2020-2021学年莆田市九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年莆田市九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.计算VTtan60。的值等于（）

A.—B.—C.V5D.V6

33

2.如图图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

B.!，平行四边形

A.正三角形

C.||正方形

D.菱形

3.若£=|,则一的值为（）

AC.|D.|

-1B.|

4,若关于x的一元二次方程%2+4%+C=0有两个相等的实数根，贝Uc的值为（）

A.3B.4C.5D.6

5.如图，在％BCD中，点E是边4D上的一点，且。E：AE=4：5,EC

交对角线8D于点F,则SMEF：SACBF=（）

A.16：81

B.16：25

C.4：9

D.4：5

6.坐标平面上，若移动二次函数y=2（x-175）。―176）+6的图形，使其与％轴交于两点，且此

两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种（）

A.向上移动3单位B.向下移动3单位

C.向上移动6单位D.向下移动6单位

7.如图，点4、B、C、。在0。上,OB"CD.若乙A=28°,则NBOD的大^-4—^

小为（）

A.152°

B.134°

C.124°

D.114°

8.已知反比例函数的表达式为y=?,它的图象在各自象限内具有y随x增大而减小的特点，那么

k的取值范围是()

D.(0,1.5)

10.已知二次函数y=2(尤一3)2+去它的顶点坐标为()

A.(3,|)B.(-3,|)C.(|,-|)D.(|,3)

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

11.已知点P关于％轴的对称点为吊(2,3),那么点P关于原点的对称点P2的坐标是.

12.在中，ZC=90°,tanA=周长为18,则右.。=.

13.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a<0)与一次函数y2=kx+m的图象相交于点4(-2,4),

B(8,2),则能使力<、2成立的x的取值范围是.

14..........若关于x的方程/一欠+6=0的一个根为％=—1，则它的另一个根为

15.如图，正六边形ZBCDE尸的边长为1,点P从B点出发沿B-C-D运动至

点D，点夕是点B关于直线4P对称的点.

(1)点P从点B运动至。过程中，下列说法正确的有.(填序号)

①当点P运动到C时，线段4P长为班.

②点B'沿直线从B运动到F.

③点夕沿圆弧从B运动到尸.

(2)点P从点B运动至。的过程中，点夕到E的距离的最小值是.

16.如图，矩形力BCD中，AC=2AB,将矩形4BCD绕点4旋转得到矩形

AB'C'D',使点B的对应点B'落在4c上，在B'C'上取点/，使B'F=4B.则

4FBB'的度数为°,

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.如图，小超老师带领学生参加夏令营活动期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵结满桃子的小

桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小超老师站

在点8的位置，让学生沿BD方向移动平面镜至点C处，此时小超老师在平面镜内可以看到点E,

且BC=2.7米，CD=11.5米，Z.CDE=120°,已知小超老师的身高为1.8米，请你利用以上的数

据求出DE的长度.（结果精确到1米，V3«1.7）

四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）

18.解一元二次方程：x（x+8）=20.

19.如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,。是AB的中点，试在AC上

确定点E的位置，使△ADE与原三角形相似，并求4E的长.

20.如图，4C是矩形4BC0的一条对角线.

(1)作4C的垂直平分线EF,分别交4B、。。于点E、F,垂足为0；(要求用尺规作图，保留作图痕迹,

不要求写作法)

(2)求证：0E=0F

21.在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1,2,3,4的小球，它们除数字外都相同，每次

摸球前都将小球摇匀.

(1)从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为

(2)从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的

数字和恰好是奇数的概率.

22.已知直线，过点P(2,2),且与函数、=式工>0)的图象相交于4B两点，与x轴、y轴分别交于点

C,D,如图所示，四边形0M4E,0FBM均为矩形，且矩形0FBM的面积为3.

(1)求k的值；

(2)当点B的横坐标为3时，求直线I的解析式及线段BC的长；

(3)如图是小芳同学对线段4。，BC的长度关系的思考示意图.

记点B的横坐标为s,已知当2<s<3时，线段BC的长随s的增大而减小，请你参考小芳的示意图判

断：当s>3时，线段BC的长随s的增大而.(填“增大”、“减小”或“不变”)

23.如图，在四边形4BC0中，NB=ND=90。，AB=BC=2,CD=1,

求4D的长.

24.如图，在△ABF中，以48为直径的作。0,NB4尸的平分线4C交。。于点D,AF与。。交于点E,

过点B的切线交4F的延长线于点C

(1)求证：乙FBC=LFAD；

(2)若雪=|,求费的值.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=aM+2x+c与x轴交于

4(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线y=ax2+2x+c的解析式;

(2)点。为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DElx轴于点E,DF〃4C交抛物线对称轴于点F,

求CE+OF的最大值;

(3)①在抛物线上是否存在点P,使以点4P,C为顶点的三角形，是以4c为直角边的直角三角形?

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由;

②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为3请直接写出AZCQ为锐角三角形时t的取值范围.

备用图

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：原式=或x

故选：D.

根据特殊角三角函数值，可得答案.

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

2.答案：B

解析：解：4、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；

8、不是轴对称图形，是中心对称图形.故正确；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故错误；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形.故错误.

故选B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对

称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

3.答案：B

解析：解：

b3

・••3a=2b,

••a=-b,

3

3=迦=三，

bb3

故选：B.

依据:=|,可得a=|b,即可得出辎=如=三.

b33bb3

本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积.

4.答案:B

解析：解：••・关于久的一元二次方程/+4x+c=0有两个相等的实数根，

.•・△=42—4c=0,

・•・c=4,

故选：B.

根据判别式的意义得到4=42-4c=0,然后解一次方程即可.

本题考查了一元二次方程a/+故+c=0(a*0)的根的判别式△=b2-4ac：当4>0,方程有两个

不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

5.答案：A

解析：解：•••四边形4BCD是平行四边形，

AD=BC,AD//BC,

•：DE：AE=4：5,

•••DE：AD=4：9>

•••DE：BC=4：9,

■■■AD//BC,

•••△DEF~4BCF,

"S^DEF：S&CBF=(而A=(J)?=16：81,

故选：A.

根据平行四边形的性质得到4。=BC,AD//BC,根据题意得到DE：BC=4：9,根据相似三角形的

面积比等于相似比的平方计算，得到答案.

本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比

的平方是解题的关键.

6.答案：D

解析：试题分析：根据所给二次函数的特点知：若将原二次函数移动至y=2(x-175)(%-176)时，

该二次函数与支轴的两交点的距离为1,进而可根据左加右减，上加下减的平移规律得出移动方案.

将二次函数y=2(%-175)(%-176)+6向下平移6个单位，得：

y=2(x-175)(尤-176),此函数与x轴两交点为(175,0),(176,0),距离为1；

故选D.

7.答案：C

A

解析：解：连接OC,如图所示：

(D=(OCD,/rr\\

•・•OB//CD,

C

・•・乙BOC=乙OCDB

:.乙BOC=乙D,

vZ.BOC=2Z/4,44=28。,

:.Z-D=2/-A=56°,

•・•OBIICD,

:.(BOD+ND=180°,

・・・(BOD=180°-56°=124°；

故选：C.

连接。C,由平行线性质、等腰三角形的性质与圆周角定理证出4。=2乙4=50。，由平行线的性质得

出NBO0+4。=180°,即可得出NB。。的度数.

本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握圆周角定理和平行线

的性质是解题的关键.

8.答案：A

解析：解：•.•反比例函数y=?的图象在每个象限内y的值随％的值增大而减小，

k-1>0,

解得k>1.

故选：A.

由于反比例函数y=?的图象在每个象限内y的值随尤的值增大而减小，可知比例系数为正数，据此

列出不等式解答即可.

题考查了反比例函数的性质，要知道：(l)fc>0,反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内y的

值随x的值增大而减小；(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内y的值随x的值

增大而增大.

9.答案：C

解析：解：如图，连接BF交y轴于P,

•••四边形ABCD和四边形EFG0是矩形，点B,F的坐标分别为(一4,4),(2,1),

・••点C的坐标为(0,4),点G的坐标为(0,1),

・•・CG=3,

・・・BC//GF,

_G_P—_G_F___1

"PC~BC-2’

GP=1,PC=2,

•••点P的坐标为(0,2),

故选：C.

连接BF交y轴于P,根据题意求出CG,根据相似三角形的性质求出GP,求出点P的坐标即可.

本题主要考查位似变换，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对

应边互相平行(或共线)，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键.

10.答案:A

解析：试题分析：因为y=2(x-3)2+T是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标.

••・抛物线解析式为y=2(X-3)2+1,

••・二次函数图象的顶点坐标是(3,1).

故选A.

11.答案：(一2,3)

解析：解：•••点P关于x轴的对称点为匕(2,3),

•••P(2,-3),

•・•点P关于原点的对称点P2的坐标是(-2,3),

故答案为：(-2,3).

首先根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得到P点坐标，再根据两个点关于原点

对称时的坐标特点：它们的坐标符号相反，即点PQ,y)关于原点。的对称点是P'(-x,-y)即可得到答

案.

此题主要考查了关于工轴对称的点的坐标特征，以及两个点关于原点对称时的坐标特点，解决问题的

关键是熟记坐标变换的特点.

12.答案：y

解析：解：设中，两直角边为a、b,斜边为c,

由七加4=-7-,得a=5%,b=12%.

由勾股定理，得c=Va24-b2=13%.

由三角形的周长，得5%+12%+13%=18,

解得久=|,

则Q=3,b=^.

C171c3654

SAARC=一ab=—X3x——=——,

△ABL2255

故答案为当.

根据正切函数是对边比邻边，可得a=5x,b=12x,根据勾股定理，可得c=13x,根据周长公式,

可得x的值，根据三角形的面积公式，可得答案.

本题考查了解直角三角形，利用正切函数表示出a=5x,b=12x是解题关键.

13.答案：％<-2或%>8

先画出两函数的大致图象，然后利用函数图象，写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的

范围即可.

本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=a/+法+c（a、b、c是常数，a力0）与不等

式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交

点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.

14.答案：x=-6.

解析：将已知的根代入方程中，求出未知系数，再解这个一元二次方程即可.

把尤=—1代入方程/一位+6=0得,

1+Q+6=0,

a=-7,

这个一元二次方程为：X2+7X+6=0，

解得：=-l,x2=-6,

即另一个根为％—-6.

故填：x=-6.

15.答案：①③；V3-1

解析：解：(1)如图，设。是正六边形的中心，连接OB交AC于K........《

在RMCBK中，•••Z.BKC=90°,BC=1,Z.BCK=30°,/；'、、\

BK=^BC=^,3〈刍二二夕

22

AAC=2KC=2VBC-BK=遍，\i/

•••点p从点B运动至。过程中，、-----------h

AB=AB',

・••点8'的运动轨迹是图中红色的弧线8F,

①③正确，

故答案为①③.

(2)连接AE与弧BF交于点B',此时EB'最短，

EB'=AE-AB'=AC-AB=>/3-1，

故答案为6-1.

(1)如图，设。是正六边形的中心，连接OB交4c于K,解直角三角形求出AC,B'的运动轨迹是图中红

色的弧线BF,由此即可周长判断.

(2)连接4E与弧8尸交于点夕，此时EB'最短，

本题考查正多边形与圆、轴对称的性质、勾股定理.解直角三角形等知识，解题的关键是灵活应用

这些知识解决问题，学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，属于中考常考题型.

16.答案：15

解析：解：如图，连接89，

DL

♦

BC

,••四边形4BCD是矩形，

^ABC=90°,

•••将矩形ABCD绕点4旋转得到矩形AB'C'D',

AB=AB',乙4"=4AB'C'=90°,

"AC=2AB,

：.AC=2AB'=AB'+B'C,

•••AB'=B'C,

v^ABC=90°,

：.BB'=AB'=CB'=AB,

.•.△4B8'是等边三角形，

•••乙AB'B=60°,

:.乙BB'F=150°,

•••B'F=AB,

：.BB'=B'F,

4B'BF=乙B'FB=15°,

故答案为：15.

连接BB',由矩形的性质可得乙4BC=90。，由旋转的性质可得AB=4B',^ABC=AAB'C=90°,

由直角三角形的性质可得BB'=AB'=CB'=AB,可证△4BB'是等边三角形，可得NAB'B=60。，由

等腰三角形的性质可求解.

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关

键.

17.答案：解：如图，过点E作EF1DN于点F,

根据题意可知：

Z.ACB=乙ECD,

・・・Z.ABC=Z.EFC=90°,

tanZ.ACB=tanzECD,

tAB_EF

'''BC~~CF9

•・・"DE=120°,

・・・乙EDF=60°,

设DF=x,贝lJOE=2x,EF=Wx,

CF=CD+DF=11.5+xf

.1.8_V3X

：•—=----,

2.711.5+X

解得“备

46

'•DE=2X=赤"15(米).

答：DE的长度约为15米.

解析：过点E作EF_LDN于点F,根据题意可得N4CB=/ECD,利用tan/ACB=tan4ECD,列出比

例式即可求出DE的长.

本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、相似三角形的应用，解决本题的关键是掌握坡度

坡角定义.

18.答案:解：%(%+8)=20,

%24-8%—20=0,

(%+10)(%—2)=0,

%4-10=0,%—2=0,

=-10,上=2・

解析：整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度

适中.

19.答案：解：分两种情况：

①△ADE^t^ABC»

-AD：AB=AE：AC,

即3：6=AE：8,

・・・AE=4；

@t^ADE-^ACB,

:.AE：AB=AD：AC,

印4E：6=3：8,

：

,AE=4

综上所述，4E的长为4或9

4

解析：分别从AADESAABC与△ADEsAACB去求解，即可画出图形；由对应边成比例即可得出力E

的长.

本题考查的是相似三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解，属于中考常考题

型.

20.答案：(1)解：如图，EF为所作；

(2)证明：:EF垂直平分4C,

OA=OC,

•••四边形4BCD为矩形,

：.0B=0D,AB//CD,

・•・ZF=ZF,

在△BOE和a。。尸中

ZE=ZF

乙BOE=乙DOF

OB=OD

•••△BOEmAOOF(7L4S),

・・・OE=OF.

解析：(1)作AC的垂直平分线即可；

(2)利用矩形的性质得到点。为对角线的交点，然后证明^BOE任COF得到OE=OF.

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于己知角；

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了矩形的性质.

21.答案：I

解析：解：(1)从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2,3,4,共4种，

其中数字不小于2的情况有：2,3,4,共3种，

则P(小球上写的数字不小于2)=*

故答案为：

(2)根据题意列表得：

1234

1一(L2)(1.3)(1,4)

2(21)—(2,3)(2,4)

3(3,1)(3,2)(3,4)

4(4,1)(4,2)(4,3)一

所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况有8种，

则P(两次摸出小球上的数字和恰好是奇数)=*=|・

(1)列表确定出所有等可能的情况数，找出小球上写的数字不小于2的情况数，即可求出所求概率；

(2)列表确定出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况数，即可求出

所求概率.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合

于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

22.答案：(1)设点B的坐标为(x,y),由题意得：BF=y,BM=x.

•.•矩形OMBF的面积为3,

:.xy=3.

•­k=3.

(2)•.•点8的横坐标为3,点B在双曲线上，

•••点B的坐标为(3,1).

设直线，的解析式为y=ax+b.

•••直线I过点P(2,2),B(3,l),

.•・｛彳：?=：解得｛；=；1

(3a+D=13=4

直线］的解析式为y=-x+4.

•••直线I与x轴交于点C(4,0),

:.BC=V2.

(3)增大

解析：解：(1)见答案；

(2)见答案.

(3)作力Nix轴于N,AE1OD^f-E,BM_LOD于M,BF1OC^F,连接MN,AM,BN.

S矩形AEON=S矩形BMOF>

"々S矩形AEON~3s矩形BMOF，

SAAMN=ShBMN'

：.A,B到直线MN的距离相等，

•••CD//MN,

vBM//CN,AN//DM,

四边形BMNC是平行四边形，四边形ANMD是平行四边形,

.-.AD=MN,BC=MN,

AD-BC.

vBC=MN,

观察图象可知：当s23时，线段BC的长随s的增大而增大.

故答案为增大.

(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)求出B、C两点坐标，求出直线BC的解析式即可解决问题；

(3)作4N_Lx轴于N,AE1OD^E,BM1。0于M,BF1OC^F,连接MN,AM,BN.想办法证明

四边形8MNC是平行四边形，四边形ANMD是平行四边形，即可解决问题；

本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义，平行四边形的判定和性质等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，题目比较难.

23.答案：解：连接4C,卡、

•••乙B=90°

AC2=AB2+BC2.''、、

vAB=BC=2In'、'、/

BC

AC2=8.

v乙D=90°

：.AD2=AC2-CD2.

vCD=1,

AD2=7.

AD=V7.

解析：连接AC,首先由勾股定理求得4c2的值；然后在直角AACD中，再次利用勾股定理来求4。的

长度即可.

考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

24.答案：（1）证明：

•••48是直径，

Z.ADB=90°,

又•••/W平分NBAF,

乙BAD=Z.FAD,

•••8。切。。于3点，

/.Z.ABC=90°,

・•・Z,BAD4-Z.ABD=(FBC+Z.ABD=90°,

・•・Z.BAD=Z.FBC,

••Z-FBC=Z.FAD.

(2)解：连接DE.

vZ.ADB=90°,4。平分4B4F,

.••△4BF是等腰三角形，

4ABD=Z.AFD,BF=2FD,

,,AE_5

,—~—，

FD4

AE5

:.—=

FB8

•・•四边形4EDB内接于O。，

・・・Z.AED+Z.ABD=180°,

vZ.AFD+乙CFB=180°,

vZ-ABD=Z.AFD,

・•・Z,AED=乙CFB,

vZ.FBC=Z-FAD,

*'.△AED^LBFC,

AD_AE_S

••---=—=~.

BCFB8

解析：(1)根据等角的余角相等即可证明.

(2)连接。E.证明△AEDM8FC即可解决问题.

本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

25.答案：解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+l)(x—3),

即y=ax2—2ax—3a,

•••—2a-2,解得a——1,

・1.抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)当x=0时，y=-x2+2x+3=3,则C(0,3),

设直线AC的解析式为y=px+q,把4(一1,0),

c(o,3)代入得解哦二;，

・•・直线AC的解析式为y=3%+3,

如图1,过。作。G垂直抛物线对称轴于点G,设。(居一工2+2久+3),

vDF//AC,

Z-DFG=Z.ACO,

而抛物线对称轴为x=l,

：.DG=x-l,DF=VlO(x-l),

•••DE+DF=-x2+2x+3+V10(x-1)=-x2+(2+V10)x+3-710=-(x-+y,

v-1<0,

...当％=出史，DE+DF有最大值为多

22

(3)①存在；

如图2,过点C作4c的垂线交抛物线于点Pi，

•・,直线AC的解析式为y=3x+3,

则直线AC倾斜角的正切值为3,则直线PiC倾斜角的正切值为右

二直线Pi。的解析式可设为y=-：％+把C(0,3)代入得=3,

1(y——x2+2%+3

•・・直线P1C的解析式为y=-Jx+3,解方程组1