数学（北师大版选修23）练习2章整合提升

第二章本章整合提升一、选择题1．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：由题意，该同学通过测试的概率为P3(2)＋P3(3)，其中P3(2)表示投3次恰好投中2次，P3(3)表示投3次恰好投中3次．由n次独立重复试验恰好k次发生的概率计算公式知，该同学通过测试的概率为P3(2)＋P3(3)＝Ceq\o\al(2,3)0.62(1－0.6)1＋Ceq\o\al(3,3)0.63(1－0.6)0＝0.648，选A．答案：A2．(2017·浙江卷)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，则()A．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2 B．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＞Dξ2C．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＜Dξ2 D．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2解析：由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，∴Eξ1＝p1，Eξ2＝p2，Dξ1＝p1(1－p1)，Dξ2＝p2(1－p2)．又∵0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，∴Eξ1＜Eξ2．把方差看作函数y＝x(1－x)，根据0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)知，Dξ1＜Dξ2．答案：A3．(2015·湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2386 B．2718C．3413 D．4772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544．解析：因为X～N(0,1)，P(－1＜X＜1)＝0.6826，所以P(0＜X＜1)＝0.3413．由概率计算公式得0.3413＝eq\f(阴影部分的点数,总的点数)＝eq\f(阴影部分的点数,10000)，所以阴影部分的点数为3413.故选C．答案：C4．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,9) D．eq\f(3,20)解析：记“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”为事件M，记“学生C第一个出场”为事件N．则P(M)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))，P(MN)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))．那么在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为P(N|M)＝eq\f(PMN,PM)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).选A．答案：A二、填空题5．(2015·广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若EX＝30，DX＝20，则p＝________．解析：依题可得EX＝np＝30且DX＝np(1－p)＝20，解得p＝eq\f(1,3)．答案：eq\f(1,3)6．(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有(正正)，(正反)，(反正)，(反反)，所以在1次试验中正面向上的枚数ξ的取值为0,1,2，其中P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)．在1次试验中成功的概率为P(ξ≥1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以在2次试验中成功次数X的分布列为P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16)．故EX＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2)．答案：eq\f(3,2)7．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．解析：方法一设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,100))，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5×4,100×99),\f(5,100))＝eq\f(4,99)．方法二第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为eq\f(4,99)．答案：eq\f(4,99)三、解答题8．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1＝eq\f(2,3)，乙的命中率为P2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P2＝eq\f(1,2)，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；(2)计划在2016年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果Eξ≥5，求P2的取值范围．解：(1)因为P1＝eq\f(2,3)，P2＝eq\f(1,2)，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(1,2)·\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·\f(1,2)))＝eq\f(1,3)．(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,2)·\f(2,3)·\f(1,3)))[Ceq\o\al(1,2)·P2·(1－P2)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·\f(2,3)))(Peq\o\al(2,2))＝eq\f(8,9)P2－eq\f(4,9)Peq\o\al(2,2)，而ξ～B(12，P)，所以Eξ＝12P．由Eξ≥5知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,9)P2－\f(4,9)P\o\al(2,2)))·12≥5，解得eq\f(3,4)≤P2≤1．9．(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2．从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04．所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)