第10讲全等三角形的判定与性质及应用（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）（解析版）

第10讲全等三角形的判定与性质及应用（核心考点讲与练）一．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．二．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．一．全等三角形的判定与性质（共9小题）1．（2020秋•宝山区校级期末）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB＝DC，AE∥DF，AE＝DF，求证：EC＝FB．【分析】由AE∥DF得∠A＝∠D，由AB＝DC，得AC＝BD，再根据SAS证明△AEC≌△DFB即可得出结论．【解答】证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AB＝DC，∴AC＝BD，在△AEC与△DFB中，，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴EC＝FB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2021秋•普陀区期末）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（）A．1 B． C．2 D．3【分析】由平行线的性质得到∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF，证得△ABC≌△EFD，得到BC＝FD，进而得到BD＝FC，即可得出BD＝（BF﹣DC）＝．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠EDF，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴BC＝FD，∴BC﹣DC＝FD﹣DC，∴BD＝FC，∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝．故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得ABC≌△EFD是解决问题的关键．3．（2021秋•崇明区校级期末）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论．【解答】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，∴∠AFC＝2∠ADC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2021秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，且ED⊥AB于点F，且AB＝DE，CD交AB于点M．（1）求证：BD＝2EC；（2）求△ACM与△BCM的面积之比．【分析】（1）由E是BC的中点得出BC＝2EC，证明△ABC≌△EDB，得出DB＝BC，即可得出BD＝2EC；（2）由（1）可知DB＝2AC得出，由△ACM∽△BDM得出，即可得出△ACM与△BCM的面积之比．【解答】（1）证明：∵E是BC的中点，∴BC＝2EC，∵∠ACB＝∠DBC＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵ED⊥AB，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴DB＝BC，∴DB＝2EC；（2）解：∵△ABC≌△EDB，∴BE＝AC，∵E是BC的中点，∴AC＝CE＝BC，∵DB＝2EC，∴DB＝2AC，∴，∵∠ACB＝∠DBC＝90°，∴AC∥DB，∴∠A＝∠DBM，∠ACM＝∠BDM，∴△ACM∽△BDM，∴，∴△ACM与△BCM的面积之比为1：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形的全等和相似是解决问题的关键．5．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE与CD相交于点F．求证：（1）∠ADC＝∠AEB；（2）FD＝FE．【分析】（1）利用AAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）连接DE，利用等腰三角形的性质和判定即可证明结论．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠EAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB；（2）连接DE，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADC＝∠AEB，∴∠ADC﹣∠ADE＝∠AEB﹣∠AED，∴∠FDE＝∠FED，∴FD＝FE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．6．（2021秋•徐汇区校级期中）已知在△ABC中，AB＝AC，在边AC上取一点D，以D为顶点，DB为一条边作∠BDF＝∠A，点E在AC的延长线上，∠ECF＝∠ACB．求证：（1）∠FDC＝∠ABD；（2）DB＝DF；（3）当点D在AC延长线上时，DB＝DF是否依然成立？在备用图中画出图形，并说明理由．【分析】（1）根据角的和差即可得到结论；（2）过D作DG∥BC交AB于G，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）过D作DG∥BC交AB于G，根据平行线的性质得到∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即∠BDF+∠FDC＝∠A+∠ABD，∵∠BDF＝∠A，∴∠FDC＝∠ABD；（2）过D作DG∥BC交AB于G，∴∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AGD＝∠ADG，∴AD＝AG，∴AB﹣AG＝AC﹣AD，即BG＝DC，∵∠ECF＝∠ACB＝∠AGD，∴∠DGB＝∠FCD，在△GDB与△CFD中，，∴△GDB≌△CFD（ASA），∴DB＝DF；（3）仍然成立，如图2，过D作DG∥BC交AB于G，∴∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AGD＝∠ADG，∴AD＝AG，∴AG﹣AB＝AD﹣AC，即BG＝DC，∵∠ECF＝∠ACB＝∠AGD，∴∠DGB＝∠FCD，∵∠ACB+∠BCF+∠FCD＝180°，∴∠ACB+∠BCF+∠DGB＝180°，∵∠DGB＝∠ABC．∴∠ACB+∠BCF∠ABC＝180°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝∠BCF，∵∠BDF＝∠A，∴∠BCF＝∠BDF，∴∠CBD＝∠CFD，∵∠GBD＝180°﹣∠ABC﹣∠CBD＝180°﹣∠FCD﹣∠CFD＝∠FDC，∴∠GBD＝∠FDC，在△GDB与△CFD中，，∴△GDB≌△CFD（ASA），∴DB＝DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2021春•金山区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C；（等边对等角）因为AD＝AE，（已知）所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）因为∠AED＝∠EAC+∠C，∠ADE＝∠BAD+∠B，（三角形外角的性质）所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）在△ABD与△ACE中，所以△ABD≌△ACE（A．S．A）所以BD＝CE．（全等三角形的对应边相等）【分析】根据等腰三角形的性质可知∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，再根据三角形外角的性质可知∠BAD＝∠EAC，即可证明△ABD≌△ACE，即有BD＝CE．【解答】解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C；（等边对等角）因为AD＝AE，（已知）所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）因为∠AED＝∠EAC+∠C，∠ADE＝∠BAD+∠B，（三角形外角的性质）所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）在△ABD与△ACE中，，所以△ABD≌△ACE（ASA）所以BD＝CE．（全等三角形的对应边相等）故答案为：∠B＝∠C，AD＝AE，三角形外角的性质，BD＝CE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2021秋•松江区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC＝5，AD＝2，那么AB的长是3．【分析】过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，利用AAS证明△ABD≌△ECD，得AB＝EC，AD＝ED＝2，再利用勾股定理即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CE∥AB交AD的延长线于E，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD＝∠ECD，∴∠E＝90°，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，AD＝ED＝2，∴AE＝2AD＝4，在Rt△AEC中，CE＝＝＝3，∴AB＝CE＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．9．（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证：（1）DG＝DE；（2）∠DEG＝∠DEC．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△BDF≌△ACD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG＝BF，进而可以解决问题；（2）由（1）得∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，然后证明△BDG≌△ADE，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．【解答】证明：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BFD＝∠ACD，在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），∴BF＝AC，∵G为BF的中点．∴DG＝BF，∵AB＝CB，BE⊥AC，∴E为AC的中点．∴DE＝AC，∴DG＝DE；（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，∴BG＝AE，在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴∠BDG＝∠ADE，∴∠DGB＝∠DBG+∠BDG，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∴∠DGB＝∠DEC，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，∴∠DEG＝∠DEC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDG≌△ADE．二．全等三角形的应用（共3小题）10．（2021春•金山区期末）如图，有两根钢条AB、CD，在中点O处以小转轴连在一起做成工具（卡钳），可测量工件内槽的宽．如果测量AC＝2cm，那么工件内槽的宽BD＝2cm．【分析】利用SAS可判定△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质可得BD＝AC＝2厘米．【解答】解：∵有两根钢条AB、CD，在中点O处以小转轴连在一起做成工具，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．∴BD＝AC＝2厘米，故答案为：2．【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．11．（2020春•嘉定区期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？【分析】要判断A，B两地到路段MN的距离是否相等，可以由条件证明△AEM≌△BFN，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．【解答】解：A，B两地到路段MN的距离相等．理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．在△AEM和△BFN中，，∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B两地到路段MN的距离相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．12．（2019春•嘉定区期末）如图，两车从路段A，B的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地，两车行进的路线平行．那么C，D两地到路段AB的距离相等吗？为什么？【分析】要判断C，D两地到路段AB的距离是否相等，可以由条件证明△AEC≌△BFD，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．【解答】解：C，D两地到路段AB的距离相等．证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠AEC＝90°．∵AC∥BD，∴∠A＝∠B．在△AEC和△BFD中．，∴△AEC≌△BFD，∴CE＝DF．∴C，D两地到路段AB的距离相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．分层提分分层提分题组A基础过关练一．选择题（共3小题）1．（2016秋•天津期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．2．（2015•义乌市）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．3．（2021秋•营山县期中）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜12 B．1＜AD＜6 C．0＜AD＜6 D．2＜AD＜12【分析】作出图形，延长中线AD到E，使DE＝AD，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝BE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的范围，再除以2即可得解．【解答】解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，∵AD是三角形的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE，∵AB＝5，BE＝AC＝7，∴7﹣5＜AE＜7+5，即7﹣5＜2AD＜7+5，∴1＜AD＜6．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．二．填空题（共10小题）4．（2021秋•沂水县期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝2．【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴BC＝EF，∵BF＝10，BC＝6，∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4，∴EC＝EF﹣CF＝2，故答案为：2．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键．5．（2021春•杨浦区期末）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，AB＝3cm，AC＝5cm，那么DE＝3cm．【分析】根据已知可得△ABC≌△DEF中，从而DE＝AB，即可得到答案．【解答】解：如图：在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF中（AAS），∴AB＝DE，∵AB＝3cm，∴DE＝3cm，故答案为：3．【点评】本题考查三角形全等的判定及应用，掌握全等三角形的判定定理和根据已知画出图形是解答本题的关键．6．（2015秋•蒙城县期末）如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．【分析】已知二边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．【点评】本题考查了三角形全等的应用；根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法，题目不难．7．（2009•杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去玻璃店．【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【点评】这是一道考查全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．8．（2021秋•普陀区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点F，如果BF＝AC，BC＝8，CD＝2，那么AF＝4．【分析】利用AAS证明△BFD≌△ACD，得BD＝AD，CD＝DF，即可解决问题．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，∵∠CAD+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，在△BFD与△ACD中，∴△BFD≌△ACD（AAS），∴BD＝AD，CD＝DF，∵BC＝8，CD＝2，∴BD＝AD＝BC﹣CD＝8﹣2＝6，∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△BFD≌△ACD是解题的关键．9．（2021秋•徐汇区校级月考）如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是6．【分析】证明△ABQ≌△EBQ，根据全等三角形的性质得到BA＝BE，AP＝PD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠EBQ，在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ（ASA），∴BA＝BE，同理：AP＝PD，∵△ABC的周长为26，∴AB+AC+BC＝26，∴AB+AC＝16，∴DE＝BE+CD﹣BC＝16﹣10＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．（2021秋•徐汇区校级月考）△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D是BC边上的中点，则AD的取值范围是1＜AD＜7．【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，根据三角形中线的定义可得BD＝CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边求出AE，然后求解即可．【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝6，∵AC＝8，∴6+8＝14，8﹣6＝2，∴2＜AE＜14，∴1＜AD＜7．故答案为：1＜AD＜7．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．11．（2021春•盐湖区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝70°，则∠BDC的度数为40°．【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝70°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BDC＝∠BAC＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．12．（2021秋•长沙期中）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝8．【分析】可先证明△BCE≌△CAD，可求得CE＝AD，结合条件可求得CD，则可求得BE．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD＝25，∵DE＝17，∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，∴BE＝CD＝8；故答案为：8．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．13．（2021秋•梅里斯区期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第2块．【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．三．解答题（共15小题）14．（2021春•黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（两直线平行，内错角相等）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），∴∠EBA＝∠FCD（等角的补角相等）．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），即AB＝CD．（完成以下说理过程）【分析】证△ABE和△DCF全等，可得出∠A＝∠D，从而AE∥DF．【解答】解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（两直线平行，内错角相等）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），∴∠EBA＝∠FCD（等角的补角相等）．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），即AB＝CD．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D，∴AE∥DF．故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握凭想象的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．15．（2021秋•徐汇区校级期中）已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC＝AD＝CE，求证：DE＝CD．【分析】如图，作辅助线；首先证明△ACF≌△CED，得到CF＝DE；其次证明CF＝CD，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AF⊥CD；∵∠C＝90°，DE⊥CD，∴∠ACF+∠DCE＝∠DCE+∠DEC，∴∠ACF＝∠DEC；在△ACF与△CED中，，∴△ACF≌△CED（AAS），∴CF＝DE；∵AC＝AD，且AF⊥CD，∴CF＝CD，∴DE＝CD．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用全等三角形的判定、等腰三角形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．16．（2020春•普陀区期末）如图，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）说明△ABC与△DEF全等的理由；（2）如果AC＝CF，∠1＝30°，∠D＝105°，求∠AFC的度数．【分析】（1）由BF＝EC，可得BC＝EF，根据“SSS“可得△ABC≌△DEF；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，有∠BAC＝∠D，根据∠D＝105°，∠1＝30°，可得∠FAC＝75°，而AC＝CF，故∠AFC＝∠FAC＝75°．【解答】（1）证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠BAC＝∠D，∵∠D＝105°，∴∠BAC＝105°，∵∠1＝30°，∴∠FAC＝∠BAC﹣∠1＝75°，∵AC＝CF，∴∠AFC＝∠FAC＝75°．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质等知识，属基础题型，解题的关键掌握三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS．17．（2019秋•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，M、N分别是BA、BC上的点，且∠MDN+∠MBN＝180°，求证：DM＝DN．【分析】根据一组对角互补的四边形的四个顶点共圆，然后根据圆周角相等，即可证明对应的弦相等．【解答】证明：∵∠MDN+∠MBN＝180°，∴B、M、D、N四点共圆，又∵∠MBD＝∠NBD，∴DM＝DN．【点评】本题考查了四点共圆的证明方法以及圆周角定理，证明B、M、D、N四点共圆是关键．18．（2021春•浦东新区月考）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF∥DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE＝CF．【分析】过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，根据两直线平行，内错角相等可得∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，根据线段中点的定义可得BM＝CM，然后利用“角角边”证明△BMN和△CMF全等，根据全等三角形对应边相等可得BN＝CF，根据角平分线的定义求出∠BAD＝∠CAD，然后根据平行线的性质求出∠E＝∠BAD，∠N＝∠CFM＝∠CAD，从而得到∠E＝∠N，再根据等角对等边可得BE＝BN，最后等量代换即可得证．【解答】证明：如图，过点B作BN∥AC交EM的延长线于N，∴∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，∵M为BC的中点，∴BM＝CM，在△BMN和△CMF中，，∴△BMN≌△CMF（AAS），∴BN＝CF，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵ME∥AD，∴∠E＝∠BAD，∠MFC＝∠CAD，∴∠E＝∠MFC，∴∠E＝∠N，∴BE＝BN，∴BE＝CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并找出一条与BE、CF都相等的线段作为过渡桥梁．19．（2021春•闵行区期末）如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由外角的性质可得∠BED＝∠CDF，由“ASA”可证△BDE≌△CFD，可得DE＝DF．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠EDF，∴∠C＝∠EDF，∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，∴∠BED＝∠CDF，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（ASA），∴DE＝DF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证明△BDE≌△CFD是解题的关键．20．（2021春•闵行区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．【分析】由“ASA”可证△ABD≌△CFD，可得BD＝DF，由等腰三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，∴∠BAD＝∠BCE，在△ABD和△CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），∴BD＝DF，又∵∠ADB＝90°，∴∠FBD＝45°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABD≌△CFD是解题的关键．21．（2021春•浦东新区校级期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．【分析】证出∠BAE＝∠CED，证明△ABE≌△ECD（ASA），得出AE＝DE，得出△AED是等腰三角形．由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．【解答】解：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，又∵∠B＝90°，∴∠B＝∠AED，∵∠AEC＝∠B+∠BAE，即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∴∠BAE＝∠DEC，在△ABE与△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（ASA），∴AE＝ED，∵EF⊥AD，∴点F是AD的中点．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（2021春•浦东新区期末）如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠B+∠DFB，再根据∠FDE＝∠B，证明∠DFB＝∠EDC，然后根据边角边定理证明△DFB与△EDC全等，根据此思路写出相关的理由与步骤即可．【解答】解：∠B与∠C相等，理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，又∵∠FDC＝∠B+∠BFD，∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，又∵∠FDE＝∠B，∴∠BFD＝∠EDC，在△BFD和△CDE中，∴△BFD≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．23．（2021春•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．试说明AD＝ED的理由．解：因为CE∥AB（已知），所以∠BAD＝∠E（两直线平行，内错角相等）．因为点D是边BC的中点，所以BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，所以△ABD≌△ECD（AAS），所以AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．【分析】先利用平行线的性质得到∠BAD＝∠E，再利用线段中点的定义得到BD＝CD，则可根据“AAS”判断△ABD≌△ECD，然后根据全等三角形的性质得到AD＝ED．【解答】解：因为CE∥AB（已知），所以∠BAD＝∠E（两直线平行，内错角相等）．因为点D是边BC的中点，所以BD＝CD，在△ABD和△ECD中，所以△ABD≌△ECD（AAS），所以AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．故答案为∠E，两直线平行，内错角相等；∠BAD＝∠E，对顶角相等，BD＝CD；AAS；全等三角形的对应边相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．24．（2021春•黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．（1）说明△ADE≌△BFE的理由；（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是EG⊥DF，请说明理由．【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因为E是AB的中点，得AE＝BE，即可证明△ADE≌△BFE；（2）可证∠2＝∠F，从而有DG＝FG，再通过（1）中全等知DE＝EF，由等腰三角形三线合一即可证出EG⊥DF．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS），（2）如图，EG⊥DF，∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键．25．（2021春•杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．解：因为△ABC是等边三角形（已知），所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．因为△BDE是等边三角形（已知），所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），得∠ABD＝∠CBE．在△ABD与△CBE中，，所以△ABD≌△CBE（SAS）．所以∠A＝∠BCE（全等三角形的对应角相等）．又因为∠A＝∠ABC，所以∠ABC＝∠BCE（等量代换）．所以CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．【分析】先证明∠ABD＝∠CBE．则可判断所以△ABD≌△CBE，所以∠A＝∠BCE，接着利用等量代换得到∠ABC＝∠BCE，然后根据平行线的判定方法得到CE∥AB．【解答】解：因为△ABC是等边三角形（已知），所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．因为△BDE是等边三角形（已知），所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），得∠ABD＝∠CBE．在△ABD与△CBE中，，所以△ABD≌△CBE（SAS）．所以∠A＝∠BCE（全等三角形的对应角相等）．又因为∠A＝∠ABC，所以∠ABC＝∠BCE（等量代换）．所以CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．故答案为∠CBE，SAS，∠BCE，全等三角形的对应角相等；∠BCE，内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质．26．（2021春•杨浦区期末）如图，已知△ADE≌△CBF，顶点A、D、E分别与顶点C、B、F对应，据此可以判断图中有哪几组直线互相平行？请说明理由．【分析】根据全等三角形的性质得到∠DAE＝∠BCF，∠AED＝∠CFB，AE＝CF，DE＝BF，得到AD∥BC，ED∥BF，证明△CDE≌△ABF，根据全等三角形的性质得到∠DCE＝∠BAF，根据平行线的判定定理证明AB∥CD．【解答】解：可以判断AD∥BC，AB∥CD，DE∥BF三组直线平行，理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∠AED＝∠CFB，AE＝CF，DE＝BF，∴AD∥BC，∠CED＝∠AFB，AE+EF＝CF+EF，∴ED∥BF，AF＝CE，在△CDE和△ABF中，，∴△CDE≌△ABF（SAS），∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥CD，∴AD∥BC，AB∥CD，DE∥BF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．27．（2021春•普陀区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AE＝AC，过点E作EF∥BC交AC于F，EC平分∠DEF．说明∠BAD＝∠CAD．【分析】由平行线的性质得出∠FEC＝∠DCE，由角平分线的性质得出∠FEC＝∠DEC，推出∠DCE＝∠DEC，则ED＝CD，由SSS证得△AED≌△ACD，进而可得结论．【解答】证明：∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠DCE，∵EC平分∠DEF，∴∠FEC＝∠DEC，∴∠DCE＝∠DEC，∴ED＝CD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD．【点评】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定方法是解题的关键．28．（2021春•浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；（2）由（1）可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数．【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）；（2）解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝44°，∴∠C＝∠EDC＝68°，∴∠BDE＝∠C＝68°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型．题组B能力提升练一．填空题（共2小题）1．（2021秋•浦东新区期中）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝100°．【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，如图所示：在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2021春•黄浦区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是65°．【分析】首先证明△DBE≌△ECF，进而得到∠EFC＝∠DEB，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC的度数，进而得到∠DEB+∠FEC的度数，然后可算出∠DEF的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CFE+∠FEC＝180°﹣65°＝115°，∴∠DEB+∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°﹣115°＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和的定理，关键是熟练掌握三角形内角和是180°．二．解答题（共15小题）3．（2021秋•徐汇区校级月考）如图，四边形ABCD中，BC＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，求证：AB＝AD．【分析】连接AC，利用HL得出Rt△ADC与Rt△ABC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：连接AC，∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，在Rt△ADC与Rt△ABC中，，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），∴AB＝AD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL得出Rt△ADC与Rt△ABC全等解答．4．（2021春•浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【分析】由平行线的性质证得∠ABD＝∠EDC，根据全等三角形判定证得△ABD≌△EDC，得到AB＝DE，BD＝CD，由线段的和差及等量代换即可得到AB+BE＝CD．【解答】解：AB+BE＝CD，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴AB＝DE，BD＝CD，∵DE+BE＝BD，∴AB+BE＝CD．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形判定证得△ABD≌△EDC是解决问题的关键．5．（2021春•静安区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．（1）AD和BC相等吗？为什么？（2）BF和BD相等吗？为什么？【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△ABD与△CDB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△EFB与△CDB全等，进而解答即可．【解答】解：（1）AD＝CB，理由如下：∵AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，同理可得，∠ADB＝∠CBD，在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴AD＝CB；（2）BF＝BD，理由如下：∵AD＝CB，BE＝AD，∴BC＝BE，∵∠DEF＝∠ADC，∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，即∠EFB＝∠CDB，在△EFB与△CDB中，，∴△EFB≌△CDB（ASA），∴FB＝DB．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据ASA证明三角形全等，利用全等三角形的性质解答．6．（2020秋•奉贤区期末）已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面积为9．点P为边AB上动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D．∠ACP的平分线交AB于点E．（1）如图1，当CD⊥AB时，求PA的长；（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系．【分析】（1）根据三角形的面积公式得出CP，进而利用勾股定理得出PA即可；（2）延长BD，过A作AO∥BC，利用平行四边形的性质解答即可．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，△ABC的面积为9，AB＝6，∴，∴CP＝3，由勾股定理得：PA＝；（2）延长BD，过A作AO∥BC，∵BD∥AC，AO∥BC，∴四边形AOBC是平行四边形，∵E是AB的中点，∴延长CE肯定可以过点O点，∴∠OCD＝∠ACO＝∠COD，∴CD＝DO，∵DO+DB＝AC，∴AC＝CD+DB．【点评】考查了全等三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质进行解答，属于中考常考题型．7．（2020春•虹口区期中）如图，已知E、F是BD上的两点，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，请填写AD∥BC的理由．解：因为AE∥CF（已知），所以∠AED＝∠CFB（两直线平行，内错角相等）．因为BE＝DF（已知），所以BE+EF＝DF+EF（等式的性质），即BF＝DE．在△ADE与△CBF中，所以△ADE≌△CBF（SAS）．得∠ADE＝∠CBF（全等三角形的对应角相等）．所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．【分析】证△ADE≌△CBF（SAS）．得∠ADE＝∠CBF，即可得出结论．【解答】解：因为AE∥CF（已知），所以∠AED＝∠CFB（两直线平行，内错角相等）．因为BE＝DF（已知），所以BE+EF＝DF+EF（等式的性质），即BF＝DE．在△ADE与△CBF中，，所以△ADE≌△CBF（SAS）．得∠ADE＝∠CBF（全等三角形的对应角相等）．所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：∠CFB；等式的性质；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2020秋•普陀区期中）如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E、DF⊥AC交AC的延长线于点F，垂足分别为点E、F．（1）求证：∠DBE＝∠DCF．（2）求证：BE＝CF．【分析】（1）连接AD，证△ABD≌△ACD（SSS），得∠ABD＝∠ACD，即可得出结论；（2）证△BDE≌△CDF（AAS），即可得出结论．【解答】证明：（1）连接AD，如图：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ABD＝∠ACD，∴∠DBE＝∠DCF．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠F＝90°，由（1）得：∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE＝CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2019秋•浦东新区期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC于D，垂足分别为点D、E，AD与BE相交于点F．求证：DF＝DC．【分析】证出△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AD，证明△BDF≌△ADC（ASA），即可得出结论．【解答】证明：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AD，∵BE⊥AC，∴∠C+∠DBF＝∠C+∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF＝DC．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．10．（2019春•青浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上．如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？解：因为BE∥CF（已知），所以∠EBC＝∠FCB（两直线平行，内错角相等）．因为∠EBC+∠EB4＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），所以∠EBA＝∠FCD（等角的补角相等）．因为AC＝BD（已知），所以AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），即AB＝CD（完成以下说理过程）．【分析】先证∠EBA＝∠FCD．再证AB＝CD，然后证△ABE≌△DCF（SAS），得∠A＝∠D，即可得出结论．【解答】解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（两直线平行，内错角相等）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），∴∠EBA＝∠FCD．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），即AB＝CD，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D（全等三角形的对应角相等），∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，内错角相等；∠EBA＝∠FCD；等角的补角相等；AB＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．11．（2019春•奉贤区期末）阅读并填空：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上，且联接DE交BC于O，如果OE＝OD，那么CD＝BE，为什么？解：过点E作EF∥AC交BC于F，所以∠ACB＝∠EFB（两直线平行，同位角相等），∠D＝∠OEF（两直线平行，内错角相等），在△OCD与△OFE中，，所以△OCD≌OFE，（ASA），所以CD＝FE（全等三角形的对应边相等），因为AB＝AC（已知），所以∠ACB＝∠B（等边对等角），所以∠EFB＝∠B（等量代换），所以BE＝FE，所以CD＝BE．【分析】证△OCD≌OFE（ASA），得出CD＝FE，由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠B，证出∠EFB＝∠B，得出BE＝FE，即可得出结论．【解答】解：过点E作EF∥AC交BC于F，所以∠ACB＝∠EFB（两直线平行，同位角相等），∠D＝∠OEF（两直线平行，内错角相等），在△OCD与△OFE中，，所以△OCD≌OFE（ASA），所以CD＝FE（全等三角形的对应边相等），因为AB＝AC（已知），所以∠ACB＝∠B（等边对等角），所以∠EFB＝∠B（等量代换），所以BE＝FE，所以CD＝BE．故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；ASA；全等三角形的对应边相等；等边对等角．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．12．（2019秋•浦东新区期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD交于点M．（1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝40°：①AC与BD的数量关系为AC＝BD；②∠AMB的度数为40°．（2）如图2，若∠AOB＝∠COD＝90°：①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；②求∠AMB的度数．【分析】（1）①先证明：∠BOD＝∠AOC，再证明△BOD≌△AOC（SAS），即可得AC＝BD；②由△BOD≌△AOC及三角形内角和定理即可求得∠AMB＝40°；（2）①证明△BOD≌△AOC（SAS）即可得BD＝AC，②根据全等三角形性质和三角形内角和定理即可求得∠AMB；【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴AC＝BD；故答案为：AC＝BD，②∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，∴∠MAB+ABM＝140°，∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，∴∠AMB＝40°；故答案为：40°；（2）①AC＝BD，理由如下：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC；②∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，又∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠ABO＝∠ABM+∠OBD，∠MAB＝∠MAO+∠OAB，∴∠MAB+∠MBA＝90°，又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°．【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，含30°的直角三角形性质，勾股定理等．熟练掌握全等三角形判定和性质是解题关键．13．（2018秋•松江区期末）在△ABC中，点Q是BC边上的中点，过点A作与线段BC相交的直线l，过点B作BN⊥l于N，过点C作CM⊥l于M．（1）如图1，如果直线l过点Q，求证：QM＝QN；（2）如图2，若直线l不经过点Q，联结QM，QN，那么第（1）问的结论是否成立？若成立，给出证明过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由“AAS”可证△BQN≌△CQM，可得QM＝QN；（2）延长NQ交CM于E，由“ASA”可证△BQN≌△CQE，可得Q