2020-2021学年人教A版数学选修2-1作业：2.4.1-抛物线及其标准方程

PAGE第二章2.42.4.1基础练习1．过点A(1,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线【答案】D【解析】设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D．2．点(7，－4)到抛物线y2＝16x焦点的距离是()A．5 B．8C．11 D．15【答案】A【解析】抛物线的焦点为(4,0)，点(7，－4)到点(4,0)的距离为eq\r(7－42＋－42)＝5.故选A．3．抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标为3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程是()A．y2＝8x B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x【答案】A【解析】抛物线的准线方程为x＝－6a，由题意得3＋6a＝5，∴a＝eq\f(1,3).∴抛物线的方程是y2＝8x.故选A．4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2 B．3C．eq\f(11,5) D．eq\f(37,16)【答案】A【解析】设抛物线焦点为F，则点F为(1,0)，x＝－1为抛物线的准线方程，∴点P到l2的距离与|PF|相等．∴当PF⊥l1时，所求和最小，最小值为点F到l1的距离，其值为eq\f(|4＋6|,5)＝2.故选A．5.抛物线5x2－2y＝0的焦点坐标是，准线方程是.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,10)))y＝－eq\f(1,10)【解析】抛物线方程化为标准形式为x2＝eq\f(2,5)y，因为p＝eq\f(1,5)，所以焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,10)))，准线方程是y＝－eq\f(1,10).6．(2019年江苏南京模拟)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1的大小为________．【答案】eq\f(π,2)【解析】由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，∴∠OFA1＋∠OFB1＝eq\f(1,2)×π＝eq\f(π,2)，即∠A1FB1＝eq\f(π,2).7．分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．解：(1)若抛物线焦点落在x轴上，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)．将点(－3,2)代入方程得22＝－2p·(－3)，p＝eq\f(2,3).故抛物线方程为y2＝－eq\f(4,3)x.若抛物线焦点落在y轴上，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)．将点(－3,2)代入方程得(－3)2＝2p·2，p＝eq\f(9,4).故抛物线方程为x2＝eq\f(9,2)y.综上，抛物线方程为y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，则抛物线的焦点坐标为(4,0)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，eq\f(p,2)＝4，p＝8，则抛物线方程为y2＝16x.直线x－2y－4＝0与y轴的交点为(0，－2)，则抛物线的焦点坐标为(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，－eq\f(p,2)＝－2，p＝4，则抛物线方程为x2＝－8y.综上，抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.8．(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求该抛物线方程；(2)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，求点P的轨迹方程．解：(1)抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，故直线l的方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4))).令x＝0得y＝－eq\f(a,2)，故△OAF的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(a2,16)＝4.解得a＝±8.∴抛物线方程为y2＝±8x.(2)由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，∴点P到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等．∴点P的轨迹是以点F为焦点，y＝－2为准线的抛物线．∴点P的轨迹方程为x2＝8y.能力提升9．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为()A．6 B．2＋4eq\r(2)C．2eq\r(13) D．4＋2eq\r(5)【答案】C【解析】设A(x0，y0)．∵|AF|＝4，由抛物线的定义得|AF|＝2－x0，∴2－x0＝4.解得x0＝－2.∴A(－2，±4)．设坐标原点关于准线x＝2的对称点的坐标为B(4,0)，则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PB|≥|AB|＝eq\r(4＋22＋42)＝2eq\r(13).故选C．10．(2019年河北邢台模拟)从抛物线y2＝4x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的内切圆的面积为()A．eq\f(15－3\r(5),2)π B．eq\f(15－5\r(5),2)πC．eq\f(17－3\r(5),2)π D．eq\f(17－5\r(5),2)π【答案】B【解析】如图，∵|PM|＝5，∴点P的坐标为(4,4)．∴S△PMF＝eq\f(1,2)×5×4＝10.设△PMF的内切圆圆心为O′，半径为r，则S△PMF＝S△O′PM＋S△O′PF＋S△O′MF，即eq\f(1,2)(5＋5＋2eq\r(5))r＝10.解得r＝eq\f(5－\r(5),2).故△PMF内切圆的面积为πr2＝eq\f(15－5\r(5),2)π.11．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，P是抛物线准线上一点，Q是直线PF与抛物线的一个交点，若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(QF,\s\up6(→))，则直线PF的方程为________．【答案】x＋y－2＝0或x－y－2＝0【解析】抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，设点Q到准线l的距离为d，则|QF|＝d.∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(QF,\s\up6(→))，∴|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝|eq\r(2)eq\o(QF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)d.∴直线PF的倾斜角为45°或135°.∴直线PF的斜率为±1.∴直线PF的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.12．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的一点R与焦点连线的中点为M(－5,4)，求抛物线的标准方程．解：由题意，知抛物线的焦点一定在x轴的负半轴上，设其方程为y2＝－2px(p>0)，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，令R(x0，y0)．