线性代数总结

线性代数总结行列式：定理一：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。定理二：n阶行列式也可以定义为其中t为行标排列的逆序数行列式性质：性质1：行列式与它的转置行列式相等行列式的行与列具有同等重要的性质。性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素乘以同一数k，等于用数k乘此行列式推论：行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和：则D等于下列两个行列式之和：性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变若n阶行列式每个元素都表示成两个数之和，则它可分解成个行列式。注意与的区别余子式：在n阶行列式中，把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元的余子式，记为；记叫作元的代数余子式引理：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理三：行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即或克拉默法则：如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即那么，方程组（1）有唯一解其中是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，定理四：如果线性方程组（1）的系数行列式,则（1）一定有解，且解是唯一的定理四＇：如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零定理五：如果齐次线性方程组（２）的系数行列式，则齐次线性方程组（２）没有非零解定理五＇：如果齐次线性方程组（２）有非零解，则它的系数行列式必为零矩阵：矩阵运算：Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）Ａ（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ（Ｂ＋Ｃ）Ａ＝ＢＡ＋ＣＡ只有方阵它的幂才有意义矩阵的转置：对称阵：设Ａ为ｎ阶方阵，如果满足，即那么Ａ称为对称矩阵。方阵的行列式：由ｎ阶方阵Ａ的元素所构成的行列式，称为方阵Ａ的行列式，记为或伴随矩阵：行列式的各元素的代数余子式所构成的如下的矩阵称为矩阵Ａ的伴随矩阵，简称伴随阵。逆矩阵：对于ｎ阶矩阵Ａ，如果有一个ｎ阶矩阵Ｂ，使则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，简称逆阵。逆阵是唯一的定理一：若矩阵Ａ可逆，则定理二：若，则矩阵Ａ可逆，且，其中为矩阵Ａ的伴随阵当时，Ａ称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，Ａ可逆的充分必要条件是，即可逆矩阵就是非奇异矩阵推论：若或，则若Ａ可逆则亦可逆，且若Ａ可逆，数则可逆，且若Ａ、Ｂ为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且若A可逆，则亦可逆，且当时，还可以定义设为x的m次多项式，A为n阶矩阵，记，称为矩阵A的m次多项式。矩阵A的两个和多项式总是可交换的，即总有如果,，则，从而如果为对角阵，则，从而分块矩阵：设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同得分块法，有其中与的行数相同、列数相同，那么设，为数，那么设A为矩阵，B为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，那么，其中设，则设A为n阶矩阵，若A得分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即,其中都是方阵，那么称A为分块对角矩阵。分块对角矩阵的行列式具有下述性质：由此性质可知，若则并有以对角阵左乘A的结果是A的每一行乘以中与该行对应的对角元以对角阵右乘A的结果是A的每一列乘以中与该列对应的对角元线性方程组的变形：，或初等变化：下面三种变换称为矩阵的初等行变化：（1）对调两行（2）以数乘某一行中的所有元素（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去矩阵等价：反身性：A~A对称性：若A~B,则B~A传递性：若A~B,B~C,则A~C定理一：设A是一个矩阵，对A施行一次初等变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶矩阵；对A施行一次初等列变化，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。定理二：方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵使推论1方阵A可逆的充分必要条件时A~E推论2：矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B对于n阶矩阵A和矩阵B，把分块矩阵（A,B）化成行最简形，如果（A,B）的行