专题27-对数函数的图像和性质(一)(解析版)

7/7专题27对数函数的图像和性质（一）题组1对数函数的图像1.已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】先画出函数f(x)＝的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象，故选：D.2.函数f（x）=10x与函数g（x）=lgx的图象A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于y=x对称【答案】D【解析】因为f（x）=10x与函数g（x）=lgx是一对反函数，所以其图象关于y=x对称.故选D.3.函数f（x）=ln||的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.4.函数f（x）=log2（x+1）与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】定义域为，函数为增函数；定义域为，函数为减函数，所以结合指数函数对数函数的性质可知B图像正确5.已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝log2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，函数为偶函数，∴函数为偶函数，其图象关于轴对称，故只需考虑时的情形即可.由函数的取值情况可得，当时，函数的取值情况为先负、再正、再负，所以结合各选项得B满足题意.故选B.6.设函数，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数定义域为R，关于原点对称，且，所以函数是偶函数，又在是增函数，所以等价于，所以，解得，故选：A7.函数在的图象大致为（）A.B. C. D.【答案】C【解析】函数，则，所以为奇函数，排除B选项；当时，，所以排除A选项；当时，，排除D选项；综上可知，C为正确选项，故选：C.8.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足.故选：A.9.函数的大致图像为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为是由向左平移一个单位得到的，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，所以的图像关于对称，故可排除A，D选项；又当或时，，，所以，故可排除C选项故选：B.10.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.故选：D11.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为是偶函数，排除B，当时，，，排除C，当时，排除D.故选：A.12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数与时的个数相同，由奇函数可知，由得，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个13.若x1，x2是方程2x＝的两个实数解，则x1＋x2＝________.【答案】-1【解析】∵2x＝，∴2x＝，∴x＝－1，∴x2＋x－1＝0.∴x1＋x2＝－1.故答案：－114.已知函数.(1)画出函数的草图,并根据草图求出满足的x的集合；(2)若,且,求证：.【答案】(1)图见解析，(0，)∪(10，＋∞).(2)证明见解析【解析】(1)画出函数的草图,如图所示：令,则,可得或.故满足的x的集合为.(2)证明：若,且,则.当时,显然成立且.当,因为则成立当时,不成立.综上所述成立.15.已知函数，（1）试证明函数是偶函数；（2）画出的图象；（要求先用铅笔画出草图，再用黑色签字笔描摹，否则不给分）（3）请根据图象指出函数的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）（4）当实数取不同的值时，讨论关于的方程的实根的个数；（不必求出方程的解）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）增区间减区间（4）①当时，方程无实数根；②当或时，方程有两个实数根；③当时，方程有三个实数根；④当时，方程有四个实数根【解析】（1）的定义域为,且故为偶函数；（2）如图（3）递增区间有：递减区间有：（4）根据图象可知，①当时，方程无实数根；②当或时，方程有两个实数根；③当时，方程有三个实数根；④当时，方程有四个实数根；16.已知函数f(x)＝xlnx－x.（1）设g(x)＝f(x)＋|x－a|，a∈R.e为自然对数的底数.①当时，判断函数g(x)零点的个数；②时，求函数g(x)的最小值.（2）设0＜m＜n＜1，求证：【答案】（1）①g(x)有且仅有两个零点.②a－e.（2）证明见解析【解析】（1）①当时，g(x)＝xlnx－x＋|x＋|＝xlnx＋，g′(x)＝1＋lnx，当0＜x＜时，g′(x)＜0；当x＞时，g′(x)＞0；因此g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，又，g()＝－＋＜0，g(1)＝＞0，所以g(x)有且仅有两个零点.②（i）当a≤时，g(x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，因为x∈[，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0恒成立，所以g(x)在[，e]上单调递增，所以此时g(x)的最小值为g()＝－－a.（ii）当a≥e时，g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，因为x∈[，e]，g′(x)＝lnx－1≤0恒成立，所以g(x)在[，e]上单调递减，所以此时g(x)的最小值为g(e)＝a－e.（iii）当＜a＜e时，若≤x≤a，则g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，若a≤x≤e，则g(x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，由（i），（ii）知g(x)在[，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，所以此时g(x)的最小值为g(a)＝alna－a，综上有：当a≤时，g(x)的最小值为－－a；当＜a＜e时，g(x)的最小值为alna－a；当a≥e时，g(x)的最小值为a－e.（2）设h(x)＝，则当x∈(0，1)时，h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)单调递增，又0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，从而有设φ(x)＝，x＞0则φ′(x)＝因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为0＜n＜1，所以φ(n)＜φ(1)＝0，即lnn－1＋＜0，因此即原不等式得证.17.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R).（1）判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；（2）当时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）3＜a≤e＋＋1.【解析】（1），所以切线的斜率，又，所以曲线在点处的切线方程为，由，得，由△可得，当△时，即或时，有两个公共点，当△时，即或时，有一个公共点，当△时，即时，没有公共点，（2），由，得，令，则，当，时，由，得，所以在，上单调递减，在，上单调递增，因此，由，，比较可知，所以，结合函数图象可得，当时，函数有两个零点.18.根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题：(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；(2)求y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值.【答案】(1)(2，＋∞)(2)最小值为log23，最大值为log227【解析】（1）由函数的单调性及，即可求出的取值范围；（2）根据定义域为，表示出的取值范围，结合对数函数的性质，即可求得最值.试题解析：函数f(x)＝log2x的图象如图：(1)因为f(x)＝log2x是增函数，故f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞).(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，∴log23≤log2(2x－1)≤log227.∴函数y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.题组2对数函数的性质19.已知定义在R上的函数满足，当时，，若方程在上恰好有两个实数根，则正实数a的值为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】由，可知为偶函数，且一条对称轴为，再由，可得，即函数的周期为2.根据时，作出函数的草图，如图所示：方程在上恰好有两个实数根，函数与的图象在y轴右侧有两个交点，设与相切时，切点坐标为，由，得，解得.由图象可知，当直线过点时，方程在上恰好有两个实数根，.故选：C.20.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】函数，的图象如下：根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，则，，，.，，则.令，，，而函数在，单调递增.所以，则.故选：D.21.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.22.已知函数，其中.如果函数恰有两个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，，当时，，两段均为增函数，函数恰有两个零点，可得，解得.故选：D23.给出下列四个结论：(1)若集合A={x,y}，B={0，},且A=B,则x=1,y=0;(2)若函数f(x)的定义域为（-1,1），则函数f(2x+1)的定义域为（-1，0);(3)函数的单调减区间是；(4)若，且，则其中不正确的有______.【答案】（3）【解析】（1）因为A=B，所以，故（1）正确；（2）因为函数f(x)的定义域为（-1,1），所以，故（2）正确；（3）函数的单调减区间是和，故（3）错误；（4）因为，所以，因此，故（4）正确；故答案为：（3）题组3对数值大小比较24.已知，，，则、、的大小关系是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】，因此故选：C.25.函数（且）在上为增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案