长郡中学备战高考14讲专题08-数列(老师版)

专题08数列一、单选题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知，，三人分配奖金的衰分比为，若分得奖金1000元，则，所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为A．，14580元 B．，14580元C．，10800元 D．，10800元【答案】B【解析】设“衰分比”为，甲获得的奖金为，则.，解得，故.故选：.2.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考】等差数列的前项和为，已知，则的值为（）A．63 B．21 C． D．21【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴，故选：C．3.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】已知函数，在等差数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差中项性质可得，即，所以，则.故选：C.4.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，成等差数列，可得，则，，，可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.则，，则的最大值可能为.由，，可得.因为，，，即，所以，则，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为.故选：A.5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】设是数列的前n项和，满足，且，则（）A．10 B． C． D．11【答案】A【解析】因此数列为等差数列，首项为1，公差为1，即故选：A6.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，，所以数列为首项为，公差为的等差数列，，则，其对称轴.所以的最小的一项是第项.故选A.7.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】数列是等差数列，且，，那么（）A． B． C．5 D．-5【答案】B【解析】由于数列是等差数列，所以，又，，∴，解得，故选：B.8.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】已知函数，数列是公差为1的等差数列，且，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，，所以数列是公比为的等比数列，所以，所以，所以，故选：D9.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】已知数列，，其中为最接近的整数，若的前项和为20，则（）A．15 B．30 C．60 D．110【答案】D【解析】由题意知，函数为最接近的整数，又由，，，，由此可得在最接近的整数中，有2个1，4个2，6个3，8个4，，又由数列满足，可得，则，因为的前项和为20，即，可得数列构成首项为，公差为的对称数列的前10项和，所以.故选：D.10.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚尺，则几日后两鼠相逢()A． B． C． D．【答案】B【解析】大鼠从第一天起打进尺数依次为：1，2，4，8，…，小鼠从第一天起打进尺数依次为：1，，，，…，前3天两鼠完成量的总和为，前4天两鼠完成量的总和为，所以第4天两鼠相逢.故选：B11.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】素数在密码学、生物学等方面应用广泛，下表为森德拉姆(Sundaram，1934)素数筛法矩阵：4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……其特点是每行每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在矩阵中，则一定是合数，反之如果正整数n不在矩阵中，则一定是素数，下面结论中不正确的是（）A．第4行第10列的数为94 B．第7行的数构成公差为15的等差数列C．592不会出现在此矩阵中 D．第10列中前10行的数之和为1255【答案】C【解析】根据题意，第i行的等差数列的公差为．第j列的等差数列的公差等于．设表示第i行第j列的数，因为第4行的数构成了以13为首项，9为公差的等差数列．所以，A正确；因为第7行的第1个数为22．第2个数为37．所以公差为15，B正确；按照题意，如果592不会出现在此矩阵中，则是素数，而是合数，所以592会出现在此矩阵中，C错误；第10列中前10行的数构成以为首项，公差为21的等差数列，其和为，D正确．故选：C12.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为A． B． C． D．【答案】C【解析】得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为d，根据题意，于是有解得．故选C．13.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】定义：在数列中，若满足(，d为常数)，称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，，则等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得：，，，根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则，所以，，所以．故选：C14.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）】在等差数列中，，．记，则数列（）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.二、多选题1.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】公比q为正数，且，，，又，解得，.，，，∴数列是公比为2的等比数列.，故ABC正确，，数列是公差为的等差数列，故D错误.故选：ABC.2.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（一）】已知数列的前项和为，且，（，为非零常数），则下列结论正确的是（）A．是等比数列 B．当时，C．当时， D．【答案】ABC【解析】由，得.时，，相减可得，又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；由A可得时，，故B正确；由A可得等价为，可得，故C正确；，，则，即D不正确；故选：ABC.3.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】在数列中，若（为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列D．若是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【答案】BCD【解析】对于A，若是等差数列，如，则则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中的项列举出来是，，，，，，，数列中的项列举出来是，，，，，，将这k个式子累加得，，，k为常数是等方差数列，故C正确；对于D，是等差数列，，则设是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.故选：BCD.三、填空题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】正整数数列满足，已知，的前6项和的最大值为，把的所有可能取值从小到大排成一个新数列，所有项和为，则________.【答案】62【解析】正整数数列满足,且,所以或1,再依次分析,则可得的前6项分别为:128,64,32,16,8,4;或21,64,32,16,8,4;或20,10,5,16,8,4;或3,10,5,16,8,4;或16,8,4,2,1,4;或2,1,4,2,1,4;因此,,,故答案为:622.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考】正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值为______.【答案】6【解析】因为正项等比数列中，，所以，即，又，所以，由可得出，于是，当且仅当等号成立，所以所求最小值为6，故答案为：6.3.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】记为等比数列的前项和，，且，则公比______.【答案】或【解析】若，则，，等式不成立，所以.由，得，结合整理，得.又，所以或.故答案为：或.4.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】在①数列{an}为等差数列，且a3＋a7＝18；②数列{an}为等比数列，且a2a6＝64，a2a3<0；③Sn－1＝an－1(n≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，.（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512，若存在，求出相应的正整数k的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】选择条件①，（1）因为数列{an}为等差数列，则又因为a3＋a7＝18，∴，所以数列{an}的公差所以（2）由（1）可得当时，当时，当时，所以不存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512；选择条件②，因为数列{an}为等比数列，则，又a2a6＝64，所以，因为，又a1＝1，则，设数列{an}的公比为q，则所以（2）由（1）可得当n=8时，当n=9时，当n=10时，所以不存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512，选择条件③，当n=2时，，即，当时，，两式相减可得，即，则，即，又，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则；（2）由（1）可得，当n=8时，，当n=9时，，当n=10时，，则存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512．5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为______．【答案】【解析】由题意，设数列的前项和为．∵数列的通项公式为，∴数列是以4为首项，2为公差的等差数列．∴第1行的所有项的和即为：．则第2行的所有项的和为：；第3行的所有项的和为：；…第行的所有项的和为：；∴．．∴数列的前2020项和为．故答案为：．6.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知数列的前项和，且，则数列的通项公式为________.【答案】【解析】当时，，整理可得，即，所以为常数列，故，所以，故答案为：.7.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（一）】已知数列满足，则前48项之和为___________.【答案】1176【解析】由，则，，，，，，，…可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.因，，而，，所以数列前48项之和为.故答案为：1176.8.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前n项和为，（1）___________．（2）设，（，y为常数），___________．【答案】1【解析】因为斐波那契数列满足，，，∴；；；…；故．所以，因为．．故答案为：1，．9.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】请写出一个符含下列要求的数列的通项公式：①为无穷数列；②为单调递增数列；③.这个数列的通项公式可以是______.【答案】.【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递增，，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是，故答案为：.10.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】若集合至少含有两个元素（实数），且中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称为“成功集合”，已知集合，则的子集中共有__________个“成功集合”．【答案】49【解析】设集合的子集中有个成功集合，则，．对于时，可将满足要求的子集分为两类：一类是含有的子集，去掉后剩下小于的单元素子集或满足要求的子集，前者有个，后者有个；另一类是不含的子集，即满足要求的子集，有个．于是，．从而根据递推关系得：，，，，，．故答案为：11.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】如果数列满足，且，则这个数列的第项等于___________.【答案】【解析】由，化简得，且，，得，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即故答案为：12.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为________.【答案】【解析】表示不超过的最大整数，当时，，，在各区间内的元素个数为，，，，，，，，.故答案为：.13.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是_____.【答案】【解析】∵，∴，又，则，∴.故答案为：.四、解答题1.【2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试】已知数列是各项均为正数的等比数列，，，数列满足，且与的等差中项是.（1）求数列的通项公式；（2）若，的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)数列是各项均为正数的等比数列,设其公比为,因为,,所以,因此,又数列满足,且与的等差中项是,所以,即,所以:,,……,,上述累加可得,所以;(2),若为奇数,则,所以即.2.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考】已知数列{an}的首项，，．(1)求证：数列为等比数列；(2)记，若Sn<100，求最大正整数n；(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）99；（3）不存在【解析】(1)因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)．所以数列为等比数列．(2)由(1)可得－1＝·n－1，所以＝2·n＋1.Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2·＝n＋1－，若Sn<100，则n＋1－<100，因为函数y=n＋1－单调增，所以最大正整数n的值为99.(3)假设存在，则m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，因为an＝，所以＝2，化简得3m＋3n＝2·3s，因为3m＋3n≥2·＝2·3s，当且仅当m＝n时等号，又m，s，n互不相等，所以不存在．3.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】在递增的等比数列中，，，其中.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设数列的公比为，则，又，∴，或，（舍）.∴，即.故（）.（2）由（1）得，.∴.4.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知正项数列的前项和为，且满足：，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由又有，，两式相减得因为，所以又，，解得，满足因此数列是等差数列，首项为，公差为所以(2)所以.5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（五）】已知等差数列的前n项和为，p，，，且.数列满足.（1）求p､q的值；（2）设数列的前2n项和为，证明：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】解：（1），，，，解得.由得，解得.，.（2）等差数列的公差，.，，解得..∴数列的前项和，又，关于n递增，.6.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（一）】已知正项等差数列中，，且，成等比数列，数列的前n项和为，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为d，由，且，成等比数列，∴，即，由已知，∴，∴，∴；由得：，∴数列是首项为，公比为的等比数列，则；（2），∴.7.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】在公比大于0的等比数列中，已知依次组成公差为4的等差数列（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，因为成等差数列，所以，则，又，所以又因为，所以，所以；（2）由题可知，则，①，②①②得.故8.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】已知数列满足，且，其中，．（1）求证：是等比数列，并求的前项和；（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，所以，，所以，，得到，．又因为，由，得到，故，且，所以为定值，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，．（2）因为，所以，所以．因为，所以，所以．9.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】已知递增等差数列满足，，数列满足.（1）求的前n项和；（2）若，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设数列公差为，由，解得或（舍去），所以，则，即，所以，所以数列的前n项和.（2）由（1）知，又由，.10.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】已知数列中，，且，设数列.（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得：，即，且，是以为首项为公比的等比数列；（2）由（1）得，；11.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期一模】已知等差数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】:设公差为，依题意得解得所以.，.12.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】已知等比数列的