.cmo

-G4

11.满足（空一n—1）4=1的整数n有个。

12.某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折

扣（即降价的百分数）不得超过d%,则d可以用p表示为o

三、解答题

2

13.某项工程，如果由甲、乙两队承包，2M天完成，需付180000元；由乙、

丙两队承包，3』天完成，需付150000兀；由甲、丙两队承包，29天完成，

47

需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个

队的承包费用最少？

14.如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF交于

CPAC2

一点Q,设AD与CE的交点为P。（1）求证:QD=—(2)求证:

EDECPE-CE2

A

B

16.如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax?+bx+c的值都是平方数（即

整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且

c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三

项式ax2+bx+c的值都是平方数？

全国初中数学竞赛试题

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.设a<b<0,a2+b2=4ab,则j的值为()。

a-b

A,V3C、2D、3

日(a+b^_/+/+2a小6ab

答案：A.由题意：白〉0,

b且-a?+户2as2ab

2.已知a=1999x+2000,b=1999x+200Lc=1999x+2002,则多项式a2

+r+（?—ab—be—ca的值为（）。

A、0B、1C、2D、3

222

答案：原式=1[(a-b)+(b-c)+(c-a)]=1[l+l+4]=3o

3.如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G,

则0四边形AG。等于（)o

S矩

5422

A、B、C、D、

654

答案：设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点,

2

2x+y=

:,得2x+2y=

所以S△GCF=SAGBF，设为X；SAGAE=S△GBE，设为yo则

x4-2y=

4

1

、2..

所以S四边形AGCD二y-从而S四边形AGCD•S矩形ABCD=2•3.

4.设a、b、c为实数，x=a2—2b+—,y=b2—2c+—,z=c2—2a+—,则

333

x、y、z中至少有一个值（)o

A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于0

答案：由题意:x+y+z=a+b+c-2a-2b-2c+九-(a-l)+(b-l)+(c-l)+^-3>0

所以x、y、z中至少有一个大于0.

2

5.设关于x的方程ax+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根x1、x2,且

X1<1<X2,那么a的取值范围是()o

22222

A、--VaV—B、a>一C、a<--D、------<a<0

755711

答案：由题知：(x[l)区-1)〈0,即XiX2-(x1+x2)+l<0,代入韦达定理并整

理得卫竺^〈0,可知选(A).

6.A1A2A3…Ag是一个正九边形，AA=a,AA=b,则AN等于()o

A、Vtz2+b2B、-\la2+ab+b2C、+D、a+b

答案:.延长AA和A5A&相交于P,连结A2A*易证：APA内和APA2A&

均为正△，且PA2=A2A4=A1A3=bo所以A1A5=PA1=a+b.

二、填空题(每小题5分，共30分)

7.设xcX,是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，贝U(X1—

2x2)(x2-2xi)的最大值为o

答案：由△=(a-2)2+4>0知a为一切实数.由韦达定理，得原式

63

=9XX_2(x1+x)2=_2a2+9a_18^--5—.

122o

8.已知a、b为抛物线y=(x—c)(x—c—d)—2与x轴交点的横坐标，a<b,

贝U+卜一b\的值为。

答案：由题知：(a-c)(a-c_d)—2=0,(b—c)(b—c_d)_2=0.所以a-c和b—c是

方程t(t-d)-2=0(BPt2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)=-2〈0.而\\

a<b,即a-c<b-c.所以a-c<0,b-c>0.所以原式=1厂2.V

9.如图，在AABC中，NABC=60°,点P是AABC内的一点，使得NAPB=N"

BPC=ZCPA,且PA=8,PC=6,则PB=。

pDQ

答案：易证：APABsABCP,所以%―=A京得PB=4店"

10.如图，大圆0的直径AB=acm,分别以0A、0B为直径作。01、002,并在。

0与OOi和。的空隙间作两个等圆。。3和。0”这些圆互相内切或外切，

则四边形OQO3O4的面积为cm2o

aaaa

答案：设。的半径为X,则0Q=W+x,064,030=2-x.所以(W

aaa1

+x)2=(4)2+(2一x)；解得x=6，易得菱形oaoa的面积为5/

11.满足(I?—n—1尸+2=1的整数n有个。

答案：由题设得n2-n-l=±l,有5个根:0,1,-1,2.和-2

12.某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时，为了不亏本，售

价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可以用p表示

为。

答案：设成本为a,则a(1+p%)(l-d%)=a,得d=100

三、解答题(每小题20分，共60分)

9

13.某项工程，如果由甲、乙两队承包，2g天完成，需付180000元；由乙、

丙两队承包，3之天完成，需付150000兀；由甲、丙两队承包，2g天完成,

47

需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，

哪个队的承包费用最少？

答案：设单独完成，甲、乙、丙各需a、b、c天.则

解得a=4,b=6,c=10(c〉7,舍去).

又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z(元)，则

y(x+y)=180000

y(y+z)=150000

—(z+x)=160000

解得x=45500,y=29500,所以甲4天完成的总费用为182000元，乙6天完成

的总费用为177000元，所以由乙承包.

14.如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF交于

一点Q,设AD与CE的交点为P。

QD_ACCPAC2

(1)求证:(2)求证:

ED-ECPECE7

ED

答案：⑴易证N3=N4,所以NAEC=NDEQ,而NACE=N2,

A

所以AACEsAQDE.可得结论成立.

CPCQ

⑵分析：易证N6=N4,所以FC〃ED,所以最

ED

金

所以只需证rc言=定CP，

一、月C2

由⑴有市=市。

COQD1

所以只需证至云=■/,即QD?=CQXEQ.

这只需证ACQDsAEQD.

而由题设有N7=N3+N5=N4+N5,

由⑴有N9=NE