重庆市荣昌中学高三上学期第一次月考数学试题

20232024学年荣昌中学校高三上期第一次月考数学试卷试卷满分：150分考试时长：120分钟一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集，集合，或，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果.【详解】由或得，又，所以.故选：B.2.已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由命题“，”是真命题，求得，结合选项，即可得到命题是真命题的一个必要不充分条件，得到答案.【详解】由命题“，”是真命题，可转换为不等式在恒成立，因为，所以，结合选项，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.故选:B.3.若，则的最小值是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】由，可得，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：B.4.下列求导运算正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数运算公式和运算法则，分别求导，再判断即可【详解】解：，，，于是可得A、C、D错误.故选：B．5.已知实数，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据以及得出，然后根据以及得出，即可得出结果.【详解】因为，，函数在上是增函数，所以，因为，，所以，综上所述，，故选：D.【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.6.已知函数，则其图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先观察选项图像，再分析原函数解析式，发现函数有对称轴即可得出答案.【详解】解：因为，定义域为，所以，所以的对称轴为.当时，令，则在上单调递增，而且，所以在上单调递减，在上单调递增.结合选项：A选项为时的图像，B选项为时的图像，D选项为时的图像，而C选项无对称轴，则图像不可能是C.故选：C7.下列化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】应用诱导公式以及同角三角函数的基本关系对四个选项验证即可.【详解】对于A，由诱导公式得，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.8.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【详解】，由于，所以的定义域为，，所以是奇函数，当时，为增函数，为增函数，所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，由得，即，则，解得，所以不等式的解集是.故选：A【点睛】给定一个不等式以及函数解析式的题目，要考虑函数的单调性、奇偶性、定义域等基本性质来进行解题.是否要构造函数，构造什么类型的函数，关键是要根据已知函数的结构，选择合适的构造方法.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下面命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“任意，则”的否定是“存在，则”C.函数的最小值为2D.不等式在上有解，则实数的取值范围是【答案】AB【解析】【分析】由充分、必要性定义及不等式性质判断A；写出全称命题的否定判断B；根据对应函数值符号判断C；利用二次函数性质求在上能成立求参数范围判断D.【详解】A：可得，但反之不一定成立，对；B：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为：存在，则，对；C：当时，，即2不是最小值，错；D：令，开口向上且，使在上能成立，必有，可得，故对称轴，显然恒成立，所以，错.故选：AB10.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（）A.的一个周期为4 B.是函数的一条对称轴C.时， D.【答案】ABD【解析】【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值．【详解】对于A，为奇函数，，且，函数关于点，偶函数，，函数关于直线对称，，即，，令，则，，，故的一个周期为4，故A正确；对于B，则直线是函数的一个对称轴，故B正确；对于C、D，∵当时，，，，又，，解得，，，当时，，故C不正确；，故D正确.故选：ABD.11.若过点可以作三条直线与函数相切，则实数a的值可能是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】CD【解析】【分析】设切点，根据导数的几何意义，求得切线方程，根据在切线上，得到，根据题意转化为有三个不同的实数解，令，利用导数求得函数的单调性和极值，求得的取值范围，结合选项，即可求解.【详解】设切点，由函数，可得，则切线的斜率为，所以切线方程为，因为点在切线上，可得，即，又因为过点可以作三条直线与函数相切，即方程有三个不同的实数解，且不是方程的解，即有三个不同的实数解，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；时，，单调递增，又由，且当时，，当时，，当,所以实数的取值范围为，结合选项C、D符合题意.故选：CD.12.已知函数则下列选项正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数的值域为C.方程有两个不等的实数根D.不等式解集为【答案】BC【解析】【分析】画出的图象，结合图象即可判断各选项.【详解】画出的图象，如上图所示.令，解得或，所以的图象与轴交于.对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错；对于B，由图象可知，函数的值域为，B对；对于C，，，由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对；对于D，由图象可知，当时，，所以，由可得.令，解得或；令，解得或，所以，由图象可知，不等式解集为，D错.故选：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式整理可得，即，等价于，解得；所以不等式的解集为故答案为：14._________________．【答案】##【解析】【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可.详解】故答案为：15.已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据是R上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.【详解】因为函数满足对上的任意实数，恒有成立，所以函数在R上递减，所以，即，解得，所以的取值范围是.故答案为：.16.已知函数，，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】将问题转化为与图象有三个交点，观察图象得的取值范围.【详解】由得，由题意得，函数与函数的图象恰有3个公共点，作出函数的图象，如图，再作出直线，它始终过原点，当时，与至多有两个交点，不满足.当时，设直线与相切，切点为,，由知，切线斜率为，切线方程为，把代入得，所以切线斜率为，由图可得与图象有3个交点时实数的取值范围是.故答案为:.【点睛】方法点睛：求函数的零点个数时将其化为的形式，把函数的零点个数转化为与图象交点的个数问题.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第1822题12分，共70分.）17.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，求得，结合两角和的正弦，即可求解；（2）根据倍角公式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】解：因为，且，可得，则.【小问2详解】因为所以.18.已知定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；【答案】（1）（2）函数在上是增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用，求得，再由，求得，即可求得的解析式；（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可求解.【小问1详解】解：由定义在上的奇函数，则，即，解得，因为，即，解得，所以，经检验：，符合题意，所以.【小问2详解】解：函数在上是增函数.证明如下：任取且，则，因为，则，，故，即，因此函数在上是增函数.19.已知关于不等式的解集为或．（1）求值；（2）当，且满足时，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到和是方程的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求解；（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为不等式的解集为或，可得和是方程的两个实数根，且，则，解得.【小问2详解】解：由（1）知，可得，因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.20.某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得.男生女生合计喜欢不喜欢合计（1）完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；（2）①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为X，求X的数学期望.附表：0.100.050.0250.0100.00127063.8415.0246.63510.828附：.【答案】（1）列联表答案见解析，，有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关；（2）①；②.【解析】【分析】（1）利用给定数据完善2×2列联表，计算的观测值即可求出n，再与临界值表比对作答.（2）①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；②利用二项分布的期望公式计算作答.【小问1详解】2×2列联表如下表所示：男生女生合计喜欢6n5n11n不喜欢4n5n9n合计10n10n20n，而，于是得，又，所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.【小问2详解】①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为；②由（1）知，任抽1人喜欢长跑的概率，依题意，，所以X数学期望是.21.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）试讨论函数单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数的导函数得出斜率，再根据点斜式求出切线方程即可；（2）分和两种情况求导函数，分导数正负讨论函数的单调性.【小问1详解】因为，所以，则，切点为又因为所以，即所以曲线在点处的切线方程是，即.【小问2详解】因为，，所以，当时，，则在上单调递减；当时，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增22.已知函数f(x)，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在两条，证明见解析.【解析】【