函数的基本性质-奇偶性-教案课件-人教版高中数学必修第一册

函数的基本性质一一奇偶性

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性定义；

2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用。

【学习重难点】

1.学习重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。

2.学习难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法

【学习过程】

要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤

1.函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个X,都有〃-x)=_f(x),那么/(X)称为偶函数。

奇函数：若对于定义域内的任意一个X,都有“_x)=-/(x),那么/(X)称为奇函数。

要点诠释：

(1)奇偶性是整体性质；

(2)x在定义域中，那么-X在定义域中吗？一一具有奇偶性的函数，其定义域必定是关

于原点对称的；

(3)/(一彳"/⑴的等价形式为：/(x)-/(-x)=O,止2=l(/(x-0),

/(x)

〃T)=-/(x)的等价形式为：/(%)+/(-%)=0,与?=T(/(x)wO)；

f(x)

(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有/(x)=0；

(5)若/(x)既是奇函数又是偶函数，则必有/(x)=0.

2.奇偶函数的图象与性质

(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图

形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函

数。

(2)如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于

y轴对称，则这个函数是偶函数。

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

(1)求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，

则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

(2)结合函数/(x)的定义域，化简函数)(x)的解析式；

(3)求/(-X),可根据/(-X)与“X)之间的关系，判断函数“X)的奇偶性。

若/(-%)=-/(%),则/(%)是奇函数；

若,则/(%)是偶函数；

若/(-X)H±/(x),则/(x)既不是奇函数，也不是偶函数；

若/(-X)=/(X)且/(-%)=-/(%),则/(X)既是奇函数，又是偶函数

要点二、判断函数奇偶性的常用方法

(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也

不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断/(-X)与±/(x)之一是否相等。

(2)验证法：在判断了(-X)与/(x)的关系时，只需验证/(-x)±/(x)=O及正至=±1是否成

/(X)

立即可。

(3)图象法：奇(偶)函数等价于它的图象关于原点(y轴)对称。

(4)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的

积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

(5)分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断。在函数定义域内，对自变量x的不同取

值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数。分段函数不是几个函数，而是一个

函数。因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断了(-X)与/(x)的

关系。首先要特别注意尤与r的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与/(-X)对

应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。

要点三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间可和上具有相同的单调性，即已知/⑴是奇函数，它在区

间上是增函数（减函数），则/（x）在区间［-4-句上也是增函数（减函数）；偶函数在其对

称区间［a,b］和［-b,-a］上具有相反的单调性，即已知/⑴是偶函数且在区间［a,b］上是增函数

（减函数），则f（x）在区间［-4-句上也是减函数（增函数）。

类型一、判断函数的奇偶性

例1.判断下列函数的奇偶性:

⑴〃x)=(x+D]尸；

(2)/(x)=x2-41x|+3；

V1+x

(3)/(x)=|x+3|-|x-3|；(4)/(%)=

\x+2\-2

2

/八-X+x(x>0)(6)/(x)=g[g(x)-g(—x)](xeR)。

(5)/(%)=2'；

x+x(x<0)

思路点拨.利用函数奇偶性的定义进行判断。

答案：（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇

函数。

解析；

（1）••♦/（尤）的定义域为（-1』，不关于原点对称，因此/（无）为非奇非偶函数;

(2)对任意xeR,都有—xeR,且/'(-x)=/-4国+3=f(x),则/(尤)=公-4国+3为偶函

数；

(3),•xeR,f(—x)=|—x+31—|—x-31=|x—31—|x+31=—f(x),••/(x)为奇函数；

1-x2>0

(4)Q/.XG[-1,0)U(0,1]

x+2w±2xw0且％w-4

(x+2)-2x

/(_x)=JEEIE==_/(x),/co为奇函数;

(5)xGR,/(x)=-x|x|+x

.#*f(-x)=一(一％)|—x|+(-x)=XIX|—X=—f{x)，

・•・/(x)为奇函数；

(6)*.*/(-x)=|{g(-x)-g[-(-j：)]}=^[g(-x)-g(x)]=-f(x),

/(x)为奇函数。

总结升华,判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域。函数的定义域关于

原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原

则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功。如在本例(4)中若不研究定义域，在去

掉|x+2|的绝对值符号时就十分麻烦。

举一反三：

变式L判断下列函数的奇偶性：

3x21*?+2Y

(1)/(x)=^—；(2)/(x)=|x+l|+|x—1|；(3)/«=-――；

x+2x-l(x<0)

(4)/(x)=<0(x=0)o

—x+2x+1(x>0)

答案：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)非奇非偶函数；(4)奇函数。

解析；

(1)/⑺的定义域是R,

又/(-%)=，”)=一^^=-/(%)，；J(x)是奇函数。

(-%)-+3x+3

(2)的定义域是R,

又/(-x)M-x+l|+|-x-l|=|x-l|+|x+l|=/(x),.•./(%)是偶函数。

(3)函数定义域为xf-1,定义域不关于原点对称，.../(x)为非奇非偶函数。

(4)任取则-x<0,/(-x)=(-x)2+2(-x)-l=x2-2x-l=-^-x2+2x+l^=-/(x)

任取x<0,则_%>0,/(-x)=-(-x)2+2(-x)+l--x2-2x+l=-^x2+2x-l^=-f(x)

x=0时，/(0)=-/(0).，.xeR时，/(—x)=—/(x)_f(x)为奇函数。

变式2：

已知/(x),g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：/(x)+g(x)为奇函数，/(x)・g(x)为偶

函数。

证明：设/(x)=/(X)+g(x)，G(x)=/(xAg(x)则

尸(一X)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=~[f(x)+g(x)]=-f(x)

G(—x)=f(-x)-g(-x)=-/(%)■[—g(x)]=/(%)-g(x)=G(x)

.../(x)+g(x)为奇函数，/(x)・g(x)为偶函数。

变式3,

设函数/(x)和g(尤)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论

恒成立的是()o

A.y(x)+|g(x)|是偶函数

B./(x)-|g(x)|是奇函数

C.|/(x)|+g(x)是偶函数

D.|/(x)|-g(x)是奇函数

答案,A

类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

例2.已知/(%)=尤5+办3-法-8,且/(—2)=10,求/⑵。

答案「26

解析,法一：,/f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8^-40-8a+2b=10

/.8fl-2Z?=-50

/(2)=25+23a—2b—8=8a—2b+24=—50+24=—26

法二：令g(x)=/(x)+8易证g(x)为奇函数

g(-2)=_g⑵

••y(—2)+8=—y(2)—8

/(2)=-/(-2)-16=-10-16=-26.

总结升华:本题要会对已知式进行变形，得出/6)+8=/+仆3_法为奇函数，这是本题的

关键之处，从而问题g(2)便能迎刃而解。

举一反三：

变式L已知为奇函数，g(x)=/(%)+9,g(-2)=3,则/(2)为()o

答案,6

解析：g(-2)=/(-2)+9=3,BIJ/C-2)=-6,又为奇函数，所以/(2)=-/(-2)=6。

例3.已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(X)=X2+3X-1,求/⑺的解析式。

x2+3x-1,x>0,

答案：f(x)=-0,x=0,

—x~+3x+1,x<0.

解析：Q/(x)是定义在R上的奇函数，

/(-%)=-/(x),,当x<0时，-x>0,

.,"⑴=-A-X)=-[(-x)2+3(-x)-l]

=-f+3x+1

又奇函数/(X)在原点有定义，/(0)=0o

x2+3x-1,x>0,

/(x)=«0,x-Q,

—x~+3x+1,x<0.

总结升华，若奇函数/(X)在x=0处有意义，则必有/(0)=0,即它的图象必过原点(0,0)。

举一反三：

变式1

(1)已知偶函数/(x)的定义域是R,当xWO时/(x)=--3x-1,求/(x)的解析式。

(2)已知奇函数g(x)的定义域是R,当xVO时，g(x)=f+2x-l,求g(x)的解析式。

x2+2x-l(x>0)

公安r，XX+3x—l(x>0)、

合菜：(1)/(%)=〈c；(2)g(x)=<0(元=0)

x2-3x-l(x<0)

-x2+2x+l(x<0)

例4.设定义在［-2,2］上的偶函数/(x)在［0,2］上是单调递增，当/(〃+1)</3)时，求。的取

值范围。

答案：-2<a<­—

2

解析：Vf(a-l)<f(A)

而|a+l|,|a|e[0,2]

|a+11<|a|2o+l<0

<-2<a+1<2<-3<67<1:.-2<a<--o

2

-2<a<2-2<a<2

总结升华：若一个函数/(x)是偶函数，则一定有/(x)=/(|x|),这样就减少了讨论的麻烦。

类型三、函数奇偶性的综合问题

例5.设a为实数，函数〃尤)=/+,_4+：!,xeR,试讨论/(x)的奇偶性，并求/(x)的最

小值。

思路点拨：对。进行讨论，把绝对值去掉，然后把广(X)转化成二次函数求最值问题。

答案：当a=O时，函数为偶函数；当a#0时，函数为非奇非偶函数。当工时，

2

Q1Q11

+

/Wlmin=--«；a>］时，/Wlmin=-«；当一/<。<耳时，/(%)Imin=/+］。

解析：当a=0时，f(x)=x-+\x-a\+l,此时函数为偶函数；

当。#0时，y(x)=x2+|x-a|+l»为非奇非偶函数。

1Q

2a

(1)当入2Q时，/(x)=(J；+—)+—~

①G4一2时,函数/(%)在［〃,+8)的最小值为/(-；)］-a,且/f—/(a).

2

②a〉-；时，函数/(x)在+8)上单调递增,

/(%)在［。,+8)上的最小值为/(A)=tz2+1.

(2)当xva时,J/(•/X、)=X2_%+〃+1］=(/X—-l、)2+6Z+—3

①时，函数/'(x)在(但,可上单调递减，，/(x)在(。，a］上的最小值为/(a)=/+1

②时，/(x)在(-8,句上的最小值为/(g)=1+a,>(1)</(«).

1313

综上:时,/(x)1mhi="a；a>］时，/^)\^=-+a;

时，/(X)Lin=/+l。

举一反三：

变式L判断/(x)=|x+a|-|x-a|(aeR)的奇偶性。

答案.当a=0时，函数/(尤)既是奇函数，又是偶函数；

当4W0时，函数/(x)是奇函数。

解析.对。进行分类讨论。

若4=0,则f(x)=|x|—I尤1=0。

QxwA,定义域R关于原点对称，.•.函数/(x)既