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文档简介
湖南省长沙市麓山国际实验学校2023-2024学年中考数学四模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,平行四边形ABCD中,E为BC边上一点,以AE为边作正方形AEFG,若,,则的度数是A. B. C. D.2.估算的运算结果应在(
)A.2到3之间 B.3到4之间C.4到5之间 D.5到6之间3.如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC内部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE1=1(AD1+AB1)﹣CD1.其中正确的是()A.①②③④ B.②④ C.①②③ D.①③④4.如果一组数据1、2、x、5、6的众数是6,则这组数据的中位数是()A.1 B.2 C.5 D.65.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是()A.a<﹣1 B.ab>0 C.a﹣b<0 D.a+b<06.已知⊙O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是()A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°7.某校九年级(1)班学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了1980张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为A. B.x(x+1)=1980C.2x(x+1)=1980 D.x(x-1)=19808.据调查,某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示,尺码(码)3435363738人数251021则鞋子尺码的众数和中位数分别是()A.35码,35码 B.35码,36码 C.36码,35码 D.36码,36码9.用五个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形,从正面看到的图形是()A. B. C. D.10.如图,已知AB∥CD,DE⊥AC,垂足为E,∠A=120°,则∠D的度数为()A.30° B.60° C.50° D.40°二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.已知关于x的函数y=(m﹣1)x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点,则m=_______.12.2017年12月31日晚,郑东新区如意湖文化广场举行了“文化跨年夜、出彩郑州人”的跨年庆祝活动,大学生小明和小刚都各自前往观看了演出,而且他们两人前往时选择了以下三种交通工具中的一种:共享单车、公交、地铁,则他们两人选择同一种交通工具前往观看演出的概率为_____.13.如图(1),将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE,它的面积为1;取△ABC和△DEF各边中点,连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如图(2)中阴影部分;取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点,连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2,如图(3)中阴影部分;如此下去…,则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________.14.如图,正方形ABCD的边长为6,E,F是对角线BD上的两个动点,且EF=,连接CE,CF,则△CEF周长的最小值为_____.15.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,2),则点B2018的坐标为_____.16.在△ABC中,AB=AC,把△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕交AB于点M,交BC于点N.如果△CAN是等腰三角形,则∠B的度数为___________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=1.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)当方程有一个根为1时,求k的值.18.(8分)如图,在▱ABCD中,∠BAC=90°,对角线AC,BD相交于点P,以AB为直径的⊙O分别交BC,BD于点E,Q,连接EP并延长交AD于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)求证:=4BP•QP.19.(8分)如图,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:△AEH≌△CGF;(2)在点E、F、G、H运动过程中,判断直线EG是否经过某一个定点,如果是,请证明你的结论;如果不是,请说明理由20.(8分)在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与y轴交于点,与反比例函数
的图象交于点.求反比例函数的表达式和一次函数表达式;若点C是y轴上一点,且,直接写出点C的坐标.21.(8分)已知:如图,AB为⊙O的直径,C是BA延长线上一点,CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,过点B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H,(1)如图1,求证:PQ=PE;(2)如图2,G是圆上一点,∠GAB=30°,连接AG交PD于F,连接BF,若tan∠BFE=3,求∠C的度数;(3)如图3,在(2)的条件下,PD=6,连接QC交BC于点M,求QM的长.22.(10分)(1)计算:(﹣2)﹣2+cos60°﹣(﹣2)0;(2)化简:(a﹣)÷.23.(12分)我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”.(1)概念理解:如图1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,试判断△ABC是否是”等高底”三角形,请说明理由.(1)问题探究:如图1,△ABC是“等高底”三角形,BC是”等底”,作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC,连结AA′交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心,求的值.(3)应用拓展:如图3,已知l1∥l1,l1与l1之间的距离为1.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上,点A在直线l1上,有一边的长是BC的倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,A′C所在直线交l1于点D.求CD的值.24.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?②求出y与x之间的函数关系式,并通过画该函数图象的草图,观察其图象的变化趋势,结合题意写出当x取何值时,商场获利润不少于2160元.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、A【解析】分析:首先求出∠AEB,再利用三角形内角和定理求出∠B,最后利用平行四边形的性质得∠D=∠B即可解决问题.详解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠AEF=90°,∵∠CEF=15°,∴∠AEB=180°-90°-15°=75°,∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=65°故选A.点睛:本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.2、D【解析】
解:=,∵2<<3,∴在5到6之间.故选D.【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小,正确进行计算是解题关键.3、A【解析】分析:只要证明△DAB≌△EAC,利用全等三角形的性质即可一一判断;详解:∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE,∠ABD=∠ECA,故①正确,∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°,故②正确,∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°,∴∠CEB=90°,即CE⊥BD,故③正确,∴BE1=BC1-EC1=1AB1-(CD1-DE1)=1AB1-CD1+1AD1=1(AD1+AB1)-CD1.故④正确,故选A.点睛:本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.4、C【解析】分析:根据众数的定义先求出x的值,再把数据按从小到大的顺序排列,找出最中间的数,即可得出答案.详解:∵数据1,2,x,5,6的众数为6,∴x=6,把这些数从小到大排列为:1,2,5,6,6,最中间的数是5,则这组数据的中位数为5;故选C.点睛:本题考查了中位数的知识点,将一组数据按照从小到大的顺序排列,如果数据的个数为奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数为偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.5、C【解析】
直接利用a,b在数轴上的位置,进而分别对各个选项进行分析得出答案.【详解】选项A,从数轴上看出,a在﹣1与0之间,∴﹣1<a<0,故选项A不合题意;选项B,从数轴上看出,a在原点左侧,b在原点右侧,∴a<0,b>0,∴ab<0,故选项B不合题意;选项C,从数轴上看出,a在b的左侧,∴a<b,即a﹣b<0,故选项C符合题意;选项D,从数轴上看出,a在﹣1与0之间,∴1<b<2,∴|a|<|b|,∵a<0,b>0,所以a+b=|b|﹣|a|>0,故选项D不合题意.故选:C.【点睛】本题考查数轴和有理数的四则运算,解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小.6、D【解析】【分析】由图可知,OA=10,OD=1.根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数,再根据圆周定理求出∠C的度数,再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可.【详解】由图可知,OA=10,OD=1,在Rt△OAD中,∵OA=10,OD=1,AD==,∴tan∠1=,∴∠1=60°,同理可得∠2=60°,∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°,∴∠C=60°,∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°,故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等,正确画出图形,熟练应用相关知识是解题的关键.7、D【解析】
根据题意得:每人要赠送(x﹣1)张相片,有x个人,然后根据题意可列出方程.【详解】根据题意得:每人要赠送(x﹣1)张相片,有x个人,∴全班共送:(x﹣1)x=1980,故选D.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,本题要注意读清题意,弄清楚每人要赠送(x﹣1)张相片,有x个人是解决问题的关键.8、D【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.【详解】数据36出现了10次,次数最多,所以众数为36,一共有20个数据,位置处于中间的数是:36,36,所以中位数是(36+36)÷2=36.故选D.【点睛】考查中位数与众数,掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数是解题的关键.9、A【解析】从正面看第一层是三个小正方形,第二层左边一个小正方形,故选:A.10、A【解析】分析:根据平行线的性质求出∠C,求出∠DEC的度数,根据三角形内角和定理求出∠D的度数即可.详解:∵AB∥CD,∴∠A+∠C=180°.∵∠A=120°,∴∠C=60°.∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°.故选A.点睛:本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用,能根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、1或0或【解析】
分两种情况讨论:当函数为一次函数时,必与坐标轴有两个交点;
当函数为二次函数时,将(0,0)代入解析式即可求出m的值.【详解】解:(1)当m﹣1=0时,m=1,函数为一次函数,解析式为y=2x+1,与x轴交点坐标为(﹣,0);与y轴交点坐标(0,1).符合题意.(2)当m﹣1≠0时,m≠1,函数为二次函数,与坐标轴有两个交点,则过原点,且与x轴有两个不同的交点,于是△=4﹣4(m﹣1)m>0,解得,(m﹣)2<,解得m<或m>.将(0,0)代入解析式得,m=0,符合题意.(3)函数为二次函数时,还有一种情况是:与x轴只有一个交点,与Y轴交于交于另一点,这时:△=4﹣4(m﹣1)m=0,解得:m=.故答案为1或0或.【点睛】此题考查一次函数和二次函数的性质,解题关键是必须分两种情况讨论,不可盲目求解.12、【解析】
首先根据题意画树状图,然后根据树状图即可求得所有等可能的结果,最后用概率公式求解即可求得答案.【详解】树状图如图所示,
∴一共有9种等可能的结果;
根据树状图知,两人选择同一种交通工具前往观看演出的有3种情况,
∴选择同一种交通工具前往观看演出的概率:,
故答案为.【点睛】此题考查了树状图法求概率.注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件,树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.13、【解析】∵正六角星形A2F2B2D2C2E2边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的,∴正六角星形A2F2B2D2C2E2面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的.同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的,∴正六角星形A4F4B4D4C4E4面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的.14、2+4【解析】
如图作CH∥BD,使得CH=EF=2,连接AH交BD由F,则△CEF的周长最小.【详解】如图作CH∥BD,使得CH=EF=2,连接AH交BD由F,则△CEF的周长最小.∵CH=EF,CH∥EF,∴四边形EFHC是平行四边形,∴EC=FH,∵FA=FC,∴EC+CF=FH+AF=AH,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵CH∥DB,∴AC⊥CH,∴∠ACH=90°,在Rt△ACH中,AH==4,∴△EFC的周长的最小值=2+4,故答案为:2+4.【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题,正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.15、(6054,2)【解析】分析:分析题意和图形可知,点B1、B3、B5、……在x轴上,点B2、B4、B6、……在第一象限内,由已知易得AB=,结合旋转的性质可得OA+AB1+B1C2=6,从而可得点B2的坐标为(6,2),同理可得点B4的坐标为(12,2),即点B2相当于是由点B向右平移6个单位得到的,点B4相当于是由点B2向右平移6个单位得到的,由此即可推导得到点B2018的坐标.详解:∵在△AOB中,∠AOB=90°,OA=,OB=2,∴AB=,∴由旋转的性质可得:OA+AB1+B1C2=OA+AB+OB=6,C2B2=OB=2,∴点B2的坐标为(6,2),同理可得点B4的坐标为(12,2),由此可得点B2相当于是由点B向右平移6个单位得到的,点B4相当于是由点B2向右平移6个单位得到,∴点B2018相当于是由点B向右平移了:个单位得到的,∴点B2018的坐标为(6054,2).故答案为:(6054,2).点睛:读懂题意,结合旋转的性质求出点B2和点B4的坐标,分析找到其中点B的坐标的变化规律,是正确解答本题的关键.16、或.【解析】
MN是AB的中垂线,则△ABN是等腰三角形,且NA=NB,即可得到∠B=∠BAN=∠C.然后对△ANC中的边进行讨论,然后在△ABC中,利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数.解:∵把△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕交AB于点M,交BC于点N,∴MN是AB的中垂线.∴NB=NA.∴∠B=∠BAN,∵AB=AC∴∠B=∠C.设∠B=x°,则∠C=∠BAN=x°.1)当AN=NC时,∠CAN=∠C=x°.则在△ABC中,根据三角形内角和定理可得:4x=180,解得:x=45°则∠B=45°;2)当AN=AC时,∠ANC=∠C=x°,而∠ANC=∠B+∠BAN,故此时不成立;3)当CA=CN时,∠NAC=∠ANC=.在△ABC中,根据三角形内角和定理得到:x+x+x+=180,解得:x=36°.故∠B的度数为45°或36°.三、解答题(共8题,共72分)17、(2)证明见解析;(2)k2=2,k2=2.【解析】
(2)套入数据求出△=b2﹣4ac的值,再与2作比较,由于△=2>2,从而证出方程有两个不相等的实数根;(2)将x=2代入原方程,得出关于k的一元二次方程,解方程即可求出k的值.【详解】(2)证明:△=b2﹣4ac,=[﹣(2k+2)]2﹣4(k2+k),=4k2+4k+2﹣4k2﹣4k,=2>2.∴方程有两个不相等的实数根;(2)∵方程有一个根为2,∴22﹣(2k+2)+k2+k=2,即k2﹣k=2,解得:k2=2,k2=2.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程,解题的关键是:(2)求出△=b2﹣4ac的值;(2)代入x=2得出关于k的一元二次方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,由根的判别式来判断实数根的个数是关键.18、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)连接OE,AE,由AB是⊙O的直径,得到∠AEB=∠AEC=90°,根据四边形ABCD是平行四边形,得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;(2)由AB是⊙O的直径,得到∠AQB=90°根据相似三角形的性质得到=PB•PQ,根据全等三角形的性质得到PF=PE,求得PA=PE=EF,等量代换即可得到结论.试题解析:(1)连接OE,AE,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=∠AEC=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴PA=PC,∴PA=PC=PE,∴∠PAE=∠PEA,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠OEP=∠OAC=90°,∴EF是⊙O的切线;(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠AQB=90°,∴△APQ∽△BPA,∴,∴=PB•PQ,在△AFP与△CEP中,∵∠PAF=∠PCE,∠APF=∠CPE,PA=PC,∴△AFP≌△CEP,∴PF=PE,∴PA=PE=EF,∴=4BP•QP.考点:切线的判定;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质.19、(1)见解析;(2)直线EG经过一个定点,这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点);理由见解析.【解析】分析:(1)由正方形的性质得出∠A=∠C=90°,AB=BC=CD=DA,由AE=BF=CG=DH证出AH=CF,由SAS证明△AEH≌△CGF即可求解;(2)连接AC、EG,交点为O;先证明△AOE≌△COG,得出OA=OC,证出O为对角线AC、BD的交点,即O为正方形的中心.详解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠C=90°,AB=BC=CD=DA,∵AE=BF=CG=DH,∴AH=CF,在△AEH与△CGF中,AH=CF,∠A=∠C,AE=CG,∴△AEH≌△CGF(SAS);(2)直线EG经过一个定点,这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点);理由如下:连接AC、EG,交点为O;如图所示:∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴∠OAE=∠OCG,在△AOE和△COG中,∠OAE=∠OCG,∠AOE=∠COG,AE=CG,∴△AOE≌△COG(AAS),∴OA=OC,OE=OG,即O为AC的中点,∵正方形的对角线互相平分,∴O为对角线AC、BD的交点,即O为正方形的中心.点睛:考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.20、(1)y=,y=-x+1;(2)C(0,3+1)或C(0,1-3).【解析】
(1)依据一次函数的图象与轴交于点,与反比例函数的图象交于点,即可得到反比例函数的表达式和一次函数表达式;(2)由,可得:,即可得到,再根据,可得或,即可得出点的坐标.【详解】(1)∵双曲线过,将代入,解得:.∴所求反比例函数表达式为:.∵点,点在直线上,∴,,∴,∴所求一次函数表达式为.(2)由,可得:,∴.又∵,∴或,∴,或,.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和反比例函数与一次函数的交点问题.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.21、(1)证明见解析(2)30°(3)QM=【解析】试题分析:(1)连接OP,PB,由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP,从而可得BP平分∠OBQ,结合BQ⊥CP于点Q,PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE;(2)如下图2,连接OP,则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°,由此可得∠C=∠OPE,设EF=x,则由∠GAB=30°,∠AEF=90°可得AE=,在Rt△BEF中,由tan∠BFE=可得BE=,从而可得AB=,则OP=OA=,结合AE=可得OE=,这样即可得到sin∠OPE=,由此可得∠OPE=30°,则∠C=30°;(3)如下图3,连接BG,过点O作OK⊥HB于点K,结合BQ⊥CP,∠OPQ=90°,可得四边形POKQ为矩形.由此可得QK=PO,OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°;由已知易证PE=,在Rt△EPO中结合(2)可解得PO=6,由此可得OB=QK=6;在Rt△KOB中可解得KB=3,由此可得QB=9;在△ABG中由已知条件可得BG=6,∠ABG=60°;过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N,由∠ABG=∠CBQ=60°,可得∠GBN=60°,从而可得解得GN=,BN=3,由此可得QN=12,则在Rt△BGN中可解得QG=,由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线,由此可得QM:GM=QB:GB=9:6由此即可求得QM的长了.试题解析:(1)如下图1,连接OP,PB,∵CP切⊙O于P,∴OP⊥CP于点P,又∵BQ⊥CP于点Q,∴OP∥BQ,∴∠OPB=∠QBP,∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠QBP=∠OBP,又∵PE⊥AB于点E,∴PQ=PE;(2)如下图2,连接,∵CP切⊙O于P,∴∴∵PD⊥AB∴∴∴在Rt中,∠GAB=30°∴设EF=x,则在Rt中,tan∠BFE=3∴∴∴∴∴在RtPEO中,∴30°;(3)如下图3,连接BG,过点O作于K,又BQ⊥CP,∴,∴四边形POKQ为矩形,∴QK=PO,OK//CQ,∴30°,∵⊙O中PD⊥AB于E,PD=6,AB为⊙O的直径,∴PE=PD=3,根据(2)得,在RtEPO中,,∴,∴OB=QK=PO=6,∴在Rt中,,∴,∴QB=9,在△ABG中,AB为⊙O的直径,∴AGB=90°,∵BAG=30°,∴BG=6,ABG=60°,过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N,则∠N=90°,∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°,∴BN=BQ·cos∠GBQ=3,GN=BQ·sin∠GBQ=,∴QN=QB+BN=12,∴在Rt△QGN中,QG=,∵∠ABG=∠CBQ=60°,∴BM是△BQG的角平分线,∴QM:GM=QB:GB=9:6,∴QM=.点睛:解本题第3小题的要点是:(1)作出如图所示的辅助线,结合已知条件和(2)先求得BQ、BG的长及∠CBQ=∠ABG=60°;(2)再过点G作GN⊥QB并交QB的延长线于点N,解出BN和GN的长,这样即可在Rt△QGN中求得QG的长,最
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