第10讲 锐角三角函数（4大考点）（解析版）

第10讲锐角三角函数（4大考点）考点考点考向一．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二．同角三角函数的关系（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA．三．互余两角三角函数的关系在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．四．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．考点考点精讲一．锐角三角函数的定义（共6小题）1．（2022•海曙区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，则sinA＝（）A． B． C． D．【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【解答】解：sinA＝＝，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（2022•长兴县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案．【解答】解：∵AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝＝，∴cosB＝＝．故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．3．（2020秋•丽水期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．（1）求BC的长；（2）求sinA的值．【分析】（1）关键根据勾股定理求出BC；（2）根据正弦的定义计算即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，∴BC＝＝＝；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝，∴sinA＝＝．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．4．（2022•拱墅区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，则sinB的值为（）A． B． C． D．2【分析】先设BC＝a，AC＝2a，利用勾股定理求出AB的长，然后根据锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∴设BC＝a，AC＝2a，∴AB＝＝＝a，∴sinB＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．5．（2021秋•丽水期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则cosB的值是（）A． B． C． D．【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴cosB＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．6．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．【分析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sinA的值．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sinA＝＝．答：AC的长为4，sinA的值为．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．二．同角三角函数的关系（共1小题）7．（2022•海曙区校级开学）已知∠A是锐角tanA＝，则sinA＝．．【分析】根据已知设∠A的对边为a，则邻边为2a，然后利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵tanA＝，∴设∠A的对边为a，则邻边为2a，∴斜边长＝＝a，∴sinA＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．三．互余两角三角函数的关系（共4小题）8．（2022•江干区校级模拟）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝，则sinB＝（）A． B． C． D．【分析】作出草图，根据∠A的正切值设出两直角边分别为k，2k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴设AC＝2k，BC＝k，则AB＝＝k，∴sinB＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理．9．（2022•鹿城区校级模拟）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．【解答】解：∵＝cos60°，sin80°＝cos10°，∴cos60°＜cosA＜cos10°，∴10°＜A＜60°．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．10．（2022•西湖区校级二模）已知△ABC中，∠A＝90°，tanB＝，则sinC＝．【分析】根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tanB＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sinC＝．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．11．（2002•温州自主招生）在△ABC中，（1）若∠的值；（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cosA与sinB大小，说明理由．【分析】（1）根据∠A与∠B互余，利用互余两角的正弦与余弦的关系：cosα＝sin（90°﹣α）即可求解；（2）根据互余两角的正弦与余弦的关系：cosα＝sin（90°﹣α），则cosA＝cos35°＝sin55°，根据正弦函数随角度的增大而增大，即可作出比较．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠A+∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝；（2）∵cosA＝cos35°＝sin55°＜sin65°，∴cosA＜sinB．【点评】本题考查了互余两角的正弦与余弦的关系：cosα＝sin（90°﹣α）以及正弦函数的增减性，在解决（2）时，根据互余两角的关系，把正弦函数与余弦函数比较大小，统一成同名函数比较大小．四．特殊角的三角函数值（共10小题）12．（2022•萧山区校级一模）cos45°＝（）A． B． C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：cos45°＝．故选：D．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决此题的关键．13．（2022•瓯海区校级自主招生）cos60°的值等于（）A． B．1 C． D．【分析】本题求60°角的余弦函数值，需要记住．【解答】解：∵cos60°＝，故选：A．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特殊角有30°、45°、60°，记住它们的正弦、余弦、正切值是关键．14．（2022•萧山区二模）sin30°的值是（）A． B． C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：sin30°＝，故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．15．（2022•萧山区校级二模）若cosA＝，则锐角∠A＝60°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵cosA＝，∴锐角∠A＝60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确化简各数是解题关键．17．（2022•拱墅区校级开学）求下列各式的值：（1）tan30°•sin30°﹣3cos60°；（2）cos245°+2sin30﹣tan60°．【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．【解答】解：（1）原式＝×﹣3×＝﹣；（2）原式＝（）2+2×﹣＝+1﹣＝﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（2021秋•金东区期末）计算：sin30°•tan45°+sin260°﹣2cos60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝×1+（）2﹣2×＝+﹣1＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．19．（2022•长兴县开学）计算tan45°的正确结果是1．【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可．【解答】解：tan45°＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（2022•镇海区校级开学）求下列各式的值：（1）sin45℃os45°+4tan30°sin60°；（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案．【解答】解：（1）原式＝×+4××＝+2＝；（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣2×+×3﹣＝﹣1+2﹣＝1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．21．（2021秋•衢州期末）计算：2sin30°+cos45°•tan60°．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算，即可得出结果．【解答】解：2sin30°+cos45°•tan60°＝＝1+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·浙江余杭·二模）若sinα＝，则锐角α＝（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】A【分析】根据30°角的正弦值等于解答．【详解】解：∵sinα＝，∵锐角α＝30°．故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记特殊角的三角函数值是解答此类试题的关键．2．（2021·浙江婺城·三模）若∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．锐角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：∵∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，∴∠A=45°，∠B=45°．∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，∴△ABC不可能是锐角三角形故选：C．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．3．（2021·浙江·宁波市第七中学九年级月考）如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形，也可以拼成正方形，则菱形面积和正方形面积之比为（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】设直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，根据菱形的性质可得，从而得到，，即可解答．【详解】解：设直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，四边形是菱形，，，，，，，．故选：C．【点睛】本题主要考查了本题考查了菱形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．4．（2020·浙江衢江·九年级期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，cos∠A，则∠A等于____度（）A．30 B．45 C．60 D．70【答案】C【分析】由直角三角形的性质，根据cos∠A，即可求出∠A的度数．【详解】解：根据题意，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos∠A，∵，∴；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题．5．（2021·浙江浙江·九年级期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BD⊥AC于D，得到BD和AD，根据正切为对边比邻边，可得答案．【详解】解：如图：作BD⊥AC于D，BD=3，AD=4，∴tanA==，故选B．

【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6．（2021·浙江龙游·九年级期末）在RtABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，则AB等于（）A． B．4 C．4 D．6【答案】D【分析】在Rt?ABC中，，由和，可求出．【详解】解：在Rt?ABC中，，，，故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是解题的关键．7．（2021·浙江浙江·九年级期末）如图，将矩形纸片沿翻折，使点B落在点G处，点A，D同时落在点H处，交于点O．已知，，则该矩形纸片的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据翻折的性质可得，根据等腰三角形的判定可得，然后根据正切三角函数的定义可得，设，从而可得，，最后在中，利用勾股定理求出的值，从而可得的长，利用矩形的面积公式即可得．【详解】解：四边形是矩形，，，由翻折的性质得：，，，在中，，设，则，，，在中，，即，解得或（舍去），，则该矩形纸片的面积为，故选：C．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、正切三角函数等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．二、填空题8．（2021·浙江·东阳市横店镇第二初级中学九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝24，点E是BC的中点，连接DE，将△DEC沿DE折叠，点C落在点F处，连接FB，则cos∠FBE＝_______．【答案】【分析】过点E作EH⊥BF于H，在Rt△ECD中，由勾股定理求得DE＝20，由翻折知CE＝EF＝BE，∠CED＝∠DEF，可证∠HED＝90°，从而∠CED＝∠HBE，即可求出答案．【详解】解：过点E作EH⊥BF于H，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝12，四边形是矩形，，在Rt△ECD中，由勾股定理得：DE＝＝20，∵将△DEC沿DE折叠，点C落在点F处，∴CE＝EF＝BE，∠CED＝∠DEF，∵EH⊥BF，∴∠BEH＝∠FEH，∴∠HED＝∠BEC＝90°，∴∠BEH+∠CED＝90°，∠BEH+∠HBE＝90°，∴∠CED＝∠HBE，∴cos∠HBE＝cos∠CED＝，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线，转换角度，证明∠CED＝∠HBE是解题的关键．9．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）已知在直角三角形中，为直角，，，则___．【答案】【分析】先根据正切得出BC，再根据勾股定理求得AB．【详解】解：∵为直角，，，∴，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理．能根据正切得出BC是解题关键．10．（2021·浙江·宁波市第七中学九年级月考）如图，已知直线y＝k1x与双曲线交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线经过点C，则的值为______．【答案】【分析】连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，根据旋转的性质得到△ABC是等边三角形，根据反比例函数和正比例函数的对称性得出OA=OB，即可得出CO⊥AB，证得△BOM∽△OCN，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．【详解】解：连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵直线y=k1x与双曲线交于A，B两点，∴OA=OB，∴CO⊥AB，∠BCO=∠ACB=30°，∴，∵∠BOC=90°，∴∠BOM+∠CON=90°，∵∠BOM+∠MBO=90°，∴∠CON=∠MBO，∵∠BMO=∠ONC=90°，∴△BOM∽△OCN，∴∵S△BOM=，S△CON=，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了旋转的性质，反比例函数与正比例函数的对称性，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，证得是解题的关键．11．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连接，若满足，，则点的坐标为___．【答案】【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，从而可知的长，进而可知的值，由，设，，的值列出关于的方程，解得的值，则可得点的坐标．【详解】解：，，即，，，，，，，，，，由勾股定理可得：，即，解得：，．．如图，过点作轴于点，，设，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解．点坐标为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．12．（2021·浙江柯桥·九年级月考）如图，已知一个边长为1的正六边形，边在轴上，点在轴上，反比例函数（，）的图像经过该正六边形其中一个顶点，并与正六边形另一边相交，则该交点的横坐标为________．【答案】1和【分析】利用特殊角的三角函数值分别求得A(，)，E(，)，D(，)，分反比例函数(，)的图象经过点A和点E两种情况求解即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AB=BC=CD=DE=1，∠BCD=∠CDE=120°，则∠BCO=∠EDG=60°，∴OC=DG=BC=DE=，EG=BO=BC，∴AC=2BO=，OG=OC+CD+DG=2，∴A(，)，E(，)，D(，)，根据题意，反比例函数(，)的图象经过点A或点E才可能与正六边形另一边相交，当反比例函数(，)的图象经过点A(，)时，，∴反比例函数的解析式为，设直线DE的解析式为，则，解得：，∴直线DE的解析式为，解方程，整理得：，得：(负值舍去)，经检验是原方程的根，∴该交点的横坐标为；当反比例函数(，)的图象经过点E(，)时，，∴反比例函数的解析式为，直线AF的解析式为，∴解方程，得，经检验是原方程的根，∴该交点的横坐标为；综上，该交点的横坐标为或．【点睛】本题考查了正六边形的性质，特殊角的三角函数值，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三、解答题13．（2021·浙江龙游·九年级期末）计算：sin30°+cos60°﹣tan45°•tan60°．【答案】【分析】根据特殊角的锐角三角函数完成即可．【详解】sin30°+cos60°﹣tan45°•tan60°【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，关键是熟记这些特殊角的三角函数值．14．（2021·浙江·金华市第五中学九年级月考）计算：|﹣2|﹣4sin45°+．【答案】-1【分析】先算锐角三角函数，负整数指数幂和二次根式，再算加减法，即可．【详解】解：原式=2﹣4×+=2-+=-1．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握锐角三角函数，负整数指数幂和二次根式的性质，是解题的关键．15．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）计算：．【答案】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．16．（2021·浙江衢江·九年级期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°；（2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数．【答案】（1）；（2）①，②【分析】（1）将拆成，再根据公式求解即可；（2）①根据题意，过点作于，过作于，过作于，求得，，进而根据正切的定义求解即可；②根据①的结论以及tan（α+β）进行计算，根据特殊角的三角函数值即可求得的度数．【详解】（1）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ（2）过点作于，过作于，过作于，如图是等边三角形，②tan（α+β）【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，正切的定义，理解题意掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．17．（2020·浙江衢江·九年级期末）如图是由边长为1的正方形组成的2×7网格，正方形的顶点叫做格点，端点在格点的线段叫做格点线段．（1）在下图中画出格点线段AB和AC使AB＝5，AC＝2；（2）在（1）的基础上，画出格点线段AD，使AD平分∠BAC，并证明画法正确；（3）在（2）的基础上，求tan∠BAD．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）【分析】（1）依据勾股定理即可得出点B，C的位置；（2）依据相似三角形的判定，即可得到格点D的位置；（3）连接EB，可得△EDB∽△DAB，可得∠EDB=∠DAB，即可得出结论．【详解】解：（1）AC，AB即为所作（2）AD即为所作证明：连接BD，由题意得：，，，∵∴△CAD∽△DAB，∴∠CAD=∠DAB,∴AD平分∠BAC．（3）如图，连接EB，同理可得∴△EDB∽△DAB∴∠EDB=∠DAB，在Rt△EDB中tan∠EDB=∴tan∠BAD=tan∠EDB=．【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．18．（2020·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）定义：若抛物线与x轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为；（2）若抛物线y＝x2﹣bx（b＞0）是“美丽抛物线”，求b的值；（3）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B（1，2），与轴交与A，C，AB与y轴交于点D，连接OB，在抛物线找一点Q，使得∠QCA＝∠ABO，求Q点的横坐标．【答案】（1）（3，2）或（3，-2）（2）；（3）或【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为，然后根据“美丽抛物线的”定义求出顶点坐标，然后求解即可；（2）先求出抛物线与x轴的两个交点，顶点坐标，然后根据“美丽抛物线的”定义求解即可.（3）过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，先求出A（-1，0），C（3，0），然后求出抛物线解析式，然后求出，即可得到，即，设Q（m，），则，然后解方程求解即可得到答案.【详解】解：（1）∵抛物线与x轴的两个交点为（1，0）、（5，0），∴抛物线的对称轴为，∴由“美丽抛物线的”定义可知，抛物的顶点到x轴的距离∴抛物线顶点的坐标为（3，2）或（3，-2），（2）∵抛物线的解析式为，∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（b，0），抛物线的顶点坐标为（，）∴由“美丽抛物线的”定义可知∴解得；∵，∴；（3）如图，过点B作BE⊥AC于E，过点O作OM⊥AB于M，由题意得△ABC为等腰直角三角形，AB=BC，∠ABC=90°，∴AE=CE=BE，∵B（1，2），∴AE=CE=BE=2，OE=1，∴AO=1，OC=3，∴A（-1，0），C（3，0）∴抛物线解析式为，把B（1，2）代入抛物线解析式得，解得,∴抛物线解析式为∵，，，∴，∴∴，∴，设Q（m，），∴，∴，∴∴，∴，解得（舍去）或或，∴Q点的横坐标为或.【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的解析式，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.19．（2021·浙江平阳·九年级期中）如图，在中，D为的中点，，，垂足分别为点E，F，且．（1）求证：．（2）若，，求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）根据HL即可证明；（2）先证明是等边三角形，，再解直角三角形即可求得AB的长度．【详解】（1）证明：∵，∴∵D为的中点∴在和中∴（）（2）解：∵∴∵∴∴是等边三角形即，∵，∴∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（2021·浙江·金华市金东区傅村镇初级中学九年级期中）已知边长为8的正方形截去一个角后成为五边形，点在线段上，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，，，设的长为，四边形的面积记为．（1）求，的长（分别用含的代数式表示）；（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）求四边形面积的最大值．【答案】（1）；（2）y=-12x2【分析】（1）如图，延长交于证明四边形四边形为矩形，可求解再由求解可求解从而可得答案；（2）由四边形为矩形，再利用矩形的面积公式可得函数关系式，由点在线段上，可得的范围；（3）先求解抛物线的对称轴为：，再结合二次函数的性质可得答案.【详解】解：（1）如图，延长交于，，正方形，∴∠B=四边形四边形为矩形，∴PQ=BR=x,PG=CR,PR=QB=GC,?PG=CR=8?tan?GE=?PR=CG=CE+GE=CD（2）四边形为矩形，?y=PQ点在线段上，?4=（3）抛物线的对称轴为：x=-10而函数图象开口向下，所以当时，随的增大而增大，?4当最大，此时【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的应用，列二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大面积，掌握“利用锐角三角函数寻求直角三角形两边之间的关系，利用二次函数的性质求解最大值”是解题的关键.21．（2021·浙江东阳·一模）如图，在正方形中，点G在直线上，连结，作于点于